2024八年级数学上册第13章全等三角形13.5逆命题与逆定理2线段垂直平分线上课课件新版华东师大版

13.5逆命题与逆定理第2课时

线段垂直平分线第13章

全等三角形1、理解和掌握线段垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或计算.2、知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.3、了解数学和生活的紧密联系，培养用数学的能力.温故知新CABPMN如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB有怎样的关系？PA与PB完全重合

如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什么地方，才能使A、B两村到车站距离相等？公

路AB知识点一

线段垂直平分线的性质

如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.MNPACB对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？下面我们来证明刚才得到的结论：证明：∵MN⊥AB（已知）,

∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义).在△ACP和△BCP中,

∴△ACP≌△BCP(S.A.S.).

∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).

AC=BC,∠ACP=∠BCP,PC=PC,MNPACB你能用一句话来描述刚得到的结论吗？线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.线段垂直平分线的性质定理：知识归纳MNPACB几何语言叙述:∵点P在线段AB的垂直平分线上（或PC⊥AB，AC=BC），∴PA=PB.典例精析【例1】利用尺规，作线段AB的垂直平分线.作法：1.分别以点A和点B为圆心，以大于AB一半的长为半径作弧，已知：线段AB.求作：AB的垂直平分线.2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线．••ABCD两弧相交于点C和D；练一练1.如图，AB=AC，∠A=50°，DE垂直平分AB.求∠DBC的大小.解：由题意，得∠ABC=(180°－∠A)÷2=65°，∠EBD=∠A=50°，∴∠DBC=∠ABC－∠EBD=15°.知识点二

线段垂直平分线的判定定理探索

这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？条件结论性质定理逆命题一直线是一线段的垂直平分线该直线上的点到线段两端的距离相等点到线段两端的距离相等该点在线段的垂直平分线上逆命题是否是一个真命题？

逆命题如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.已知：如图，QA＝QB.求证：点Q在线段AB的垂直平分线上．

分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB．证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，故∠QCA=∠QCB=90°.在Rt△QCA

和Rt△QCB中，∵QA=QB，QC=QC，∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.∴AC=BC.∴点Q在线段AB的垂直平分线上．已知：如图，QA＝QB.求证：点Q在线段AB的垂直平分线上．

你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？知识要点线段垂直平分线的判定应用格式：∵

PA=PB，∴点P

在AB

的垂直平分线上．PAB作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.

定理到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.

利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．

做一做怎样证明这个结论呢?点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如下：试试看，你会写出证明过程吗？BCAPlnml是AB的垂直平分线m是BC的垂直平分线PA=PBPB=PCPA=PC点P在AC的垂直平分线上证明：连接PA，PB，PC.∵点P在AB，AC的垂直平分线上，∴PA=PB，PA=PC

（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）.∴PB=PC.∴点P在BC的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.BCAPlnm典例精析【例2】如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作一点P，使PA=PB.ABl提示：作AB的垂直平分线与直线l的交点.P练一练1.如图，BD⊥AC，垂足为点E，AE=CE.

求证：AB＋CD＝AD

＋BC.DACBE证明：∵BD

AC，AE＝EC，∴BD是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，AB＝BC，∴AB＋CD＝AD＋BC.2.如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD=BC.求证：点D在AC的垂直平分线上.ABCD证明：∵BD＋DC＝BC

而BD＋AD＝BC，∴AD＝DC，∴点D在AC的垂直平分线上.3.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D.求证：点D在AB的垂直平分线上.

证明：∵∠C=90°，∠A=30°∴∠ABC=60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=30°，∴∠A=∠ABD=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的垂直平分线上.1.如图，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A.6B.5C.4D.3PABCDB由垂直平分线的性质可知，PA=PB=52.如图，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,

△BCE的周长等于18cm,则AC的长是

.10cmABCDE∵DE是AB的垂直平分线∴AE=BE∵△BCE的周长为18∴AC+BC=18∴AC=103.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC

()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点D解：∵DE是△ABC边AB的垂直平分线,∴EB=EA,∴△AEC的周长=AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=4+5=9.4.如图，DE是△ABC边AB的垂直平分线，交AB、BC于D、E，若AC=4，BC=5，求△AEC的周长.ADBEC

解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD

是BC的垂直平分线，∴AB=AC．∵点C在AE

的垂直平分线上，∴AC=CE．∴AB=AC=CE．

∴AB+BD=CE+CD,即AB+BD=DE.5.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C

在AE

的垂直平分线上，AB，AC，CE

的长度有什么关系？AB+BD与DE

有什么关系？ABCDE6.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边的什么地方，可使所修的渠道最短？2.连接A'B，交a于点P.作法：1.做点A关于a的对称点A'.点P即为抽水站的位置.ABaA'P7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，DE垂直平分AB于点D．求证：BE＋DE＝AC．BACDE证明：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∠EDB＝90°.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠DBE.∵∠C＝∠EDB＝90°，BE＝BE，∴△BED≌△BEC，∴DE＝CE，∴BE＋DE＝AE＋EC＝AC.8.如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，已知△BCD的周长为12，且AC-BC=2，求AC、BC的长.ABCED解：∵D是AB的