专题01 解一元二次方程-备战2022-2023学年九年级数学上学期期末考试真题汇编（苏科版）（解析版）

专题01解一元二次方程一．选择题（共4小题）1．（2022春•惠山区校级期末）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0，配方后可变形为（）A．（x﹣4）2＝17 B．（x﹣4）2＝18 C．（x﹣8）2＝1 D．（x﹣4）2＝1【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程x2﹣8x﹣1＝0，整理得：x2﹣8x＝1，配方得：x2﹣8x+16＝17，即（x﹣4）2＝17．故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．（2022春•如皋市期末）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝36﹣4m＝0，解得：m＝9．故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．3．（2022春•吴江区期末）新定义运算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x※2＝5的根的情况为（）A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【分析】先利用新定义得到x2﹣2x+2＝5，再把方程化为一般式，接着计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵x※2＝5，∴x2﹣2x+2＝5，即x2﹣2x﹣3＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3）＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．4．（2022春•宿豫区期末）下列关于x的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣4x+4＝0 B．x2﹣mx+4＝0 C．x2﹣4x﹣m＝0 D．x2﹣4x﹣m2＝0【分析】先求出Δ的值，再比较出其与0的大小即可求解．【解答】解：A、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，该方程有两个相等的实数根，不符合题意；B、Δ＝（﹣m）2﹣4×1×4＝m2﹣16，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；C、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；D、Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）2＝16+4m2＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键．二．填空题（共4小题）5．（2022春•宝应县期末）一个直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是6或372【分析】先解出方程x2﹣7x+12＝0的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，∴x＝3或x＝4．①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是12×3×4＝②当长是4的边是斜边时，第三边是42−32=故答案为：6或37【点评】本题考查了一元二次方程的解法，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键．6．（2022春•亭湖区校级期末）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是1．【分析】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到k的值．【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，∴x2﹣4x＝﹣3，∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，∴（x﹣2）2＝1，∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，∴k＝1，故答案为：1．【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形．7．（2020秋•泰兴市期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＜3且a≠2．【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴a−解得：a＜3且a≠2．故答案为：a＜3且a≠2．【点评】本题考查了根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式Δ＞0，列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．8．（2021秋•溧阳市期末）若一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜2．【分析】根据根的判别式得出Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（k+2）＞0，再求出不等式的解集即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（k+2）＝8﹣4k＞0，解得：k＜2，故答案为：k＜2．【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能根据根的判别式得出关于k的不等式是解此题的关键．三．解答题（共4小题）9．（2022春•姜堰区期末）解下列方程：（1）x2﹣6x﹣4＝0；（2）x+1x−【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得出（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣4＝0，x2﹣6x＝4，配方，得x2﹣6x+9＝4+9，（x﹣3）2＝13，开方得：x﹣3=±13解得：x1＝3+13，x2＝3−（2）x+1x−x+1x−方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），解得：x＝1，检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，所以x＝1是增根，即原方程无解．【点评】本题考查了解一元二次方程和解分式方程，能正确配方是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．10．（2022春•玄武区期末）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0（m为常数）．（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）若x＝2是方程的根，则m的值为5±5【分析】（1）根据根的判别式求出Δ＝（m﹣4）2+8，再根据根的判别式得出答案即可；（2）把x＝2代入方程，得出关于m的一元二次方程，再求出方程的解即可．【解答】（1）证明：2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0，Δ＝（﹣3m）2﹣4×2×（m2+m﹣3）＝9m2﹣8m2﹣8m+24＝m2﹣8m+24＝（m﹣4）2+8，因为不论m为何值，（m﹣4）2≥0，即Δ＞0，所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）解：把x＝2代入方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0得：2×22﹣3m×2+m2+m﹣3＝0，整理得：m2﹣5m+5＝0，解得：m=5故答案为：5±【点评】本题考查了解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程的解等知识点，能熟记根的判别式的内容和一元二次方程的解的定义是解此题的关键．11．（2022春•张家港市期末）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+4ab+5b2+6b+9＝0，求a＝6，b＝﹣3；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求c的值；（3）若A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，试比较A与B的大小关系，并说明理由．【分析】（1）将a2+4ab+5b2+6b+9＝0的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出a，b的值；（2）将a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出a，b的值，根据三角形的三边关系求出c；（3）让多项式3a2+3a﹣4与2a2+4a﹣6作差，结果配方，根据偶次方的非负性判断大小．【解答】解：（1）a2+4ab+5b2+6b+9＝a2+4ab+4b2+b2+6b+9＝（a+2b）2+（b+3）2＝0，∴a+2b＝0，b+3＝0，解得a＝6，b＝﹣3．故答案为：6，﹣3；（2）a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝a2﹣4a+4+2b2﹣4b+2＝（a﹣2）2+2（b﹣1）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，解得a＝2，b＝1，∵a、b、c是△ABC的三边长，∴1＜c＜3，∵c是正整数，∴c＝2；（3）A＞B，理由如下：∵A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，A﹣B＝3a2+3a﹣4﹣（2a2+4a﹣6）＝3a2+3a﹣4﹣（2a2+4a﹣6）＝3a2+3a﹣4﹣2a2﹣4a+6＝a2﹣a+2＝（a−12）2∵（a−12）2≥∴（a−12）2+∴A＞B．【点评】本题考查了配方法的应用，结合偶次方的非负性求值的问题，本题属于中档题．12．（2021春•无锡期末）阅读材料：我们知道，利用完全平方公式可将二次三项式a2±2ab+b2分解成（a±b）2，而对于a2+2a﹣3这样的二次三项式，则不能直接利用完全平方公式进行分解，但可先用“配方法”将其配成一个完全平方式，再利用平方差公式，就可进行因式分解，过程如下：a2+2a﹣3＝a2+2a+1﹣1﹣3＝（a+1）2﹣4＝（a+1+2）（a+1﹣2）＝（a+3）（a﹣1）．请用“配方法”解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣6a+5．（2）已知ab=34，a+2b＝3，求a2﹣2ab+4b（3）若将4x2+12x+m分解因式所得结果中有一个因式为x+2，试求常数m的值．【分析】（1）利用已知结合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案；（2）利用完全平方公式将a2﹣2ab+4b2进行因式分解，转化为含有ab=34，a+2b＝（3）设另一个因式为4x+n，将（x+2）（4x+n）展开，得出一次项的系数，继而求出m的值．【解答】解：（1）a2﹣6a+5＝a2﹣6a+9﹣4＝（a﹣3）2﹣4＝（a﹣3+2）（a﹣3﹣2）＝（a﹣1）（a﹣5）；（2）∵ab=34，a+2b＝∴a2﹣2ab+4b2＝a2+4ab+4b2﹣6ab＝（a+2b）2﹣6ab＝32﹣6×3（3）4x2+12x+m＝4（x2+3x+m4）＝4[（x+32∵有一个因式为x+2，∴9−m4=（12∴9﹣m＝1，∴m＝8．【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，配方法的应用等知识，掌握公式的应用是解题的关键．一．选择题（共4小题）1．（2021春•秦淮区期末）一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据方程有两个相等的实数根得出b2﹣4ac＝0，再求出a即可．【解答】解：∵一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×a×1＝4﹣4a＝0，解得：a＝1，故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．2．（宿迁期末）若关于x的方程kx2﹣x+4＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤16 B．k≤1C．k≤16，且k≠0 D．k≤116，且k【分析】分类讨论：当k＝0，方程变形为﹣x+4＝0，此一元一次方程有解；当k≠0，Δ＝（﹣1）2﹣4×k×4≥0，方程有两个实数解，得到k≤116且k≠0，然后综合两种情况即可得到实数【解答】解：当k＝0时，﹣x+4＝0，此时x＝4，有实数根；当k≠0时，∵方程kx2﹣x+4＝0有实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×k×4≥0，解得：k≤1此时k≤116且k≠综上，k≤1故选：B．【点评】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac间的关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．3．（常熟市期末）已知关于x的方程x2+kx+1＝0和x2﹣x﹣k＝0有一个根相同，则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．﹣1或2 D．2【分析】把两个方程相减，求出x的值，代入求出k的值．【解答】解：方程x2+kx+1＝0减去x2﹣x﹣k＝0，得（k+1）x＝﹣k﹣1，当k+1≠0时，解得：x＝﹣1．把x＝﹣1代入方程x2﹣x﹣k＝0，解得k＝2．当k+1＝0时，k＝﹣1代入方程得x2﹣x+1＝0在这个方程中Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程无解．故选：D．【点评】灵活求出方程的一个根，代入求出k的值．4．（如皋市校级期末）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若b＝2ac，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac＝0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，其中正确的（）A．只有①②③ B．只有①②④ C．①②③④ D．只有③④【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示x0．【解答】解：①若b＝2ac，方程两边平方得b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，所以方程ax2+bx+c＝0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则b2﹣4ac＞0方程x2﹣bx+ac＝0中根的判别式也是b2﹣4ac＞0，所以也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac2+bc+c＝0成立，当c≠0时ac+b+1＝0成立；当c＝0时ac+b+1＝0不成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，可得x0=−b±把x0的值代入（2ax0+b）2，可得b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，综上所述其中正确的①②④．故选：B．【点评】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示x0，整体代入求b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．二．填空题（共4小题）5．（2020秋•新吴区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为m＜4．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，解得：m＜4．故答案为：m＜4．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．6．（鼓楼区期末）如果关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是x1＝m+1与x2＝2m﹣4，那么ba的值为4【分析】先求出方程的根，得出关于m的不等式，求出m的值，代入后即可求出答案．【解答】解：解方程ax2＝b得：x2=b∵关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是x1＝m+1与x2＝2m﹣4，∴（m+1）2=ba，（2m﹣4）2∴b＝a（m+1）2，b＝a（﹣2m+4）2，∵关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是x1＝m+1与x2＝2m﹣4，∴m+1＝﹣2m+4（m+1和﹣2m+4互为相反数），解得：m＝1，方程的两根为±2，即4=bb＝4a，∴ba=故答案为：4．【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，能得出关于m的一元一次方程转是解此题的关键．7．（镇江期末）已知△ABC的三边分别是a、b、c，且满足a−3+b2−4b+4=0【分析】由两非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，利用三角形的三边关系即可得出c的范围．【解答】解：∵a−3+（b﹣2）2∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，解得：a＝3，b＝2，则c的范围为3﹣2＜c＜3+2，即1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5【点评】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．8．（滨湖区期末）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解x3＝0，x4＝﹣3．【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，解得x＝0或x＝﹣3．故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．【点评】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．三．解答题（共4小题）9．（2021秋•盱眙县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可；（2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，∴无论k取何值，方程总有实数根；（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，∴16﹣4（k+2）+2k＝0，解得k＝4，∴方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2，∴m、n的值分别为2、4，∴△ABC的周长为10；当边长为4的边为底时，则m＝n，即方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2，∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得m＝n＝2，此时2+2＝4，不符合三角形的三边关系，舍去；综上可知△ABC的周长为10．【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．10．（玄武区期末）已知：关于x的方程x2﹣2（k﹣2）x+k2﹣2k﹣2＝0．（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围．（2）若此方程有一个根是1，求k的值．【分析】（1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出Δ＝﹣8k+24≥0，解之即可得出k的取值范围；（2）将x＝1代入原方程，解之即可求出k值．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（k﹣2）x+k2﹣2k﹣2＝0有实数根，∴Δ＝[﹣2（k﹣2）]2﹣4（k2﹣2k﹣2）＝﹣8k+24≥0，解得：k≤3．（2）将x＝1代入原方程得1﹣2（k﹣2）+k2﹣2k﹣2＝k2﹣4k+3＝（k﹣1）（k﹣3）＝0，解得：k1＝1，k2＝3．【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程有实数根，找出Δ＝﹣8k+24≥0；（2）将x＝1代入原方程求出k值．11．（鼓楼区校级期末）学习了完全平方公式以后，小明有了下面的发现：因为x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，不论x取什么值，（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+1≥1．因此，代数式x2﹣2x+2的值不小于1．这种把一个多项式或一个多项式中的某一部分化为一个完全平方式或几个完全平方式和的方法，称为配方法．请用配方法解决下列问题：（1）填空：①a2+6a+15＝（a+3）2+6．②若（a﹣1）2+b2+4b+4＝0，则a＝1，b＝﹣2．（2）已知m2+4m+n2﹣6n+13＝0，求m、n的值．（3）比较代数式3x3+2x2