4.5.1 函数的零点与方程的解（课件）

指数函数与对数函数第四章4.5.1函数的零点与方程的解4.5函数的应用(二)课程标准核心素养1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理.通过对函数的零点与方程的解的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.栏目索引课前自主预习课堂互动探究随堂本课小结课前自主预习1．对于函数y＝f(x)，把使__________________的实数________叫做函数y＝f(x)的零点．2．函数的零点与方程的根的联系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有__________⇔函数y＝f(x)的图象与__________有公共交点．f(x)＝0

知识点1函数的零点x

零点x轴[微思考]函数的零点是函数与x轴的交点吗？提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．解析由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．答案两如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有______________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得___________.这个c也就是方程f(x)＝0的解．[微思考]该定理具备哪些条件？提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.知识点2函数零点存在性定理f(a)·f(b)＜0

f(c)＝0

[微体验]1．思考辨析(1)在闭区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，若f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内仅有一个零点．(

)(2)在闭区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，若f(a)·f(b)＞0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内没有一个零点．(

)答案(1)×

(2)×2．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为(

)A．(0,1)

B．(－1,0)

C．(2,3)

D．(1,2)答案D

解析由f(1)＝3－4＝－1<0，f(2)＝9－4＝5>0得f(x)的零点所在区间为(1,2)．课堂互动探究探究一求函数的零点[方法总结]函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．探究二判断函数零点所在区间问题(2)若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0属于区间(

)A．(－2，－1)

B．(－1,0)C．(0,1)

D．(1,2)答案C

解析构造函数f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1，f(1)＝e－1>0，显然函数f(x)是单调函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0,1)上，所以方程ex＋x＝2的解在区间(0,1)上．[方法总结]1．确定函数零点所在区间的方法确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．2．判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代：将区间端点代入函数求出函数的值．(2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断．(3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．

判断函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．解

方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg3－2>0，∴f(x)在(0,2)上必定存在零点．又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．探究三函数零点的个数方法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图，如图所示．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．[变式探究]将本例中函数解析式改为f(x)＝x－3＋ln

x

呢？[方法总结]判断函数零点个数的方法方法一：直接求出函数的零点进行判断；方法二：结合函数图象进行判断；方法三：借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示．1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．在函数零点存在性定理中，要注意三点(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(