2023-2024学年山东省滕州市第十一中学高三下学期期末教学质量诊断（一模）数学试题

2022-2023学年山东省滕州市第十一中学高三下学期期末教学质量诊断（一模）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数的实部与虚部相等，其中为虚部单位，则实数()A．3 B． C． D．2．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．134 B．67 C．182 D．1083．若，，，则（）A． B．C． D．4．若双曲线的离心率为，则双曲线的焦距为（）A． B． C．6 D．85．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（）A．96里 B．72里 C．48里 D．24里7．函数在上为增函数，则的值可以是()A．0 B． C． D．8．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（）A． B．3 C． D．49．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，，，，，，，则图中空白框中应填入（）A．， B． C．， D．，10．已知函数满足，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．11．已知实数满足线性约束条件，则的取值范围为（）A．(-2,-1］ B．(-1,4］ C．[-2,4) D．[0,4]12．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以再加1；如果它是偶数，则将它除以；如此循环，最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为，则输出i的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．14．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为__________.15．已知双曲线的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_____16．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，内角的对边分别为，且（1）求；（2）若，且面积的最大值为，求周长的取值范围.18．（12分）已知椭圆的离心率为，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C交于A、B两点，已知Q点坐标为，求的值．19．（12分）已知如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示。（Ⅰ）求证：AE平面BCD；（Ⅱ）求二面角A-DC-B的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比（只需写出结果，不要求过程）．20．（12分）新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，电子购物平台成为人们的热门选择.为提高市场销售业绩，某公司设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采用促销”和“没有采用促销”的营销网点各选取了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组：，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.（1）请你根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”；采用促销没有采用促销合计精英店非精英店合计5050100（2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价(单位：元)和日销量(单位：件)的一组数据后决定选择作为回归模型进行拟合.具体数据如下表，表中的：①根据上表数据计算的值；②已知该公司成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价定为多少时日利润可以达到最大.附①：附②：对应一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.21．（12分）已知函数，设的最小值为m.（1）求m的值；（2）是否存在实数a，b，使得，？并说明理由.22．（10分）已知f(x)=|x+3|-|x-2|（1）求函数f(x)的最大值m；（2）正数a，b，c满足a+2b+3c=m，求证：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

利用乘法运算化简复数即可得到答案.【详解】由已知，，所以，解得.故选：B【点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.2．B【解析】

根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，

则小正方形的边长为，小正方形的面积，

则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为，

故选：B.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.3．C【解析】

利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，进而可得出、、三个数的大小关系.【详解】对数函数为上的增函数，则，即；指数函数为上的增函数，则；指数函数为上的减函数，则.综上所述，.故选：C.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.4．A【解析】

依题意可得，再根据离心率求出，即可求出，从而得解；【详解】解：∵双曲线的离心率为，所以，∴，∴，双曲线的焦距为.故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.5．B【解析】

化简复数为的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.【详解】对应的点的坐标为在第二象限故选：B.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.6．B【解析】

人每天走的路程构成公比为的等比数列，设此人第一天走的路程为，计算，代入得到答案.【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列，设此人第一天走的路程为，则，解得，从而可得，故.故选：.【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.7．D【解析】

依次将选项中的代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.【详解】当时，在上不单调，故A不正确；当时，在上单调递减，故B不正确；当时，在上不单调，故C不正确；当时，在上单调递增，故D正确.故选：D【点睛】本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题.8．B【解析】由正弦定理及条件可得，即.，∴，由余弦定理得。∴.选B。9．A【解析】

依题意问题是，然后按直到型验证即可.【详解】根据题意为了计算7个数的方差，即输出的，观察程序框图可知，应填入，，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题.10．B【解析】

构造函数,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.【详解】设,则函数的导数,，，即函数为减函数,,，则不等式等价为，则不等式的解集为,即的解为，，由得或，解得或,故不等式的解集为.故选:.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.11．B【解析】

作出可行域，表示可行域内点与定点连线斜率，观察可行域可得最小值．【详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），表示可行域内点与定点连线斜率，，，过与直线平行的直线斜率为－1，∴．故选：B．【点睛】本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题表示动点与定点连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．12．B【解析】

根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.【详解】输入，不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数不成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；成立，跳出循环，输出i的值为.故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．.【解析】

先利用导数求切线的斜率，再写出切线方程.【详解】因为y′＝－5e－5x，所以切线的斜率k＝－5e0＝－5，所以切线方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3.故答案为y＝－5x＋3.【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和函数的求导，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是14．【解析】

如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，计算得到，得到答案.【详解】如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，则，所以，所以球的半径，则球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥补成长方体是解题的关键.15．【解析】

双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即，即可求出双曲线的离心率．【详解】解：双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，一条渐近线的斜率为1，即，，，故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题．16．【解析】

由题意容积，求导研究单调性，分析即得解.【详解】由题意：容积，，则，由得或（舍去），令则为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时.故答案为：【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）【解析】

（1）利用二倍角公式及三角形内角和定理，将化简为，求出的值，结合，求出A的值；（2）写出三角形的面积公式，由其最大值为求出.由余弦定理，结合，，求出的范围，注意.进而求出周长的范围.【详解】解：（1）整理得解得或(舍去)又；（2）由题意知，又，，又周长的取值范围是【点睛】本题考查了二倍角余弦公式，三角形面积公式，余弦定理的应用，求三角形的周长的范围问题.属于中档题.18．（1）；（2）．【解析】

（1）根据椭圆的离心率为，得到，根据直线与圆的位置关系，得到原心到直线的距离等于半径，得到，从而求得，进而求得椭圆的方程；（2）分直线的斜率存在是否为0与不存在三种情况讨论，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量的数量积，结合已知条件求得结果.【详解】（1）由离心率为，可得，，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为，因与直线相切，则有，即，，，故而椭圆方程为．（2）①当直线l的斜率不存在时，，，由于；②当直线l的斜率为0时，，，则；③当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，由及，得，有，∴，，，，∴，综上所述：．【点睛】该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求向量数量积，在解题的过程中，注意对直线方程的分类讨论，属于中档题目.19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）1:5【解析】

（Ⅰ）由平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，AE⊥BD于E，能证明AE⊥平面BCD;（Ⅱ）以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;（Ⅲ）利用体积公式分别求出三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积，再作比写出答案即可．【详解】（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE⊂平面ABD，∴AE⊥平面BCD．（Ⅱ）由（1）知AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD，如图，以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系E-xyz，设AB=BD=DC=AD=2，

则BE=ED=1，∴AE=，BC=2，BF=，则E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，），

F（，0，0），C（，2，0），，，由AE⊥平面BCD知平面BCD的一个法向量为，设平面ADC的一个法向量，则，取x=1，得，∴，∴二面角A-DC-B的平面角为锐角，故余弦值为．

（Ⅲ）三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比为：1:5.【点睛】本题考查线面垂直的证明、几何体体积计算、二面角有关的立体几何综合题，属于中等题.20．（1）列联表见解析，有把握；（2）①；②元时【解析】

（1）直接由题意列出列联表，通过计算，可判断精英店与采用促销活动是否有关.（2）①代入表中数据，结合公式求出；②由①中所得的线性回归方程，若售价为，单价利润为，日销售量为，进而可求出日利润，结合导数可求最值.【详解】解：（1）由题意知，采用促销中精英店的数量为