一章随机及其概率

1海南大学信息学院数学系

Probabilityandstatistics

概率论与数理统计2第一章随机事件及其概率第四章随机变量的数字特征第二章随机变量及其概率分布第三章多维随机变量及其分布第五章大数定律及中心极限定理第六章数理统计的基础知识第七章参数估计第八章假设检验3

法国数学家拉普拉斯(Laplace)曾说：

“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上只是概率问题”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大佳赞赏：

的某种估计,那么我们就寸步难行,无所作为.“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率4气象、水文、地震预报概率论的应用工农业生产武器精度评估优化实验方案社会、经济、医学、生物产品抽样验收生产自动化控制5下面我们就来开始一门“将不定性数量化”的课程的学习，这就是概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计6第一章随机事件及其概率§1随机事件§2随机事件的概率§3条件概率§4事件的独立性和伯努利概型第一章随机事件及其概念71.1随机现象1.2随机事件1.3随事件的关系及运算§1随机事件

第一章随机事件及其概念8在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象（必然现象）“可导必连续”,“水从高处流向低处”,实例自然界所观察到的现象:确定性现象随机现象1.1随机现象

确定性现象的特征:

条件完全决定结果第一章随机事件及其概念9在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.实例1

“在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面出现的情况”.2.随机现象结果有可能出现正面也可能出现反面.第一章随机事件及其概念10结果有可能为:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.

实例3

“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.

实例2

“用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况”.结果:“弹落点会各不相同”.第一章随机事件及其概念11实例4

“从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”.其结果可能为:

正品、次品.实例5

“过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯”.实例6

“一只灯泡的寿命”可长可短.随机现象的特征:条件不能完全决定结果第一章随机事件及其概念12???第一章概率论的基本概念有矛盾吗?“天有不测风云”和“天气可以预报”实现的偶然性。无!气象资料来探索这些偶然现象的规律性。

“天气可以预报”指的是随机现象一次

“天有不测风云”指的是研究者从大量的132.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量重复试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的.问题:什么是随机试验?如何来研究随机现象?说明:1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.第一章随机事件及其概念14第一章随机事件及其概念

1.2随机事件1.随机试验1.可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.定义

在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.15第一章随机事件及其概念说明：

1.

随机试验简称为试验,是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行的“调查”、“观察”、或“测量”等.实例

“抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况”.分析2.

随机试验通常用E来表示.(1)

试验可以在相同的条件下重复地进行;16第一章随机事件及其概念1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.2.“从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数”.同理可知下列试验都为随机试验(2)

试验的所有可能结果:正面，反面;(3)

进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

故为随机试验.17第一章随机事件及其概念3.

记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.4.

考察某地区10月份的平均气温.5.

从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.18第一章随机事件及其概念2.样本空间问题

随机试验的结果?定义

随机试验

E的所有可能结果组成的集合称为

E的样本空间,

记为Ω

.样本空间的元素

,即试验E的每一个结果,称为样本点(SamplePoint),常记为ω

，实例1

抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况.19第一章随机事件及其概念实例2

抛掷一枚骰子,观察出现的点数.实例3

从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况.20第一章随机事件及其概念实例4

记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.实例5考察某地区12月份的平均气温.21第一章随机事件及其概念实例6

从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.实例7记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数.注：试验的样本空间是根据试验的内容确定的！22第一章随机事件及其概念问题：？怎样用数学语言表示随机试验结果随机事件随机试验E的样本空间

的子集(或某些样本点的子集），称为E的随机事件,简称事件，常用A、B、C

等表示.试验中,骰子“出现1点”,“出现2点”,…,“出现6点”,“点数不大于4”,“点数为偶数”等都为随机事件.实例

抛掷一枚骰子,观察出现的点数.23第一章随机事件及其概念基本事件:(相对于观察目的不可再分解的事件)事件

B={掷出奇数点}如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.

事件Ai

={掷出i点},i=1,2,3,4,5,6由一个样本点组成的单点集.基本事件24第一章随机事件及其概念事件B={掷出奇数点}B发生当且仅当B中的样本点1,3,5中的某一个出现.当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称事件A发生.如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.25第一章随机事件及其概念特例—必然事件必然事件样本空间Ω也是其自身的一个子集Ω也是一个“随机”事件每次试验中必定有Ω中的一个样本点出现必然发生“抛掷一颗骰子，出现的点数不超过6”为必然事件。例——记作Ω26第一章随机事件及其概念特例—不可能事件空集Φ也是样本空间的一个子集不包含任何样本点不可能事件Φ也是一个特殊的“随机”事件不可能发生“抛掷一颗骰子，出现的点数大于6”是不可能事件例——记作Φ27第一章随机事件及其概念随机试验、样本空间与随机事件的关系每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.随机试验样本空间子集随机事件一般的事件怎样构成

?任何事件都由基本事件组成!必然事件不可能事件是两个特殊的随机事件28第一章随机事件及其概念

1.3事件的关系及运算

1.包含关系若事件A出现,必然导致B出现,则称事件B包含事件A,记作实例

“长度不合格”必然导致“产品不合格”所以“产品不合格”包含“长度不合格”.图示

B包含

A.

BA一、随机事件间的关系29第一章随机事件及其概念若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A,则称事件A与事件B相等,记作A=B.2.事件的和(并)实例

某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并.图示事件

A与

B的并.

BA30第一章随机事件及其概念3.事件的交(积)推广31第一章随机事件及其概念图示事件A与B

的积事件.

ABAB实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是“长度合格”与“直径合格”的交或积事件.32第一章随机事件及其概念和事件与积事件的运算性质33第一章随机事件及其概念实例抛掷一枚硬币,“出现花面”与“出现字面”是互不相容的两个事件.4.事件的互不相容(互斥)若事件A、B满足则称事件A与B互不相容.34第一章随机事件及其概念“骰子出现1点”“骰子出现2点”图示A与B互斥

AB互斥实例抛掷一枚骰子,观察出现的点数.说明当A

B=

时,可将A

B记为“直和”形式A+B.

任意事件A与不可能事件为互斥.35第一章随机事件及其概念5.事件的差图示A与B的差

AB实例“长度合格但直径不合格”是“长度合格”与“直径合格”的差.

BA事件“A出现而B不出现”，称为事件A与B的差.记作A-B(或)36第一章随机事件及其概念若事件A、B满足实例“骰子出现1点”“骰子不出现1点”图示A与B的对立.

BA6.事件的互逆（对立）对立则称A与B为互逆(或对立)事件.A的逆记作37第一章随机事件及其概念对立事件与互斥事件的区别

ABABA、B对立A、B互斥互斥对立38第一章随机事件及其概念二、事件间的运算规律39第一章随机事件及其概念某射手向目标射击三次，用表示第次击中目标试用及其运算符表示下列事件：（1）三次都击中目标：（2）至少有一次击中目标：

（3）恰好有两次击中目标：（4）最多击中一次：（5）至少有一次没有击中目标：（6）三次都没有击中目标：例1：复合事件的表示40第一章随机事件及其概念练一练1.A,B,C为同一样本空间的随机事件，试用A，B，C的运算表示下列事件1）A，B，C都不发生2）A与B发生，C不发生3）A，B，C至少有一个发生4）A，B，C中恰有二个发生5）A，B，C中至少有二个发生6）事件3）的对立事件412.

设Ａ，Ｂ是两个任意的随机事件，则解（1997）第一章随机事件及其概念练一练42解选Ｄ（2001）3.

对于任意两个事件Ａ和Ｂ，不等价的是（）与第一章随机事件及其概念练一练43选Ｃ

4.在电炉上安装了４个控温器，解的误差是随机的。温器显示的温度不低于临界温度电。显示的按递增顺序排列的温度值则事件Ｅ等于（）。（2000）其显示温度在使用过程中，只要有两个控以Ｅ表示事件“电炉断电”，设为４个控温器示的温度大于或等于，显示的温度一定大于等于“电炉断电”表示至少有２个控温器显则此时第三个控温器，电炉就断第一章随机事件及其概念练一练44第一章随机事件及其概念随机试验样本空间子集随机事件随机事件基本事件必然事件不可能事件复合事件小结1.随机试验、样本空间与随机事件的关系45第一章随机事件及其概念2.概率论与集合论之间的对应关系概率论集合论样本空间（必然事件）Ω

全集不可能事件Φ

空集Φ子事件A⊂B子集A⊂B和事件A∪B并集A∪B积事件A∩B交集A∩B差事件A-B差集A-B对立事件补集46第一章随机事件及其概念

德·摩根（Ａ.DeMorgan,1806～1871）英国著名数学家，所著的《代数学》是我国第一本代数学译本

。负数的认识问题

德·摩根不承认负数。1831年，德·摩根在他的《论数学的研究和困难》中仍坚持认为负数是荒谬的．他举例说：“父亲活56，他的儿子29岁，问什么时候，父亲的岁数将是儿子的2倍?”解方程56＋x＝2（29＋x）,得x＝－2，他说这个结果是荒谬的。

47第一章随机事件及其概念四色猜想

四色猜想是世界近代三大数学难题之一。

1852年,刚从伦敦大学毕业的弗南西斯·葛斯里在对英国地图着色时发现,对无论多么复杂的地图,只需用四种颜色就足够将相邻的区域分开。这个千万人屡见不鲜的有趣事实引起了他的注意,他感到这种现象决非偶然,可能隐藏着深刻的科学道理。他把他的想法告诉了他的哥哥弗德雷克。弗德雷克是著名数学家德·摩根的学生，他对这个问题极感兴趣,凭他的数学敏锐性，他感到这是个数学问题，于是便设法证明。可是,尽管他绞尽脑汁，仍百思不得其解，于是他以“四色定理”为名，请他的老师德·摩根证明。

48第一章随机事件及其概念

德·摩根也无法解决这个问题，于是德·摩根写信请著名数学家哈密尔顿帮助解答，这位智慧超群的人也被这个简单的问题弄得一筹莫展，他冥思苦想了13年，直至逝世仍毫无结果。在1876年，当时很有名望的数学家凯莱在数学年会上把这个问题归纳为“四色猜想”提出，并征求问题的解答。于是“四色猜想”开始引人注目。“四色猜想”的难度一开始并未引起人们的注意。爱因斯坦的老师闵可夫斯基平时为人很谦虚，偏偏有一次给大学生上课时在这个问题上出了洋相。49第一章随机事件及其概念

他在课堂上，一时兴起,便说：“四色猜想之所以一直没有解决,那仅仅是由于当今世界上第一流的数学家没有研究它,其实要解决这一猜想并不见得会有多难。”说着拿起粉笔竟要在课堂上即兴推演,以为可以一挥而就。没想到越写越多,越写越复杂，最后竟不由自主地“挂”起黑板来。但他仍胸有成竹，确信可证明此问题。可是一连几个星期的课,他都以失败而告终。有一天,他疲惫不堪地走进教室，当时正值惊雷震耳，暴雨滂沱，他十分愧疚地对同学说：“唉，看来上帝也在责怪我的狂妄自大!四色猜想真难呀，我简直拿他毫无办法。”50第一章随机事件及其概念

1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文,宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。11年后,即1890年,数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久,泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁,但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目,实是一个可与费马猜想相媲美的难题。进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，51第一章随机事件及其概念

美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。

1950年,有人从22国推进到35国。1960年,有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明,轰动了世界。52第一章随机事件及其概念2.1频率2.2概率2.3古典概型2.4几何概型§2随机事件的概率53第一章随机事件及其概念

研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小也就是事件的概率.概率是随机事件发生可能性大小的度量

事件发生的可能性越大，概率就越大！随机事件发生的可能性大小是人为的吗?否！54第一章随机事件及其概念2.1频率

1.定义

在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数.比值n

A/n称为事件A发生的频率，并记成fn(A).55

这三条性质刻画了频率的本质特征,启发我们定义事件的概率若是两两不相容事件,则有限可加性？2.性质设A是随机试验E的任一事件,则第一章随机事件及其概念56第一章随机事件及其概念试验序号12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做

7遍,观察正面出现的次数及频率.波动最小随n的增大,频率

f呈现出稳定性57第一章随机事件及其概念从上述数据可得(2)抛硬币次数n较小时,频率f

的随机波动幅度较大,但随n

的增大,频率f呈现出稳定性.即当n

逐渐增大时频率f总是在0.5附近摆动,且逐渐稳定于0.5.(1)频率有随机波动性,即对于同样的n,所得的

f不一定相同;58第一章随机事件及其概念实验者德摩根蒲丰204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.500559第一章随机事件及其概念频率稳定值概率频率与概率之间的关系事件发生的频繁程度事件发生的可能性大小频率的性质概率的公理化定义60第一章随机事件及其概念2.2概率【1.定义】设

E是随机试验，S

是它的样本空间，非负性规范性可列可加性函数满足下列条件：对于E

的每一个事件A

赋予一个实数，称为事件A

的概率。记为，要求集合相容的事件，若是两两互不有61第一章随机事件及其概念证明由概率的可列可加性得2.性质62第一章随机事件及其概念概率的有限可加性证明由概率的可列可加性得63第一章随机事件及其概念证明64第一章随机事件及其概念证明证明65第一章随机事件及其概念证明由图可得又由性质3得因此得66第一章随机事件及其概念推广------

三个事件和的情况n个事件和的情况67第一章随机事件及其概念解68第一章随机事件及其概念

ABAB69第一章随机事件及其概念例2解

由概率的性质，可得

.70第一章随机事件及其概念例3解(1)由题意又所以(2)由于所以再由对偶律，可得71第一章随机事件及其概念例4

某城市中发行2种报纸A,B.经调查在这2种报纸的订户中,订阅A报的有45%,订阅B报的有35%,同时订阅这2种报纸的有10%,求(1)只订阅A报的概率;(2)只订阅1种报纸的概率.72第一章随机事件及其概念例5

某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时订甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报73第一章随机事件及其概念

甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为0.85，乙击中的概率为0.8．两人都击中的概率为0.68．求目标被击中的概率．

解

＝0.85＋0.8－0.68＝0.97

练一练

设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目标，Ｃ表示目标被击中，则74第一章随机事件及其概念练一练

考察甲，乙两个城市6月逐日降雨情况。已知甲城出现雨天的概率是0.3,乙城出现雨天的概率是0.4,甲乙两城至少有一个出现雨天的概率为0.52,试计算甲乙两城同一天出现雨天的概率.解

设A表示“甲城下雨”，B表示“乙城下雨”则所以75第一章随机事件及其概念2.3古典概型

1.定义如果一个随机试验E具有以下特征（1）试验的样本空间中仅含有有限个样本点；（2）每个样本点出现的可能性相同。则称该随机试验为古典概型。首先引入的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为古典概型.76第一章随机事件及其概念如何理解古典概型中的等可能假设？

等可能性是古典概型的两大假设之一，有了这两个假设，给直接计算概率带来了很大的方便。但在事实上，所讨论问题是否符合等可能假设，一般不是通过实际验证，而往往是根据人们长期形成的“对称性经验”作出的。例如，骰子是正六面形，当质量均匀分布时，投掷一次，每面朝上的可能性都相等；装在袋中的小球，颜色可以不同，只要大小和形状相同，摸出其中任一个的可能性都相等。因此，等可能假设不是人为的，而是人们根据对事物的认识一对称性特征而确认的。77第一章随机事件及其概念

设试验E的样本空间由n个样本点构成,A为E的任意一个事件,且包含

m个样本点,则事件A出现的概率记为:2.古典概型中事件概率的计算公式称此为概率的古典定义.

78第一章随机事件及其概念3.古典概型的基本模型:摸球模型(1)无放回地摸球问题1

设袋中有M个白球和

N个黑球,现从袋中无放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白球,n个黑球的概率?样本点总数为A所包含的样本点个数为解设A={所取球恰好含m个白球,n个黑球}79(2)有放回地摸球问题2

设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率.解第1次摸球10种第2次摸球10种第3次摸球10种6种第1次摸到黑球6种第2次摸到黑球4种第3次摸到红球第一章随机事件及其概念80基本事件总数为A所包含基本事件的个数为课堂练习1o

电话号码问题

在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率.

2o

骰子问题

掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的概率.第一章随机事件及其概念814.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量无限问题1

把4个球放到3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可放任意多个球.4个球放到3个杯子的所有放法第一章随机事件及其概念82第一章随机事件及其概念因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为83第一章随机事件及其概念(2)每个杯子只能放一个球问题2

把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能放一个球,求第1至第4个杯子各放一个球的概率.解第1至第4个杯子各放一个球的概率为84第一章随机事件及其概念许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：

有n个人，每个人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在

N间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率.人房人任一天

有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365.求这n(n≤365)个人的生日互不相同的概率.85

有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/N(N≥n)，求指定的n个站各有一人下车的概率.旅客车站第一章随机事件及其概念

某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同.求每天恰好发生一次车祸的概率.车祸天86第一章随机事件及其概念解5.典型例题87第一章随机事件及其概念在N件产品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有于是所求的概率为解在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有88第一章随机事件及其概念例3

将n只球随机的放入N(N

n)个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）解：将n只球放入N个盒子中去,共有而每个盒子中至多放一只球, 共有故种放法种放法89第一章随机事件及其概念有很多问题与本例有相同的数学模型例如至少有两个人生日相同的概率为是等可能的,即都等于1/365,那么随机取设每个人的生日在一年365天中的任一天个人，他们的生日各不相同的概率为90第一章随机事件及其概念我们利用软件包进行数值计算.91第一章随机事件及其概念例4

在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

设A为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”，则所求概率为解92第一章随机事件及其概念于是所求概率为93第一章随机事件及其概念例5

将15名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是特长生.问(1)每一个班级各分配到一名特长生的概率是多少?(2)3名特长生分配在同一个班级的概率是多少?解15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:(1)每一个班级各分配到一名特长生的分法共有94第一章随机事件及其概念因此所求概率为(2)将3名特长生分配在同一个班级的分法共有3种,对于每一种分法,其余12名新生的分法有因此3名特长生分配在同一个班级的分法共有因此所求概率为95第一章随机事件及其概念例6

某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.

假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777故一周内接待12次来访共有96第一章随机事件及其概念小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四12341222222

12次接待都是在周二和周四进行的共有故12次接待都是在周二和周四进行的概率为97第一章随机事件及其概念——若P(A)很小(0.01,0.05),则称A为小概率事件小概率事件——一次试验中小概率事件一般是不会发生的.若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.小概率原理98第一章随机事件及其概念解例7设：A={i位顾客中奖}到第i位顾客为止，试验的基本事件总数为而第i位顾客中奖可以抽到k张有奖券中的任意一张，其他的顾客在剩余的n-1张奖券中任意抽取，所以事件A包含的基本事件数为某商场为促销举办抽奖活动，投放的n张奖券中k(k<n)张是有奖的，每位光临的顾客均可抽取一张奖券，求第i(i≤n)位顾客中奖的概率99第一章随机事件及其概念所以，求第i(i≤n)位顾客中奖的概率为注意由于概率与i无关，即抽签与顺序无关尽管抽奖的先后次序不同，各人中奖的概率是一样的，大家机会相同.另外还值得注意的是放回抽样的情况与不放回抽样的情况下P(A)是一样的。100第一章随机事件及其概念

一楼房共14层，假设电梯在一楼启动时有10名乘客，且乘客在各层下电梯是等可能的。试求下列事件的概率：A1={10个人在同一层下}；A2={10人在不同的楼层下}；A3={10人都在第14层下}；A4={10人恰有4人在第8层下}.练一练总的基本事件数：各事件含有的基本事件数分别为：A1A2A3A41解所以，各事件的概率为：………..101第一章随机事件及其概念2.4几何概型

把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们引入了几何概型.由此形成了确定概率的另一方法——几何方法.概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样本空间中的样本点有无限个,概率的古典定义就不适用了.102第一章随机事件及其概念定义1

当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量(长度,面积,体积)相同的子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为说明:

事件A发生的概率与位置无关,只与A的度量有关，这体现了某种“等可能性”

.103第一章随机事件及其概念例1某人午觉醒来,发觉表停了,便打开收音机收听电台报时,已知电台每个整点报时,求他能在10分钟之内听到报时的概率.由于上一次报时和下一次报时的时间间隔为60分钟，而这个人可能在内的任一时刻打开收音机，所以这是一个直线上的几何概型问题.解用x表示他打开收音机的时刻，A表示事件{他能在10分钟之内听到电台报时},则104第一章随机事件及其概念两船发生冲突的充要条件为例2甲、乙两船在某码头的同一泊位停靠卸货，每只船都可能在早晨七点至八点间的任一时刻到达，并且卸货时间都是20分钟，求两只船使用泊位时发生冲突的概率.会面问题解因为甲、乙两船都在七点至八点间的60分钟内任一时刻到达，以x,y分别表示甲乙二船到达的时刻，那么105第一章随机事件及其概念故所求的概率为若以x,y

表示平面上点的坐标,则有106第一章随机事件及其概念例3

甲、乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车,又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为1:15、1:30、1:45、2:00.如果他们约定见车就乘;求甲、乙同乘一车的概率.假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的,且每人在1时到2时的任何时刻到达车站是等可能的.107第一章随机事件及其概念见车就乘的概率为设x,y分别为甲、乙两人到达的时刻,则有解108第一章随机事件及其概念蒲丰投针试验例4

1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为a(>0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为b(<a)的针,试求针与任一平行直线相交的概率.解109第一章随机事件及其概念由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题.110第一章随机事件及其概念111第一章随机事件及其概念蒲丰投针试验的应用及意义112第一章随机事件及其概念历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)

3.179585925200.54191925Reina

3.1415929180834080.831901Lazzerini

3.159548910300.751884Fox

3.1373826001.01860DeMorgan

3.1554121832040.61855Smith

3.1596253250000.81850Wolf相交次数投掷次数针长时间试验者113第一章随机事件及其概念

(分赌注问题)甲、乙各下注a元，以猜硬币方式赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？解法一：应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注。即在余下的四局中甲赢得2局以上即可。甲最终获胜的概率为P4(2)+P4(3)+P4(4)每局甲获胜的概率是1/2赌注应按11：5的比例分配。114第一章随机事件及其概念解法二：一般情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止。甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为甲方在第四局结束赌博获胜的概率为甲方在第五局结束赌博获胜的概率为故甲方最终获胜的概率为P(B3+B4+B5)=P(B3)+P(B4)+P(B5)赌注应按11：5的比例分配。115第一章随机事件及其概念

1)在线段AD上任意取两个点B、C，在B、C处折断此线段而得三折线，求此三折线能构成三角形的概率。(1/4)2)甲、乙两船停靠同一码头，各自独立地到达，且每艘船在一昼夜间到达是等可能的。若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船。试求其中一艘船要等待码头空出的概率（0.121)

练一练3)在区间(0,1)中随机地取两个数，求下列事件的概率：(1)两个数中较小(大)的小于1/2；(3/4,1/4)(2)两数之和小于3/2；(7/8)(3)两数之积小于1/4。(0.5966)116第一章随机事件及其概念§3条件概率

3.1条件概率3.2乘法公式3.3全概率公式3.4贝叶斯公式117第一章随机事件及其概念3.1条件概率在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率，将此概率记作P(B|A).

一般地P(B|A)≠P(B)118第一章随机事件及其概念P(B)=1/6，1.引例.

掷一颗均匀骰子，A={掷出偶数点}，

B={掷出2点}，P(B|A)=？掷骰子已知事件A发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是A，

P(B|A)=1/3.

A中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集B中.容易看到P(B|A)于是119第一章随机事件及其概念P(B)=3/10，

又如,

10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记

B={取到一等品}A={取正品}，P(B|A)则120第一章随机事件及其概念P(B)=3/10，

B={取到一等品}P(B|A)=3/7本例中，计算P(B)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.A={取到正品}，计算P(B|A)时，这个前提条件未变，只是加上“事件A已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.121第一章随机事件及其概念若事件A已发生,则为使B也发生,试验结果必须是既在A中又在B中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道A已发生,故A变成了新的样本空间,于是有(1).

设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称

2.

条件概率的定义为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.(1)122第一章随机事件及其概念3.条件概率的性质(自行验证)123第一章随机事件及其概念例1

已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率．则所以解：设A={3个小孩至少有一个女孩}

B={3个小孩至少有一个男孩}124第一章随机事件及其概念125第一章随机事件及其概念所以由于126第一章随机事件及其概念由条件概率对称地有可推得乘法公式3.2乘法公式127第一章随机事件及其概念多个事件的乘法公式128第一章随机事件及其概念例3

某批产品中，甲厂生产的产品占，并且甲厂的产品的次品率为.从这批产品中随机地抽取一件，求该产品是甲厂生产的次品的概率.解由题意可知所求概率即为

.由乘法公式可得

,又129第一章随机事件及其概念例4

某人忘记了所要拨打的电话号码的最后一位数字，因而只能随意拨码.求他（她）拨码不超过3次接通电话的概率.解则显然互不相容，所以130第一章随机事件及其概念例5

五个阄,其中两个阄内写着“有”字,三个阄内不写字,五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?解则有抓阄是否与次序有关?

131第一章随机事件及其概念132第一章随机事件及其概念依此类推故抓阄与次序无关.133第一章随机事件及其概念摸球试验

解例6134第一章随机事件及其概念此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.135第一章随机事件及其概念例7袋中有一个白球与一个黑球，解则设＝“次均未取到黑球”＝“第次取到白球”由乘法公式，有从中取出一球，回外再加进一个白球，现每次若取出白球，则除把白球放直至取出黑球为止。求取了次都未取出黑球的概率136第一章随机事件及其概念137第一章随机事件及其概念例8设某光学仪器厂制造的透镜，解落下时打破的概率为1/2

，打破，次落下未打破，求透镜落下三次而未打破的概率。第一次若第一次落下未第二次落下打破的概率为7/10，若前两第三次落下打破的概率为9/10次落下打破”，次而未打破”，以B

表示事件“透镜落下三有以

(i=1,2,3)表示事件“透镜第i138第一章随机事件及其概念练一练某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?设A表示“能活20岁以上”的事件;B表示“能活25岁以上”的事件,则有解139第一章随机事件及其概念练一练

甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4个是难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求1）甲抽到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，3）甲没抽到难题签而乙抽到难题签，4）甲，乙，丙都抽到难题签的概率。解设A，B，C分别表示“甲、乙、丙抽到难签”则140第一章随机事件及其概念为E

的一组事件.若满足3.3全概率公式1.样本空间的划分定义

设

为试验

E

的样本空间，则称为样本空间

的一个划分.141第一章随机事件及其概念全概率公式两两互不相容或设随机事件及满足则有——全概率公式142第一章随机事件及其概念图示证明化整为零各个击破由143第一章随机事件及其概念说明

全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.故在应用全概率公式时，关键是找到一个合适的S的划分144第一章随机事件及其概念全概率公式的应用将事件B看作某一过程的结果，看作该过程的若干个原因，据历史资料，已知），已知（即已知），公式计算结果发生的概率（即求）.将事件根每一原因发生的概率已知（即且每一原因对结果的影响程度则我们可用全概率145第一章随机事件及其概念例1

市场供应的某种商品中，甲厂生产的占50%，乙厂生产的占30%

，丙厂生产的占20%，又知这三个厂的产品合格率分别为90%，85%，95%，求顾客买到的这种产品为合格品的概率是多少?设事件B为“买到的产品为合格品”,解表示“买到的分别是甲乙丙厂家生产的”显然146第一章随机事件及其概念又由题意由全概率公式得147第一章随机事件及其概念例2

人们为了解一支股票未来一段时间内价格的变化，往往会分析影响股票价格的因素，比如利率的变化.假设利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，在利率下调的情况下，该股票价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%.求该股票价格上涨的概率.解由题意148第一章随机事件及其概念由全概率公式得149第一章随机事件及其概念

袋中有a

只红球b

只白球,先从袋中任取一球,记下颜色后放回，同时向袋中放入同颜色的球1只,然后再从袋中取出一球.求第二次取到白球的概率.记第次取到白球第次取到红球第次取到白球则是

的一个分划，由全概率公式有

第二次取到白球的概率与第一次取到白球的概率相等，与前面放入什么颜色的球无关如果加入c

个同色球有什么结果？例3解150第一章随机事件及其概念

有10个袋,其中甲袋二个,每袋中有红球、白球各2个;乙袋三个,每袋中有红球3个、白球2个;丙袋五个,每袋中有红球2个、白球3个.从十个袋中任取一袋,再从袋中任取一球,求取到白球的概率.记分别表示取到甲、乙、丙袋由全概率公式有取到白球从甲、乙、丙袋取到白球的概率全概率公式是概率的加权平均例4解如果将三类袋中的球混合在一起，然后任取一球，那么取到白球的概率是否相同？151第一章随机事件及其概念例5

某小组有20名射手，解＝“选级射手参加比赛”由全概率公式，有射手分别为2、6、9、3名。四级射手参加比赛，分别为0.85，0.64，0.45，0.32，参加比赛，又若选一、二、三、其中一、二、三、四级则在比赛中射中目标的概率今随机选一人试求该小组在比赛中射中目标的概率设＝“该小组在比赛中射中目标”152第一章随机事件及其概念例6

甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.

设A={飞机被击落}

Bi={飞机被i人击中},i=1,2,3则A=B1AUB2AUB3A解依题意，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,

P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)153第一章随机事件及其概念可求得

为求P(Bi),

设Hj={飞机被第j人击中},j=1,2,3将数据代入计算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.154第一章随机事件及其概念P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458

=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飞机被击落的概率为0.458.于是155第一章随机事件及其概念3.4贝叶斯公式（Bayes）两两互不相容或设随机事件及满足则有156第一章随机事件及其概念全概率公式条件概率乘法定理157第一章随机事件及其概念Bayes公式的应用将事件B看作某一过程的结果，看作该过程的若干个原因，据历史资料，已知），已知（即已知），经发生，将事件根每一原因发生的概率已知（即且每一原因对结果的影响程度如果已知事件B已要求此时是由第个原因引起的概率则用Bayes公式（求。158第一章随机事件及其概念机器调整得良好

产品合格机器发生某一故障

例1

对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，生某一故障时，器开动时，某天早上第一件产品是合格品，得良好的概率是多少？产品的合格率为90%，而当机器发其合格率为30%.每天早上机机器调整良好的概率为75%.已知试求机器调整分析159第一章随机事件及其概念解说明

称为后验概率.Bayes公式中，称为先验概率；160第一章随机事件及其概念SB1B2B3A

例2

某电子设备制造厂所用的晶体管是由元件制造厂次品率

提供晶体管的份额

10.02

0.1520.01

0.8030.03

0.05三家元件厂提供的。的数据。根据以往的记录有以下161第一章随机事件及其概念

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合（1）在仓库中随机的取一只晶体管，（2）在仓库中随机的取一只晶体管，

解

设A

表示“取到的是一只次品”，的，且无区别的标志。次品的概率。取到的是次品试分析此次品出自那家工厂的可能性最大。

(i=1,2,3)表示“取到的产品是由第i家工厂提供的”，求它是若已知162第一章随机事件及其概念元件制造厂次品率

供晶体管的份额

10.02×0.1520.01×0.8030.03×0.05全概率公式贝叶斯公式163第一章随机事件及其概念元件制造厂

10.02×0.1520.01×0.8030.03×0.05B1B2B3A164第一章随机事件及其概念165第一章随机事件及其概念例3用某种方法普查某种疾病，现有一人试验反应为阳性，解反应阳性”，A=“被检查者患有此病”，设B=“试验已知求此人真正患病的概率通过该例题，考虑以下两个问题：166第一章随机事件及其概念如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从0.005增加到0.0456,将近增加10倍.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(A｜B)=0.1066

P(A)=0.005167第一章随机事件及其概念试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为

P(A｜B)=0.04562.

即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有4.56%(平均来说，10000个人中大约只有456人确患癌症)，

可见，虽然检验法相当可靠，但被诊断患有癌症而真正患有癌症的可能性并不大此时医生常要通过再试验来确认.

168第一章随机事件及其概念1.条件概率全概率公式贝叶斯公式乘法定理小结169第一章随机事件及其概念170第一章随机事件及其概念贝叶斯资料ThomasBayesBorn:1702inLondon,England

Died:17Apr.1761inTunbridgeWells,Kent,England171第一章随机事件及其概念4.1两个事件的独立性4.2多个事件的独立性4.3伯努利概型§4事件的独立性和伯努利概型

172第一章随机事件及其概念4.1两个事件的独立性由条件概率，知一般地，这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率有影响.然而，在有些情形下又会出现：173第一章随机事件及其概念则有1.引例174第一章随机事件及其概念2.定义注.

1º说明

事件A与B相互独立,是指事件A的发生与事件B发生的概率无关.175第一章随机事件及其概念2º独立与互斥的关系这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件互斥例如二者之间没有必然联系独立是事件间的概率属性互斥是事件间本身的关系11由此可见两事件相互独立但两事件不互斥.两事件相互独立两事件互斥.176第一章随机事件及其概念由此可见两事件互斥但不独立.又如：两事件相互独立.两事件互斥177第一章随机事件及其概念可以证明：

特殊地，A与B

独立

A与B

相容(不互斥)

或A与B

互斥

A与B

不独立证若A与B独立,则

即A与B

不互斥(相容).178第一章随机事件及其概念若A与B互斥，则AB=

B发生时，A一定不发生.这表明:B的发生会影响A发生的可能性(造成A不发生),即B的发生造成A发生的概率为零.所以A与B不独立.理解:

BA179第一章随机事件及其概念3.性质(1)

必然事件及不可能事件与任何事件A相互独立.证∵A=A,P()=1∴P(A)=P(A)=1•P(A)=P()P(A)即与A独立.∵

A=

,P(

)=0∴P(

A)=P(

)=0=P(

)P(A)即与A独立.180第一章随机事件及其概念(2)

若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立.①②③证①注称此为二事件的独立性关于逆运算封闭.181第一章随机事件及其概念又∵A与B相互独立③182第一章随机事件及其概念183第一章随机事件及其概念注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。例如甲、乙两人向同一目标射击，B={乙命中}，记A={甲命中}问A与B是否独立？由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立。184第一章随机事件及其概念一批产品共n件，从中抽取2件，设

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,则A1与A2独立.因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.又如：因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.185第一章随机事件及其概念甲,乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求敌机被击中的概率.解设A={甲击中敌机}B={乙击中敌机}C={敌机被击中}依题设,∴A与B不互斥

例1

(P(A)+P(B)=1.1>1≥P(A+B))186第一章随机事件及其概念由于甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以A与B独立,进而=0.8187第一章随机事件及其概念甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5。试计算1）两人都击中目标的概率；2）恰有一人击中目标的概率；3）目标被击中的概率。解设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”则例2188第一章随机事件及其概念解由于

,,,

所以又所以有189第一章随机事件及其概念4.2多个事件的独立性1.三事件两两相互独立的概念定义190第一章随机事件及其概念注意三个事件相互独立三个事件两两相互独立2.

三事件相互独立的概念191第一章随机事件及其概念设A1，A2，…，An为n个事件，若对于任意k(1≤k≤n),及1≤i1<i2<···<ik≤n3.n个事件的独立性定义若事件A1，A2，…，An

中任意两个事件相互独立，即对于一切1≤i<j≤n,有定义192第一章随机事件及其概念两两独立相互独立?的区别与联系多个事件两两独立与相互独立对

个事件193第一章随机事件及其概念两个结论注.194第一章随机事件及其概念n个独立事件和的概率公式:设事件相互独立,则

也相互独立即n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积.结论的应用195第一章随机事件及其概念

P(A1

…

An)=1-(1-p1)…(1-pn)若设n个独立事件发生的概率分别为类似可以得出：至少有一个不发生”的概率为“=1-p1

…pn

则“

至少有一个发生”的概率为196第一章随机事件及其概念注意

当时，此式表明，小概率事件迟早要发生是某一随机事件，则前次试验中至少出现一次的