吉林省2024八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1.直角三角形三边的关系第1课时勾股定理及其证明课件新版华东师大版

第14章勾股定理14.1勾股定理1.直角三角形三边的关系第1课时勾股定理及其证明目

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勾股定理1.

【知识初练】

a2＋

b2＝

c22345678910111212.

在△

ABC

中，∠

A

、∠

B

、∠

C

的对边分别是

a

、

b

、

c

，若∠

B

＝90°，则下列等式中成立的是(

C

)A.

a2＋

b2＝

c2B.

b2＋

c2＝

a2C.

a2＋

c2＝

b2D.

以上均不正确C2345678910111213.

[吉林期末]在直角三角形中，若斜边为5，一条直角边为

3，则这个直角三角形的面积为(

D

)A.15B.12C.7.5D.6D2345678910111214.

[长春一〇八中月考]如图，在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，

AC

＝

BC

.

(1)如果

AC

＝2，那么

AB

＝

⁠；(2)作边

AB

上的中线

CD

，如果

AB

＝8，那么

AC

＝

，

CD

＝

⁠.

4

2345678910111215.

【教材改编题】在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，∠

A

，∠

B

，∠

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

.(1)若

a

＝5，

b

＝12，求

c

的值；

234567891011121(2)若

b

∶

c

＝4∶5，

c

＝10，求

a

、

b

的值.

5.

【教材改编题】在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，∠

A

，∠

B

，∠

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

.234567891011121

勾股定理的证明6.

【知识初练】证明勾股定理通常采用的方法是

⁠

法.面积

2345678910111217.

【新情境题】著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图①的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图②的空白部分是由两个直角三角形和一个正方形组成.设图①中空白部分的面积为

S1，图②中空白部分的面积为

S2.(1)请用含

a

、

b

、

c

的代数式分别表示

S1、

S2；234567891011121

2345678910111217.

【新情境题】著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图①的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图②的空白部分是由两个直角三角形和一个正方形组成.设图①中空白部分的面积为

S1，图②中空白部分的面积为

S2.(2)请利用达·芬奇的方法证明勾股定理.234567891011121(2)证明：由(1)，得

S1＝

a2＋

b2＋

ab

，

S2＝

c2＋

ab

.由题

意，得

S1＝

S2，∴

a2＋

b2＋

ab

＝

c2＋

ab

，∴

a2＋

b2＝

c2.2345678910111218.

【易错题】直角三角形的三边长分别为

a

、

b

、

c

，若

a2

＝9，

b2＝16，则

c

的值是(

C

)A.5B.7D.25或7

C2345678910111219.

[长春第一外国语中学月考]勾股定理是数学定理中证明方

法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要

的工具之一.下列图形中可以证明勾股定理的有(

D

)A.

①③B.

②③C.

②④D.

①④D23456789101112110.

如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是

正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形

A

，

B

，

C

，

D

的面积分别为3，2，2，5，则正方形

G

的面

积为

⁠.12

234567891011121【变式题】如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图

①，一个边长为

a

的正方形，经过第一次“生长”后在

它的上侧长出两个小正方形，面积分别为6和8，且三个

正方形所围成的三角形是直角三角形，则

a

的值

为

；再经过一次“生长”后变成了图②.如此

继续“生长”下去，第2

024次“生长”后，这棵“毕达

哥拉斯树”上所有正方形的面积之和为

(填数

字).

28

350

234567891011121点击跳转几何画板11.

[中考·扬州改编]我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创

制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，

它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.如

图，直角三角形的直角边长为

a

、

b

，斜边长为

c

，若

b

－

a

＝4，

c

＝20，求每个直角三角形的面积.234567891011121解：根据题意，得

把②平方，得(

b

－

a

)2＝42.∴

b2－2

ab

＋

a2＝16.③

23456789101112112.

[推理能力]对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边

形，现有如图所示的“垂美”四边形

ABCD

，对角线

AC

、

BD

交于点

O

.

若

AD

＝2，

BC

＝4，求

AB2＋

CD2

的值.234567891011121解：∵

AC

⊥

BD

，∴∠

AOD

＝∠

AOB

＝∠

BOC

＝∠

COD

＝90°.由勾股定理，得

AB2＋

CD2＝

AO2＋

BO2＋

CO2＋

D