函数的奇偶性与周期性 高三数学一轮复习

第三节函数的奇偶性与周期性1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.1.函数的奇偶性偶函数奇函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有

－x

⁠∈D且f（－x）＝

f（x）

⁠，那么函数f（x）就叫做偶函数且f（－x）＝

－f（x）

⁠，那么函数f（x）就叫做奇函数图象特征关于

y轴

⁠对称关于

原点

⁠对称提醒

函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.－x

f（x）

－f（x）

y轴

原点

2.函数的周期性（1）周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且

f（x＋T）＝f（x）

⁠，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；（2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个

最小

⁠的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.f（x＋T）＝f（x）

最小

⁠｜解题技法｜函数奇偶性的判断方法（1）定义法（2）图象法（3）性质法：设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.提醒

对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f（－x0）＝－f（x0），不能判定函数f（x）是奇函数.｜解题技法｜函数周期性的判定与应用（1）判定：判断函数的周期只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题；（2）应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期.｜解题技法｜函数奇偶性的应用类型及解题策略（1）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组），从而得到f（x）的解析式；（2）求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化到已知区间上的函数值求解；（3）求参数值：利用待定系数法求解，根据f（x）±f（－x）＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性，进而得出参数的值.对于在x＝0处有定义的奇函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解.周期函数与图像相结合的问题左加右减，f(x)向右平移1之后关于（1，0)对称⁠1.函数奇偶性常用结论（1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）；（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

3.函数图象的对称性（1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称；（2）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称；（3）若对于R上的任意x都有f（2a－