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文档简介

2022-2023学年山东省滕州市第十一中学高三下学期期末教学质量诊断(一模)数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数的实部与虚部相等,其中为虚部单位,则实数()A.3 B. C. D.2.如图所示,三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一内角为,若向弦图内随机抛掷500颗米粒(米粒大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为()A.134 B.67 C.182 D.1083.若,,,则()A. B.C. D.4.若双曲线的离心率为,则双曲线的焦距为()A. B. C.6 D.85.在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了六天恰好到达目的地,请问第二天比第四天多走了()A.96里 B.72里 C.48里 D.24里7.函数在上为增函数,则的值可以是()A.0 B. C. D.8.在中,角,,的对边分别为,,,若,,,则()A. B.3 C. D.49.框图与程序是解决数学问题的重要手段,实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后,可以制作框图,编写程序,得到解决,例如,为了计算一组数据的方差,设计了如图所示的程序框图,其中输入,,,,,,,则图中空白框中应填入()A., B. C., D.,10.已知函数满足,且,则不等式的解集为()A. B. C. D.11.已知实数满足线性约束条件,则的取值范围为()A.(-2,-1] B.(-1,4] C.[-2,4) D.[0,4]12.很多关于整数规律的猜想都通俗易懂,吸引了大量的数学家和数学爱好者,有些猜想已经被数学家证明,如“费马大定理”,但大多猜想还未被证明,如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是:对于每一个正整数,如果它是奇数,则将它乘以再加1;如果它是偶数,则将它除以;如此循环,最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为,则输出i的值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为________.14.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,,则球的表面积为__________.15.已知双曲线的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合,则双曲线的离心率为_____16.现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在中,内角的对边分别为,且(1)求;(2)若,且面积的最大值为,求周长的取值范围.18.(12分)已知椭圆的离心率为,且以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆的标准方程;(2)已知动直线l过右焦点F,且与椭圆C交于A、B两点,已知Q点坐标为,求的值.19.(12分)已知如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D为AC中点,AEBD于E,延长AE交BC于F,将△ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,如图2所示。(Ⅰ)求证:AE平面BCD;(Ⅱ)求二面角A-DC-B的余弦值;(Ⅲ)求三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比(只需写出结果,不要求过程).20.(12分)新型冠状病毒肺炎疫情发生以来,电子购物平台成为人们的热门选择.为提高市场销售业绩,某公司设计了一套产品促销方案,并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后,对“采用促销”和“没有采用促销”的营销网点各选取了50个,对比上一年度的销售情况,分别统计了它们的年销售总额,并按年销售总额增长的百分点分成5组:,分别统计后制成如图所示的频率分布直方图,并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.(1)请你根据题中信息填充下面的列联表,并判断是否有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”;采用促销没有采用促销合计精英店非精英店合计5050100(2)某“精英店”为了创造更大的利润,通过分析上一年度的售价(单位:元)和日销量(单位:件)的一组数据后决定选择作为回归模型进行拟合.具体数据如下表,表中的:①根据上表数据计算的值;②已知该公司成本为10元/件,促销费用平均5元/件,根据所求出的回归模型,分析售价定为多少时日利润可以达到最大.附①:附②:对应一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.21.(12分)已知函数,设的最小值为m.(1)求m的值;(2)是否存在实数a,b,使得,?并说明理由.22.(10分)已知f(x)=|x+3|-|x-2|(1)求函数f(x)的最大值m;(2)正数a,b,c满足a+2b+3c=m,求证:

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】

利用乘法运算化简复数即可得到答案.【详解】由已知,,所以,解得.故选:B【点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.2.B【解析】

根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.【详解】解:设大正方形的边长为1,则小直角三角形的边长为,

则小正方形的边长为,小正方形的面积,

则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为,

故选:B.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用,求出对应的面积之比是解决本题的关键.3.C【解析】

利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系,进而可得出、、三个数的大小关系.【详解】对数函数为上的增函数,则,即;指数函数为上的增函数,则;指数函数为上的减函数,则.综上所述,.故选:C.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较,一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较,考查推理能力,属于基础题.4.A【解析】

依题意可得,再根据离心率求出,即可求出,从而得解;【详解】解:∵双曲线的离心率为,所以,∴,∴,双曲线的焦距为.故选:A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于基础题.5.B【解析】

化简复数为的形式,然后判断复数的对应点所在象限,即可求得答案.【详解】对应的点的坐标为在第二象限故选:B.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.6.B【解析】

人每天走的路程构成公比为的等比数列,设此人第一天走的路程为,计算,代入得到答案.【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列,设此人第一天走的路程为,则,解得,从而可得,故.故选:.【点睛】本题考查了等比数列的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.7.D【解析】

依次将选项中的代入,结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.【详解】当时,在上不单调,故A不正确;当时,在上单调递减,故B不正确;当时,在上不单调,故C不正确;当时,在上单调递增,故D正确.故选:D【点睛】本题考查正弦、余弦函数的单调性,涉及到诱导公式的应用,是一道容易题.8.B【解析】由正弦定理及条件可得,即.,∴,由余弦定理得。∴.选B。9.A【解析】

依题意问题是,然后按直到型验证即可.【详解】根据题意为了计算7个数的方差,即输出的,观察程序框图可知,应填入,,故选:A.【点睛】本题考查算法与程序框图,考查推理论证能力以及转化与化归思想,属于基础题.10.B【解析】

构造函数,利用导数研究函数的单调性,即可得到结论.【详解】设,则函数的导数,,,即函数为减函数,,,则不等式等价为,则不等式的解集为,即的解为,,由得或,解得或,故不等式的解集为.故选:.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性,根据函数的单调性解不等式,考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.11.B【解析】

作出可行域,表示可行域内点与定点连线斜率,观察可行域可得最小值.【详解】作出可行域,如图阴影部分(含边界),表示可行域内点与定点连线斜率,,,过与直线平行的直线斜率为-1,∴.故选:B.【点睛】本题考查简单的非线性规划.解题关键是理解非线性目标函数的几何意义,本题表示动点与定点连线斜率,由直线与可行域的关系可得结论.12.B【解析】

根据程序框图列举出程序的每一步,即可得出输出结果.【详解】输入,不成立,是偶数成立,则,;不成立,是偶数不成立,则,;不成立,是偶数成立,则,;不成立,是偶数成立,则,;不成立,是偶数成立,则,;不成立,是偶数成立,则,;成立,跳出循环,输出i的值为.故选:B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果,考查计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13..【解析】

先利用导数求切线的斜率,再写出切线方程.【详解】因为y′=-5e-5x,所以切线的斜率k=-5e0=-5,所以切线方程是:y-3=-5(x-0),即y=-5x+3.故答案为y=-5x+3.【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和函数的求导,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率,相应的切线方程是14.【解析】

如图所示,将三棱锥补成长方体,球为长方体的外接球,长、宽、高分别为,计算得到,得到答案.【详解】如图所示,将三棱锥补成长方体,球为长方体的外接球,长、宽、高分别为,则,所以,所以球的半径,则球的表面积为.故答案为:.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题,意在考查学生的计算能力和空间想象能力,将三棱锥补成长方体是解题的关键.15.【解析】

双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合,可得一条渐近线的斜率为1,即,即可求出双曲线的离心率.【详解】解:双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合,一条渐近线的斜率为1,即,,,故答案为:.【点睛】本题考查双曲线的离心率,考查学生的计算能力,确定一条渐近线的斜率为1是关键,属于基础题.16.【解析】

由题意容积,求导研究单调性,分析即得解.【详解】由题意:容积,,则,由得或(舍去),令则为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点,此时.故答案为:【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用,考查了学生数学建模,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)【解析】

(1)利用二倍角公式及三角形内角和定理,将化简为,求出的值,结合,求出A的值;(2)写出三角形的面积公式,由其最大值为求出.由余弦定理,结合,,求出的范围,注意.进而求出周长的范围.【详解】解:(1)整理得解得或(舍去)又;(2)由题意知,又,,又周长的取值范围是【点睛】本题考查了二倍角余弦公式,三角形面积公式,余弦定理的应用,求三角形的周长的范围问题.属于中档题.18.(1);(2).【解析】

(1)根据椭圆的离心率为,得到,根据直线与圆的位置关系,得到原心到直线的距离等于半径,得到,从而求得,进而求得椭圆的方程;(2)分直线的斜率存在是否为0与不存在三种情况讨论,写出直线的方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理,向量的数量积,结合已知条件求得结果.【详解】(1)由离心率为,可得,,且以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为,因与直线相切,则有,即,,,故而椭圆方程为.(2)①当直线l的斜率不存在时,,,由于;②当直线l的斜率为0时,,,则;③当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为,,,由及,得,有,∴,,,,∴,综上所述:.【点睛】该题考查直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,求向量数量积,在解题的过程中,注意对直线方程的分类讨论,属于中档题目.19.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)1:5【解析】

(Ⅰ)由平面ABD⊥平面BCD,交线为BD,AE⊥BD于E,能证明AE⊥平面BCD;(Ⅱ)以E为坐标原点,分别以EF、ED、EA所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系E-xyz,利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;(Ⅲ)利用体积公式分别求出三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积,再作比写出答案即可.【详解】(Ⅰ)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,交线为BD,又在△ABD中,AE⊥BD于E,AE⊂平面ABD,∴AE⊥平面BCD.(Ⅱ)由(1)知AE⊥平面BCD,∴AE⊥EF,由题意知EF⊥BD,又AE⊥BD,如图,以E为坐标原点,分别以EF、ED、EA所在直线为x轴,y轴,z轴,

建立空间直角坐标系E-xyz,设AB=BD=DC=AD=2,

则BE=ED=1,∴AE=,BC=2,BF=,则E(0,0,0),D(0,1,0),B(0,-1,0),A(0,0,),

F(,0,0),C(,2,0),,,由AE⊥平面BCD知平面BCD的一个法向量为,设平面ADC的一个法向量,则,取x=1,得,∴,∴二面角A-DC-B的平面角为锐角,故余弦值为.

(Ⅲ)三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比为:1:5.【点睛】本题考查线面垂直的证明、几何体体积计算、二面角有关的立体几何综合题,属于中等题.20.(1)列联表见解析,有把握;(2)①;②元时【解析】

(1)直接由题意列出列联表,通过计算,可判断精英店与采用促销活动是否有关.(2)①代入表中数据,结合公式求出;②由①中所得的线性回归方程,若售价为,单价利润为,日销售量为,进而可求出日利润,结合导数可求最值.【详解】解:(1)由题意知,采用促销中精英店的数量为

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