4.1.1+n次方根与分数指数幂 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章指数函数与对数函数4.1.1n次方根与分数指数幂教学目标

理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念（重点）01

掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值（重点、难点）02掌握分数指数幂的运算性质（重点、难点）03

04

n次方根与分数指数幂学科素养

n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念数学抽象

直观想象

分数指数幂的运算性质逻辑推理

分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值数学运算

数据分析

数学建模

n次方根与分数指数幂01知识回顾RetrospectiveKnowledge指数

为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数。初中已经学过整数指数幂．幂指数底数读作“a的n次方”或“a的n次幂”求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.指数运算整数指数幂的运算性质：整数指数幂：02新

知

探

索NewKnowledgeexplore

为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数，记作．像这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究．乘方运算开方运算乘方和开方是互逆运算因为(±4)2=16，所以±4叫做16的平方根;因为(±3)2=9，所以±3叫做9的平方根；因为23=8，所以2叫做8的立方根；因为(-2)3=-8，所以-2叫做-8的立方根；如果x2=a，那么x叫做a的平方根；如果x3=a，那么x叫做a的立方根；类似地，

因为(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根;

因为25=32，我们把2叫做32的5次方根；n次方根

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，0的n次方根为0，这时，a的n次方根用符号表示．

例如：奇次方根

1.正数的奇次方根是一个正数；

2.负数的奇次方根是一个负数；3.0的奇次方根为0．n次方根定义:

一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．奇次方根

当n是偶数时：正数的n次方根是有两个，这两个数互为相反数，这时候，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示.正的n次方根和负的n次方根合并写成；

例如：0的n次方根为0.

n次方根定义:

一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．偶次方根

负数有没有偶次方根，因为任何实数的偶次方都是非负数.偶次方根

2.负数没有偶次方根；1.正数的偶次方根有两个且互为相反数；3.0的偶次方根为0．

负数有没有偶次方根？为什么？？偶次方根(n为奇数)(当n是偶数，且a＞0)0的任何次方根都是0，记作．根式:式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．n次方根定义:

一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．根式根据n次方根的意义，可得：

表示

的n次方根，

一定成立吗？如果不一定成立，那么

等于什么？探究根式性质例1

求下列各式的值：

当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？把根式表示为分数指数幂的形式的时候，例如：分数指数幂正数的正分数指数幂：正数的负分数指数幂：规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义．分数指数幂

一般的，无理数指数幂

aα（a>0，α为无理数）是一个确定的实数，幂中的指数的取值范围就从整数拓展到了有理数，并拓展到了实数．

实数指数幂是一个确定的实数．对任意实数r，s，均有下面的性质：指数运算性质例2

求下列各式的值：根式化简与求值的思路及注意点：(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简．(2)注意点：①正确区分“”与“”两式；（注意分析是否有意义）②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方公式、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论．例3

用分数指数幂的形式表示下列各式：例4

计算下列各式（式子中的字母均是正数）：例4

计算下列各式（式子中的字母均是正数）：03拓展提升ExpansionAndPromotion化简并求值：利用指数幂的运算性质化简求值的方法：（1）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数

幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序；（2）在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，

则可以对根式进行化简运算；（3）对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．04归纳总结SumUp奇次方根

1.正数的奇次方根是一个正数；

2.负数的奇次方根是一个负数；3.0的奇次方根为0．n次方根定义:

一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．偶次方根

1.正数的偶次方根有两个且互为相反数；2.负数没有偶次方根；3.0的偶次方根为0．(n为奇数)(当n是偶数，且a＞0)0的任何次方根都是0，记作．根式:式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．n次方根定义:

一般地，如果xn=a，则x