3.2.2+奇偶性 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章函数的概念与性质3.2.2奇偶性教学目标

通过具体实例，理解奇函数、偶函数的定义（重点、难点）01

掌握奇函数、偶函数图像的特征（难点）02会判断函数奇偶性（重点、难点）03

04函数的奇偶性学科素养

奇函数、偶函数的定义数学抽象通过具体实例，理解奇函数、偶函数的定义直观想象

判断函数奇偶性逻辑推理

判断函数奇偶性数学运算

数据分析

数学建模函数的奇偶性01知识回顾RetrospectiveKnowledge函数的单调性与最值1．增函数与减函数的定义:

设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I,∀x1,x2∈D,且x1<x2

，如果都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递增;如果都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递减.2．函数的最值：

一般地，设函数

y＝f

(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：（1）对于任意x∈I，都有f

(x)≤M；存在x0∈I，使得

f(x0)＝M．那么，称M是函数

y＝f

(x)的最大值．（2）对于任意x∈I，都有f

(x)≥N；存在x0∈I，使得

f(x0)＝N．那么，称N是函数

y＝f

(x)的最小值．图像的对称性图像的对称性轴对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一条直线的对称点仍是这个图形上的点，就称图形关于该直线成轴对称，这条直线称作该轴对称图形的对称轴.（把图形沿对称轴对折，对称轴两侧的图形完全重合）中心对称图形：

如果一个图形上的任意一点关于某一点的对称点仍是这个图形上的点，就称图形关于该点成中心对称，这个点称作该中心对称图形的对称中心.（把图形沿对称中心旋转180o，旋转后与原来的图形完全重合）02新

知

探

索NewKnowledgeexplore

前面我们用符号语言精确地描述了函数图像在定义域的某个区间上“上升”(或“下降”)的性质，下面我们研究函数的其他性质.

观察函数f(x)=x2，g(x)=2-|x|的图象,你能发现这两个函数图像有什么共同特征吗？f(x)=x2g(x)=2-|x|

这两个函数的图像都关于y轴对称.偶函数x-3-2-10123f(x)=x2g(x)=2-|x|不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)相等.9410149-101210-1

观类比函数的单调性,你能用符号语言精确描述“函数图像关于y轴对称”的这种特征吗？（自变量与函数值之间的变化关系？）探究偶函数请你仿照这个过程，说明函数g(x)=2-|x|也是偶函数.例如,对于函数f(x)=x2,有：实际上,对于∀x∈R,都有：f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，这时候,我们称函数f(x)=x2为偶函数.

对于函数g(x)=2-|x|,有：实际上,对于∀x∈R,都有：g(-x)=2-|-x|=2-|x|=g(x)我们称函数g(x)=2-|x|为偶函数.

偶函数偶函数f(x)

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．∀x∈I，f(－x)=f(x)

图像关于y轴对称代数特征几何特征∀x∈I，都有－x∈I定义域I关于原点对称-aaOO-aaOa-ab-b偶函数函数f(x)=x2,x∈[-2,2]是偶函数吗？函数g(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函数吗？是偶函数不是偶函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．偶函数

探究

观察函数

的图象,你能发现这两个函数图像有什么共同特征吗？你能用符号语言精确描述这一特征吗？

这两个函数的图像都关于原点成中心对称.奇函数x-3-2-10123f(x)=x

为了用数学符号语言描述这一特征，不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：

可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数.-3-2-10123奇函数实际上,对于∀x∈R,都有：

f(-x)=-x=-

f(x)，我们称函数f(x)=x为奇函数.

请你仿照这个过程，说明函数也是奇函数.例如,对于函数f(x)=x,有：对于函数

,有：对于

,都有：我们称函数

为奇函数.

奇函数奇函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．∀x∈I，f(－x)=－f(x)

奇函数f(x)图像关于原点对称代数特征几何特征∀x∈I，都有－x∈I定义域I关于原点对称奇函数函数f(x)=x,x∈[-2,2]是奇函数吗？是奇函数函数g(x)=x,x∈[-1,3]是奇函数吗？不是奇函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．1.根据函数的图象判断函数奇偶性：偶函数图象关于y轴对称奇函数图象关于原点对称2.根据定义判断函数的奇偶性：（1）先求定义域，看是否关于原点对称；（2）再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立；（3）根据定义下结论．如何判断函数的奇偶性？函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：函数奇偶性的判断求函数f(x)的定义域f(x)既不是奇函数也不是偶函数判断f(-x)与f(x)的关系判断定义域是否关于原点对称？f(-x)≠

f(x)且f(-x)≠

-

f(x)是否f(-x)=f(x)f(x)是偶函数f(x)是奇函数f(-x)=-f(x)定义法判断函数奇偶性的步骤f(x)既是奇函数也是偶函数f(-x)=f(x)=-

f(x)函数奇偶性的判断练习1判断下列函数的奇偶性：03拓展提升ExpansionAndPromotion练习2

判断函数的奇偶性.练习3判断函数的奇偶性.练习4已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x，y∈R，都有，求证：f(x)为奇函数.04归纳总结SumUp1．偶函数与奇函数的定义:

偶函数：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

奇函数：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．判断函数奇偶性的方法:（1）图象法:偶函数图像关于y轴对称，奇函数关于