专题05抛物线的概念与几何性质（考点清单知识导图+3考点清单+14题型解读）（学生版） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题05抛物线的概念与几何性质【清单01】抛物线的概念与标准方程一．抛物线的定义定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．注意：1.定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．2.抛物线的定义用集合语言表示为：P＝{M||MF|＝d}(d为M到直线l的距离)．3.定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M点；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．4.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．二．抛物线的标准方程抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2px(F(P2x=−y2=−2px(F(-P2x=x2=2py(F(0,Py=−x2=−2py(F(0,−Py=【清单02】抛物线的几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下【清单03】直线与抛物线的位置关系一.直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系主要有三种:相交、相切和相离当直线与抛物线有两个不同的交点时，称为相交;当直线与抛物线只有一个交点时，称为相切;当直线与抛物线没有交点时，称为相离，二.直线与抛物线的位置关系判定方法1.相交:当直线的斜率k不为0时，;通过联立直线和抛物线的方程，得到的二次方程的判别式Δ>0，表示有两个不同的实根，即直线与抛物线相交2.相切:当直线的斜率k不为0时，通过联立直线和抛物线的方程，得到的二次方程的判别式Δ=0，表示有两个相同的实根，即直线与抛物线相切。3.相离:当直线的斜率k不为0时，通过联立直线和抛物线的方程，得到的二次方程的判别式Δ<0，表示没有实根，即直线与抛物线相离三.直线与抛物线位置关系的应用弦长问题:当直线过抛物线的焦点时，弦长AB可以通过公式AB=x1当直线不过焦点时，弦长AB可以通过公式AB=1+k【考点题型一】抛物线的定义与标准方程方法总结：1.求抛物线标准方程的方法①先定位：根据焦点或准线的位置；②再定形：即根据条件求p.2.抛物线性质的应用技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．【例1】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点MxA．x=−32 B．x=−3 C．【变式1-1】（多选）（22-23高二上·江苏淮安·期中）对于抛物线上18A．开口向上，焦点为0,2 B．开口向上，焦点为0,C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为y【变式1-2】（22-23高二上·江苏常州·期中）已知点F2,0，直线l：x(1)试判断动点P的轨迹C的形状，并写出C的方程；(2)求动点P到直线y=3【变式1-3】（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线x−2(1)求该抛物线的方程；(2)若该抛物线上点A的横坐标为2，求点A到该抛物线焦点的距离．【变式1-4】（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)求抛物线D的方程.【考点题型二】抛物线的准线方法总结：1.当抛物线的焦点在x轴上，且抛物线方程为y2=±2px2.当抛物线的焦点在y轴上，且抛物线方程为x2=±2py【例2】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知抛物线y=2px2pA．2 B．1C．132 D．【变式2-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线为lA．1 B．2C．4 D．8【变式2-2】（22-23高二上·江苏常州·期中）已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l，点P1,y0在C上，过P作lA．3 B．4C．6 D．12【变式2-3】（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知斜率为3的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于点A．p=32C．BD=2BF D．F为【变式2-4】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，P是抛物线C上的动点，且在第一象限．过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q．若直线PF的斜率为3，则【考点题型三】抛物线弦长方法总结：活用抛物线焦点弦的四个结论抛物线的焦点弦问题一直是高考命题的一个热点，该问题常与弦长、三角形面积、向量、不等式等知识相融合，考查学生的转化与化归意识和灵活解题能力．命题点主要体现在焦点弦的四个结论上：设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1·x2＝eq\f(p2,4).(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角)．(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)【例3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F，且与抛物线相交于A,A．12 C．2 D．3【变式3-1】（23-24高二上·江苏·期中）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若△AOF面积是A．4 B．9C．5 D．11【变式3-2】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F2,0，过点F【变式3-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线C:y2=2pxp>0，过焦点的直线l与抛物线C交于两点A(1)求抛物线C的标准方程和准线方程；(2)记O为坐标原点，直线x=−3分别与直线OA,OB交于点M【变式3-4】（22-23高二上·浙江嘉兴·期中）倾斜角为60°的直线l过抛物线C:y2=4x(1)求抛物线的准线方程；(2)求△OAB的面积（O【考点题型四】中点弦方法总结：抛物线的中点弦问题通常涉及到在抛物线上选取两点，然后找到这两点所确定的弦的中点，进而研究中点弦的性质。【例4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）若直线l过抛物线y2=8x的焦点，与抛物线相交于A，B两点，且|A．3 B．4C．5 D．6【变式4-1】（22-23高二下·江苏镇江·期中）青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为1.5cm，碗口直径为20cm，碗深10cm.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为12cm的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为（

）

A．4.5cm B．5cmC．5.5cm D．6cm

【变式4-2】（多选）（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F到准线的距离为4，过点F的直线与抛物线交于A,A．抛物线C的方程为x2=8y B．若|AB|=12C．|AF|+|AM|的最小值为5 D．若|【变式4-3】（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线y2=4x与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦AB的中点M的横坐标为3，则弦AB的长【变式4-4】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于Px1,y1，【考点题型五】抛物线中的最值方法总结：与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算．【例5】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点P是抛物线y2=2xA．172 C．17 D．9【变式5-1】（23-24高二下·江苏盐城·期中）设点P是曲线x2=4y上一点，则点P到直线l【变式5-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线y2=4x的焦点为F，定点A2,1，点P是抛物线上一个动点，则【变式5-3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形（Cassinioval）.在平面直角坐标系xOy中，动点P(x,y)到两个定点F1(−1,0)，F2(1,0)【变式5-4】（23-24高二上·江苏·期中）已知抛物线x2=4y，过P−1,2作互相垂直的两条直线l1,l2，l1与抛物线相交于A(1)证明：直线MN过定点；(2)若线段MN的中点记为E，求点E的纵坐标的最小值．【考点题型六】直线与抛物线的位置关系方法总结：解决直线与抛物线位置关系问题的方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[注意]涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．【例6】（22-23高二下·上海浦东新·开学考试）已知抛物线方程y2=4xA．0条 B．1条C．2条 D．3条【变式6-1】（多选）（23-24高二上·陕西·期中）过点1,0且与抛物线C:A．x=1 B．C．x−y−1=0【变式6-2】（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线C的方程为y2=4x，求过点0,2【变式6-3】（23-24高二下·贵州六盘水·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+1(1)求m的值；(2)已知点Ax1,y1，Bx2,y2在抛物线C上，A，B分别位于第一象限和第四象限，且x1【变式6-4】（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知抛物线C：y=x22，点Dx(1)求证：直线AB的方程为x0(2)若Dx0,y0在直线y=−1【考点题型七】抛物线中的轨迹方程方法总结：通过抛物线的定义:抛物线可以定义为平面内与一定点和一定直线(定直线不经过定点)的距离相等的点的轨迹，其中定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线。这个定义是抛物线轨迹方程的基础，通过这个定义可以推导出抛物线的标准方程。【例7】（多选）（23-24高二上·浙江台州·期中）已知A−2,0、BA．平面内满足PA+B．平面内满足PA−C．平面内满足PA=D．平面内满足PA=2【变式7-1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为C的动圆过点1,0，且在y轴上截得的弦长为2，记C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程，并说明E为何种曲线；(2)已知A2,2及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为k