重难点06 中考相似三角形重点六大模型

重难点06中考相似三角形重点六大模型模型解密模型一:A字型A型模型反A型模型在△ABC中，DE∥BC在△ABC中，∠AED＝∠B模型二:母抱子型反A型模型双垂直型在△ABC中，∠ACD＝∠B如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠ACB＝90模型三:一线三等角模型在Rt△ABC与Rt△CDE中，A，C，D三点共线，∠A＝∠BCE＝∠D＝90在△ABC与△CDE中，B，C，D三点共线，∠B＝∠ACE＝∠D模型四:半角模型正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，连接AC，EF，GH，CH，CF模型五:手拉手模型（1）有公共顶点的直角三角形（2）有公共顶点的任意三角形模型六：8字模型典例分析模型一:A字型1．（2023•无锡）如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E．DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD．（1）求∠F的度数；（2）若DE•DC＝8，求⊙O的半径．2．（2023•南通）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，则＝．3．（2023•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（）A． B． C． D．4．（2023•南京）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD（不计折射），AB∥CD．（1）在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变．（2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度为60cm．在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．①画出此时AB所在位置的示意图；②CD的长度的最大值为cm．5．（2022•上海）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，α的代数式表示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．模型二:母抱子型6．（2023•海曙区模拟）如图，∠DCB＝∠A，CD＝4，BD＝2，∠CDB＝120°，则△ABC的面积为．7．（2022•长宁区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝8，那么CD的长是．8．（2023•杨浦区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论中，错误的是（）A． B． C． D．9．（2022•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．模型三:一线三等角模型10．（2023•武汉模拟）点C在AB的延长线上，且∠DAB＝∠DBE．（1）如图（1），若∠C＝∠A，求证：△DAB∽△BCE；（2）如图（2），若CE∥AD，∠C＝45°，若，则的值为；（直接写出）（3）如图（3），连接AE，若△DAB∽△DBE，，求证：AE＝2BD．11．（2023•广水市模拟）如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝x（x＞1），（1）若点F恰为CD边的中点，则x＝．（2）设＝y，则y关于x的函数表达式是．12．（2022•太原二模）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过CB的中点D作DE⊥AD，交AB于点E，则EB的长为．13．（2022•郑州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为时，△CDE与△ACE相似．14．（2023•武汉模拟）【问题背景】（1）如图1，点B，C，D在同一直线上，∠B＝∠ACE＝∠D，求证：△ABC∽△CDE；【问题探究】（2）在（1）条件下，若点C为BD的中点，求证：AC2＝AB•AE；【拓展运用】（3）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，点O是△ABC的内心、若OA＝2，OB＝OC，则BC的长为．模型四:半角模型15.（2023秋•江津区校级月考）已知正方形ABCD边长为5，点M、N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，AN，若∠MAN＝45°，BM＝2，则线段NC的长为（）A．2 B．3 C． D．16．（2020•河北区模拟）如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为．17．（2023•增城区二模）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF．（1）如图1，若BE＝2，DF＝3，求EF的长度；（2）如图2，连接BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N，若正方形ABCD的边长为6，BE＝2，求DF的长；（3）判断线段BN、MN、DM三者之间的数量关系并证明你的结论．18．（2022•绥化三模）已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．模型五:手拉手模型19．（2023•获嘉县模拟）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝nBC，P为AB上的一点（不与端点重合），过点P作PM⊥AB交AG于点M，得到△APM．（1）【问题发现】如图1，当n＝1时，P为AB的中点时，CM与BP的数量关系为；（2）【类比探究】如图2，当n＝2时，△APM绕点A顺时针旋转，连接CM，BP，则在旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由；（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知AB＝4，AP＝2，当△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段BM的长．20．（2023•平遥县二模）（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．请判断BD与CE的数量关系：．（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请写出BD与CE的数量关系：．（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．21．（2023•市中区校级四模）[问题提出]如图1，在等边△ABC内部有一点P，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．[数学思考]当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分数的条件集中起来解决问题．[尝试解决]将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接P′P，则△APP′为等边三角形．∴PP′＝PA＝3，又∵PB＝4，PC＝5，PP′2+PB2＝PC2．∴△BP′P为三角形，∴∠APB的度数为．[类比探究]如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，其内部有一点P，若PA＝2，PB＝1，PC＝3，求∠APB的度数．[联想拓展]如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，其内部有一点P，若PA＝3，PB＝2，PC＝4，求∠APB的度数．22.（2023•虎林市校级二模）已知△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE，G，F分别是BC，DE的中点，连接FG．（1）如图1，当点D在△ABC内部时，求证；（2）如图2、图3，当点D在△ABC外部时，请直接写出EC与FG的数量关系，不需要证明．23．（2023•亳州二模）如图1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．（1）①求证：△ABC∽△ADE；②若AB＝AC，试判断△ADE的形状，并说明理由；（2）如图2，旋转△ADE，使点D落在边BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE．求证：CE⊥BC．模型六：8字模型24．（2023•哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（）A．2 B．4 C．6 D．825．（2023•包河区二模）如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE交AC于点F，则的值是（）A． B． C． D．26．（2023•丰南区一模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（12，9），B（9，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（）A．（﹣3，﹣3） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣6，﹣3）27．（2023•山西模拟）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度AB为1.5cm时，所成的像A'B'的高度为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm28．（2023•静安区校级一模）如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，连接DE．下列结论成立的是（）A． B． C． D．29．（2023•太原一模）如图，正方形ABCD的边长为6，点F是BC边上一点，连接AF交对角线BD于点E．若DE＝2BE，则EF的长为（）A．2 B． C． D．330．（2023•城关区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接CE交BD于点F，若AC＝8，OF＝3，则菱形ABCD的边长为（）A．10 B． C． D．31．（2023•灞桥区校级四模）如图，在▱ABCD中，点E在线段AB上，点F为对角线AC与DE的交点．若AB：AE＝3：2，则△AEF与▱ABCD的面积之比为（）A． B． C． D．

重难点06中考相似三角形重点六大模型典例分析模型一:A字型1．（2023•无锡）如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E．DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD．（1）求∠F的度数；（2）若DE•DC＝8，求⊙O的半径．【答案】（1）67.5°；（2）2．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵FD为⊙O的切线，∴∠ODF＝90°，∵DF∥AB，∴∠AOD＝180°﹣∠ODF＝90°，∴∠ACD＝∠AOD＝45°，∵CF＝CD，∴∠F＝∠CDF＝＝67.5°；（2）∵OA＝OD，∠AOD＝90°，∴∠EAD＝45°，∵∠ACD＝45°，∴∠ACD＝∠EAD，∵∠ADE＝∠CDA，∴△DAE∽△DCA，∴＝，∴DA2＝DE•DC＝8，∵DA＞0，∴DA＝2，∵OA2+OD2＝2OA2＝DA2＝8，OA＞0，∴OA＝2，即⊙O的半径为2．2．（2023•南通）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，则＝．【答案】．【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝．故答案为：3．（2023•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得：，连接AE，OE，设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝r，∴OB＝AB﹣OA＝10﹣r，∵BC与半圆相切，∴OE⊥BC，∵∠C＝90°，即AC⊥BC，∴OE∥AC，∴△BOE∽△BAC，∴，即：，由得：，由得：，∴，在Rt△ACE中，AC＝8，，由勾股定理得：，∵BE为半圆的切线，∴∠BED＝∠BAE，又∠DBE＝∠EBA，∴△BDE∽△BEA，∴，∴DE•AB＝BE•AE，即：，∴．故选：B．4．（2023•南京）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD（不计折射），AB∥CD．（1）在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变．（2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度为60cm．在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．①画出此时AB所在位置的示意图；②CD的长度的最大值为80cm．【答案】（1）见证明过程．（2）①如图：②80cm．【解答】解：（1）设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN．∵AB∥CD，∴△OAB～△OCD，△OEF～△OMN，△OEB～△OMD，∴，，，∴，∵EF＝AB，∴MN＝CD，∴沿着AB方向平移时，CD长度不变．（2）①以A为圆心，AB长为半径画圆，当OQ与⊙A相切于H时，此时CD最大为CQ．此时AB所在位置为AH．②∵∠HGA＝∠PGO，∠AHG＝∠OPG＝90°，∴△GHA～△GPO，∴，∴设GA＝x，则GO＝2x，在Rt△OPG中，OP2+PG2＝OG2，∴362+（18+x）2＝（2x）2，∴x2﹣12x﹣540＝0，∴x1＝30，x2＝﹣18（舍去），∴AG＝30，由①，∴，∴CQ＝80，即CD的长度的最大值为80cm．5．（2022•上海）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，α的代数式表示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．【答案】（1）（atanα+b）米；（2）3.8米．【解答】解：（1）如图：由题意得：BE＝CD＝b米，EC＝BD＝a米，∠AEC＝90°，∠ACE＝α，在Rt△AEC中，AE＝CE•tanα＝atanα（米），∴AB＝AE+BE＝（b+atanα）米，∴灯杆AB的高度为（atanα+b）米；（2）由题意得：GC＝DE＝2米，CD＝1.8米，∠ABC＝∠GCD＝∠EDF＝90°，∵∠AHB＝∠GHC，∴△ABH∽△GCH，∴＝，∴＝，∵∠F＝∠F，∴△ABF∽△EDF，∴＝，∴＝，∴＝，∴BC＝0.9米，∴＝，∴AB＝3.8米，∴灯杆AB的高度为3.8米．模型二:母抱子型6．（2023•海曙区模拟）如图，∠DCB＝∠A，CD＝4，BD＝2，∠CDB＝120°，则△ABC的面积为．【答案】．【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，∴∠CED＝90°，∵∠CDB＝120°，∴∠CDE＝60°，∴∠ECD＝30°，∴，由勾股定理得：，∴BE＝BD+ED＝2+2＝4，在Rt△CEB中，由勾股定理得：，∵∠DCB＝∠A，又∵∠DBC＝∠CBA，∴△DBC∽△CBA，∴，即，解得：BA＝14，∴．故答案为：．7．（2022•长宁区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝8，那么CD的长是．【答案】．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴，＝，∴＝，即＝，解得，CD＝，故答案为：．8．（2023•杨浦区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论中，错误的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，故A、B选项正确，不符合题意；故C选项错误，符合题意；∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴，故D选项正确，不符合题意．故选：C．9．（2022•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．【答案】（1）证明过程见解答；（2）⊙O的半径为．【解答】（1）证明：连接OD，CD，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CDB＝180°﹣∠ADC＝90°，∵点E是边BC的中点，∴DE＝CE＝BC，∴∠DCE＝∠CDE，∴∠ODC+∠CDE＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AD＝4，BD＝9，∴AB＝AD+BD＝4+9＝13，∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADC，∴＝，∴AC2＝AD•AB＝4×13＝52，∴AC＝2，∴⊙O的半径为．模型三:一线三等角模型10．（2023•武汉模拟）点C在AB的延长线上，且∠DAB＝∠DBE．（1）如图（1），若∠C＝∠A，求证：△DAB∽△BCE；（2）如图（2），若CE∥AD，∠C＝45°，若，则的值为；（直接写出）（3）如图（3），连接AE，若△DAB∽△DBE，，求证：AE＝2BD．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析．【解答】（1）证明：∵∠DAB＝∠DBE，∠CBD＝∠CBE+∠DBE＝∠DAB+∠DAB，∴∠ADB＝∠CBE，∵∠C＝∠A，∴△DAB∽△BCE；（2）解：如图（2），过点E作EF⊥EC交AC于点F，∵∠C＝45°，∴∠BFE＝90°+45°＝135°，∠CFE＝45°，∴∠C＝∠CFE，∴CE＝EF，CF＝EF，∵CE∥AD，∴∠A＝180°﹣45°＝135°，∴∠A＝∠BFE，由（1）可得△DAB∽△BFE，∴，设CE＝EF＝a，则BF＝a，CF＝a，∴BC＝BF+CF＝2a，∴，故答案为：；（3）证明：如图（3），延长AB到点F，使得∠BFE＝∠DAB，连接EF，∵△DAB∽△DBE，∴∠DAB＝∠DBE，∵∠DBF＝∠ADB+∠DAB＝∠DBE+∠EBF，∴∠EBF＝∠BDA，又∵∠DAB＝∠BFE，∴△DAB∽△BFE，∴，∵△DAB∽△DBE，∴，∴，设AD＝m，则AB＝m，BF＝m，EF＝2m，∴AF＝AB+BF＝2m，∴，又∵∠F＝∠DAB，∴△DAB∽△EFA，∴，∴AE＝2BD．11．（2023•广水市模拟）如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝x（x＞1），（1）若点F恰为CD边的中点，则x＝2．（2）设＝y，则y关于x的函数表达式是y＝．【答案】（1）2；（2）y＝．【解答】解：（1）∵点F为CD边的中点，∴DC＝2DF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠FEC+∠EFC＝90°，由折叠得：BE＝EF，AB＝AF，∠B＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF＝DC＝2DF，∵∠EFC+∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠FEC，∴△AFD∽△FEC，∴＝＝2，∴＝2，∴x＝2，故答案为：2；（2）由（1）可得AB＝AF＝DC＝DF+CF，∵△AFD∽△FEC，∴＝，∴＝，∴x＝，∴x＝1+，∴x＝1+，∴y＝，故答案为：y＝．12．（2022•太原二模）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过CB的中点D作DE⊥AD，交AB于点E，则EB的长为．【答案】．【解答】解：过点E作EM⊥BC，垂足为M，∴∠DME＝∠BME＝90°，∴∠EDM+∠DEM＝90°，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠CDA+∠EDM＝90°，∴∠CDA＝∠DEM，∵点D是BC的中点，∴CD＝BD＝BC＝2，∵∠C＝∠DME＝90°，∴△ACD∽△DME，∴＝＝，∴设EM＝2x，则DM＝3x，∵∠BME＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△BME∽△BCA，∴＝，∴＝，∴BM＝x，∵BD＝2，∴DM+BM＝2，∴3x+x＝2，∴x＝，∴EM＝，BM＝，∴BE＝＝＝，故答案为：．13．（2022•郑州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为或．时，△CDE与△ACE相似．【答案】或．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ACE，△ODE∽△OBA，∴△ODE也是等边三角形，则OD＝OE＝DE，设E（a，0），则OE＝OD＝DE＝a，BD＝AE＝4﹣a．∵△CDE与△ACE相似，分两种情况讨论：①当△CDE∽△EAC时，则∠DCE＝∠CEA，∴CD∥AE，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AC＝a，∵BD＝2AC，∴4﹣a＝2a，∴a＝．∴E；②当△CDE∽△AEC时，∠DCE＝∠EAC＝60°＝∠B，∴∠BCD+∠ECA＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，∴∠BCD+∠ECA＝∠BDC+∠BCD，∴∠ECA＝∠BDC，∴△BDC∽△ACE，∴，∴BC＝2AE＝2（4﹣a）＝8﹣2a，∴8﹣2a+2＝4，∴a＝．∴．综上所述，点E的坐标为或．14．（2023•武汉模拟）【问题背景】（1）如图1，点B，C，D在同一直线上，∠B＝∠ACE＝∠D，求证：△ABC∽△CDE；【问题探究】（2）在（1）条件下，若点C为BD的中点，求证：AC2＝AB•AE；【拓展运用】（3）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，点O是△ABC的内心、若OA＝2，OB＝OC，则BC的长为10．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）10．【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∠ACE＝∠B，∴∠BAC＝∠ECD，∵∠B＝∠D，∴△ABC∽△CDE；（2）证明：∵△ABC∽△CDE，∴，∴，又∵∠B＝∠ACE，∴△ABC∽△ACE，∴，∴AC2＝AB•AE；（3）解：如图所示，过点O作EF⊥OA交AB于点E，交AC于点F，∵点O是△ABC的内心，∴∠EAO＝∠FAO，∵AO＝AO，∠AOE＝∠AOF，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴OE＝OF＝OA＝2，AE＝AF＝＝＝4，∵∠BAC＝90°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴∠BEO＝∠OFC＝135°，∵∠BOF＝∠BEO+∠EBO，∠BOF＝∠BOC+∠COF，∴∠COF＝∠OBE，∴△BOE∽△COF，∴，∵OB＝OC，∴，∴BE＝OF＝＝4，CF＝，∴AB＝AE+BE＝4+4＝8，AC＝AF+CF＝4+2＝6，∵∠BAC＝90°，∴△BAC为直角三角形，∴BC＝＝＝10，故答案为：10．模型四:半角模型15.（2023秋•江津区校级月考）已知正方形ABCD边长为5，点M、N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，AN，若∠MAN＝45°，BM＝2，则线段NC的长为（）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解答】解：如图，延长CB，使BE＝DN，∵四边形ABCD是边长为5的正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝5，∴∠ABE＝90°，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴EB＝DN，MN＝EM，设CN＝x，则DN＝5﹣x，∴EB+BM＝MN＝7﹣x，在Rt△CMN中，MN2＝CM2+CN2，∴（7﹣x）2＝32+x2，解得x＝，∴CN＝，故选：D．16．（2020•河北区模拟）如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，∵∠BAC＝∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABD+∠ABE＝180°，∴E，B，M三点共线，∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN＝ME，∴MN＝CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4，∴CD＝BC＝2，BD＝＝2，∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2+2，故答案为：2+2．17．（2023•增城区二模）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF．（1）如图1，若BE＝2，DF＝3，求EF的长度；（2）如图2，连接BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N，若正方形ABCD的边长为6，BE＝2，求DF的长；（3）判断线段BN、MN、DM三者之间的数量关系并证明你的结论．【答案】（1）EF＝5；（2）DF＝3；（3））BN2+DM2＝MN2，证明见解析．【解答】解：（1）如图，延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，∵四边形ABCD为正方形，∴DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝AD，∴∠ABG＝90°，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，BG＝DF，AG＝AF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠EAG＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF，∵BE＝2，DF＝3，∴EF＝EG＝BG+BE＝DF+BE＝5；（2）∵四边形ABCD是边长为6的正方形，∴BC＝CD＝6，设DF＝x，则CF＝CD﹣DF＝6﹣x，由（1）知，EF＝DF+BE，∵BE＝2，∴CE＝BC﹣BE＝4，EF＝2+x，在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，∴42+（6﹣x）2＝（2+x）2，解得：x＝3，∴DF＝3；（3）BN2+DM2＝MN2，证明如下：如图，延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，在AG上截取AH＝AM，连接HN，BH，由（1）知，∠BAG＝∠DAF，∠EAG＝∠EAF＝45°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝AD，∠ADB＝∠ABD＝45°，在△ABH和△ADM中，，∴△ABH≌△ADM（SAS），∴BH＝DM，∠ABH＝∠ADM＝45°，∴∠HBN＝∠ABH+∠ABN＝90°，在△AHN和△AMN中，，∴△AHN≌△AMN（SAS），∴NH＝MN，在Rt△BHN中，BN2+BH2＝NH2，∴BN2+DM2＝MN2．18．（2022•绥化三模）已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH＝AB；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图①AH＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，在△ABM与△ADN中，，∴△ABM≌△ADN，∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，∵AH⊥MN，∴∠MAH＝MAN＝22.5°，∵∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠BAM＝22.5°，在△ABM与△AHM中，，∴△ABM≌△AHM，∴AB＝AH；故答案为：AH＝AB；（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE＝DN．∵ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，，∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM，∴S△AEM＝S△ANM，EM＝MN，∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB＝AH；（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，由（2）可知，AH＝AB＝BC＝CD＝AD，设AH＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，∴52＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，解得x1＝6，x2＝﹣1（不符合题意，舍去）∴AH＝6．模型五:手拉手模型19．（2023•获嘉县模拟）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝nBC，P为AB上的一点（不与端点重合），过点P作PM⊥AB交AG于点M，得到△APM．（1）【问题发现】如图1，当n＝1时，P为AB的中点时，CM与BP的数量关系为CM＝BP；（2）【类比探究】如图2，当n＝2时，△APM绕点A顺时针旋转，连接CM，BP，则在旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由；（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知AB＝4，AP＝2，当△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段BM的长．【答案】（1）CM＝BP；（2）CM＝BP，证明见解答；（3）线段BM的长为2+1或2﹣1．【解答】解：（1）当n＝1时，AB＝BC，∵∠ABC＝90°，∴＝，∵P为AB的中点，∴＝，∴AP＝BP＝AB，∵PM⊥AB，∴∠APM＝90°，∴∠APM＝∠ABC，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∴＝＝，∴AC＝AB，AM＝AP＝AB，∴CM＝AC﹣AM＝AB﹣AB＝AB，∴＝＝，∴CM＝BP，故答案为：CM＝BP；（2）CM＝BP的数量关系不变，理由如下：当n＝2时，AB＝2BC，则＝＝，∴BC＝AB，PM＝AP，由勾股定理可得：AC＝＝＝AB，AM＝＝＝AP，∴＝＝，∴AC＝AB，AM＝AP，∴CM＝AC﹣AM＝（AB﹣AP）＝BP，由旋转得：∠CAB＝∠MAP，即∠BAP+∠CAP＝∠CAM+∠CAP，∴∠BAP＝∠CAM，∴△ABP∽△ACM，∴＝＝，∴CM＝BP；（3）∵AB＝4，AP＝2，∴BC＝2，PM＝1，由勾股定理可得：AC＝2，AM＝，∵△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线，∴∠APM＝90°，PM＝1，∠APB＝180°﹣90°＝90°，∴BP＝＝＝2，当△APM旋转至直线AB上方时，如图，则BM＝BP+PM＝2+1；当△APM旋转至直线AB下方时，如图，则BM＝BP﹣PM＝2﹣1；综上所述，线段BM的长为2+1或2﹣1．20．（2023•平遥县二模）（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．请判断BD与CE的数量关系：BD＝CE．（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请写出BD与CE的数量关系：或．（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．【答案】（1）BD＝CE；（2）或；（3）①；②．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC＝60°，∴∠DAB＝∠EAC，在△ADB，△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD＝CE，故答案为：BD＝CE．（2）结论：或，理由如下：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴，∵∴∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC＝45°，∴∠DAB＝∠EAC，且∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ADB∽△AEC，∴，∴或，故答案为：或；（3）①∵，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠DAE＝∠BAC，即∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC，∴∠DAB＝∠EAC，设AB＝3x，BC＝4x，在Rt△ABC中，，同理，在Rt△ADE中，设AD＝3a，DE＝4a，则AE＝5a，∴∠DAB＝∠EAC，，即，∴△DAB∽△EAC，∴；②由①得：△DAB∽△EAC，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BGF＝∠AGC，∴△BGF∽△CGA，∴∠BFG＝∠GAC，∴sin∠BFC＝sin∠BAC，在Rt△ABC中，∴，∴．21．（2023•市中区校级四模）[问题提出]如图1，在等边△ABC内部有一点P，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．[数学思考]当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分数的条件集中起来解决问题．[尝试解决]将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接P′P，则△APP′为等边三角形．∴PP′＝PA＝3，又∵PB＝4，PC＝5，PP′2+PB2＝PC2．∴△BP′P为直角三角形，∴∠APB的度数为150°．[类比探究]如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，其内部有一点P，若PA＝2，PB＝1，PC＝3，求∠APB的度数．[联想拓展]如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，其内部有一点P，若PA＝3，PB＝2，PC＝4，求∠APB的度数．【答案】[尝试解决]直角，150°；[类比探究]135°；[联想拓展]120°．【解答】解：[尝试解决]直角，150°；[类比探究]将△APC绕点A逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接P′P，则△APP′为等腰直角三角形，∴PP′＝PA＝2，又∵PB＝1，PC＝P'B＝3，∴PP′2+PB2＝P'B2，∴△BP′P为直角三角形，∴∠P′PB＝90°，∴∠APB＝∠P′PB+∠P′PA＝90°+45°＝135°．[联想拓展]如图，在PA的左侧构造三角形PAP'，使∠P'PA＝30°，∠P′AP＝90°，∵∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，∴∠P′AP＝∠BAC，∠P'PA＝∠BCA，∴△P′AP∽△BAC，∴＝，∴＝，∵∠BAP′+∠BAP＝90°，∠CAP+∠BAP＝90°，∴∠BAP′＝∠CAP，∴△BAP′∽△CAP，∴＝＝tan30°＝，∴P'B＝PC•＝4，在△P′BP中，PB＝2，PP'＝2，∴PP′2+PB2＝P'B2，∴∠P′PB＝90°，∴∠APB＝∠P′PB+∠P′PA＝90°+30°＝120°．22.（2023•虎林市校级二模）已知△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE，G，F分别是BC，DE的中点，连接FG．（1）如图1，当点D在△ABC内部时，求证；（2）如图2、图3，当点D在△ABC外部时，请直接写出EC与FG的数量关系，不需要证明．【答案】（1）见解答；（2）图2：．图3：．【解答】（1）证明：如图1，连接AF，AG．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴△ABC和△ADE均是等腰直角三角形．∵G，F分别为BC，DE的中点，∴∠GAC＝∠FAE＝45°，∴∠CAE＝∠GAF，∵，．∴．∴△ACE∽△AGF，∴．∴．（2）如图2，连接AF，AG．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴△ABC和△ADE均是等腰直角三角形．∵G，F分别为BC，DE的中点，∴∠GAC＝∠FAE＝45°，∴∠CAE＝∠GAF，∵，．∴．∴△ACE∽△AGF，∴．∴．如图3，连接AF，AG．∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴△ABC和△ADE均是等腰直角三角形．∵G，F分别为BC，DE的中点，∴∠GAC＝∠FAE＝45°，∴∠CAE＝∠GAF，∵，．∴．∴△ACE∽△AGF，∴．∴．故答案为：图2：．图3：．23．（2023•亳州二模）如图1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．（1）①求证：△ABC∽△ADE；②若AB＝AC，试判断△ADE的形状，并说明理由；（2）如图2，旋转△ADE，使点D落在边BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE．求证：CE⊥BC．【答案】（1）①见解析；②△ADE是等腰三角形；（2）见解析．【解答】（1）①证明：∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD∽△ACE，∴，即，又∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE；②解：△ADE是等腰三角形，理由如下：由①知，，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形；（2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，∴△BAC∽△DAE，∴，∴，又∵∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴∠B＝∠ACE，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴CE⊥