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文档简介
华师版八年级上第13章全等三角形集训课堂练素养2.角平分线中常用的作辅助线的方法
因为角的平分线已经具备了全等三角形的两个条件(角
相等和公共边)，所以在处理角的平分线的问题时，常作出
全等三角形的第三个条件，截两边相等(S.A.S.)或向两边
作垂线段(A.A.S.)等来构造全等三角形.方法1作一边的垂线段法构造对称图形1.
已知：如图，
D
为△
ABC
外角∠
ACP
平分线上一点，且
DA
＝
DB
，
DM
⊥
BP
于点
M
.
(1)若
AC
＝6，
DM
＝2，求△
ACD
的面积；1234【解】如图，过点
D
作
DN
⊥
AC
于点
N
.
1234(2)求证：
AC
＝
BM
＋
CM
.
【证明】∵
DM
⊥
BP
，
DN
⊥
AC
，∴∠
DMB
＝∠
DNC
＝∠
DNA
＝90°.∵
CD
＝
CD
，
DM
＝
DN
，∴Rt△
CDM
≌Rt△
CDN
(H.L.).∴
CM
＝
CN
.
∵
AD
＝
BD
，
DN
＝
DM
，∴Rt△
ADN
≌Rt△
BDM
(H.L.).∴
AN
＝
BM
.
∴
AC
＝
AN
＋
CN
＝
BM
＋
CM
.
1234方法2作两边的垂线段法构造对称图形2.
[新考法·等面积法]如图，点
F
，
G
是
OA
上两点，点
M
，
N
是
OB
上两点，且
FG
＝
MN
，△
PFG
和△
PMN
的面积相等.试判断点
P
是否在∠
AOB
的平分线
上，并说明理由.1234【解】点
P
在∠
AOB
的平分线上.理由如下：如图，过点
P
作
PD
⊥
OA
于点
D
，
PE
⊥
OB
于点
E
.
S△
PFG
＝
S△
PMN
，
又∵
FG
＝
MN
，∴
PD
＝
PE
.
∴点
P
在∠
AOB
的平分线上.1234方法3补形法构造对称图形3.
如图，在△
AOB
中，
AO
＝
OB
，∠
AOB
＝90°，
BD
平
分∠
ABO
交
AO
于点
D
，
AE
⊥
BD
交
BD
的延长线于点
E
.
求证：
BD
＝2
AE
.
【证明】如图，延长
AE
交
BO
的延长线于点
F
.
∵
AE
⊥
BE
，∴∠
AEB
＝∠
FEB
＝90°.∵
BD
平分∠
ABO
，∴∠
ABE
＝∠
FBE
.
1234又∵
BE
＝
BE
，∴△
ABE
≌△
FBE
(A.S.A.).∴
AE
＝
FE
.
∴
AF
＝2
AE
.
∵∠
AOF
＝∠
BEF
＝90°，∴∠
OAF
＋∠
AFO
＝90°，∠
OBD
＋∠
AFO
＝90°.∴∠
OAF
＝∠
OBD
.
又∵
OA
＝
OB
，∠
AOF
＝∠
BOD
＝90°，∴△
AOF
≌△
BOD
(A.S.A.).∴
AF
＝
BD
.
∴
BD
＝2
AE
.
1234方法4翻折法构造对称图形4.
如图，
AD
为△
ABC
的中线，
DE
，
DF
分别是△
ADB
和
△
ADC
的角平分线.求证：
BE
＋
CF
＞
EF
.
【证明】如图，在
AD
上截取
DH
＝
BD
，连结
EH
，
FH
.
∵
AD
是
BC
边上的中线，∴
BD
＝
CD
＝
DH
.
1234∵
DE
平分∠
ADB
，∴∠
BDE
＝∠
HDE
.
又∵
DE
＝
DE
，∴△
BDE
≌△
HDE
(S.A.S.).∴
BE
＝
HE
.
同理可证△
CDF
≌△
HDF
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