模型训练：全等三角形基本模型（原卷版）

全等三角形基本模型训练全等模型一一线三等角模型例题：【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、△CAF的外角．若，，求证：△ABE≌△CAF．【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为．巩固训练1．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上．①如图1，若，，试判断和的数量关系，并说明理由；②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明理由．(2)如图3.若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由．2．（24-25八年级上·全国·假期作业）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：；（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，求与的面积之和．全等模型二三垂直模型例题：通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：．巩固训练1．（2024上·吉林辽源·九年级统考期末）如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．2．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系问题情境：如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D初步探究：(1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由；(2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）综合与实践：(1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，，垂足分别为点，．请证明：．(2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，，请证明：点为的中点．(3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出的值．全等模型三旋转型模型例题：如图1，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在中，，，试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若，，求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．巩固训练1．如图，和都是等腰直角三角形，．（1）猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；（2）探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是______．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．全等模型四倍长中线模型例题：（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题：(1)求证：和是兄弟三角形．(2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．①请在图中通过作辅助线构造，并证明．②求证：．巩固训练1．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为．2．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证：智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长至E，使，∵是边上的中线，∴，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△

CDA（依据1），∴，在中，（依据2），∴．(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：．【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．(2)任务二：如图3，，，则的取值范围是；A．； B．； C．(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．如图4，中，，D为中点，求证：．3．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．(2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明；(3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：．4．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______；方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形【问题解决】（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______．①；②；③；④【问题拓展】（3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：；（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______．全等模型五截长补短模型例题：在四边形中，点C是边的中点．(1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由；(2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由．巩固训练1．（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，．(1)如图1，求证：；(2)如图1，求的度数；(3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．2．（23-24七年级下·四川达州·期末）在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动．【初步探索】（1）“兴趣”小