宁夏银川高三4月高中教学质量检测数学（理）试题

银川市2018年普通高中教学质量检测数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，若，则实数构成的集合是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵集合∴∵∴①当时，，则，满足题意；②当时，，若，则不满足互异性，若，则，满足题意.综上，实数构成的集合是.故选B.2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】∵复数满足∴∴复数在复平面内对应的点位于第四象限故选D.3.已知双曲线的一条渐近线的方程是，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵双曲线的渐近线方程为，且双曲线的一条渐近线的方程是.∴，即.∵∴∴故选C.4.若满足约束条件，则的最大值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由约束条件作出可行域如图所示：联立，解得，化为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，.故选C.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡八千七百五十八，西乡七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，何各几何？”意思是：北乡由8758人，西乡由7236人，南乡由8356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得，三乡总人数为人.∵共征集378人∴需从西乡征集的人数是故选B.6.如图是由半个球体和正方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由三视图可得，正方体的棱长为，半球的半径为，则该几何体的表面积为.故选B.7.在正方形中，点为的中点，若点满足，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵，∴∵∴，即.∴故选A.8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的的值等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由程序框图知：算法的功能是求的值.∵，∴输出故选B.9.已知函数的图象与直线交于两点，若的最小值为，则函数的一条对称轴是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵函数∴函数的最大值为∵函数的图象与直线交于两点，且的最小值为∴函数的周期，即.∴令，得.当时，，即函数的一条对称轴是.故选D.10.是两个平面，是两条直线，则下列命题中错误的是（）A.如果，那么B.如果，那么C.如果，那么D.如果，那么【答案】D故选D.11.定义在上的偶函数在单调递增，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵偶函数在单调递增，且∴不等式等价于，即.∴∴的取值范围是故选A.点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.12.在中，角的对边分别为，已知的面积为，且，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵∴∴根据正弦定理可得，即.∵∴∵∴∵的面积为∴，即.∵∴，当且仅当时取等号.∴故选C.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁思维同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断：①甲不在看书，也不在写信；②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在写信；④丙不在看书，也不写信.已知这些判断都是正确的的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是__________．【答案】看书【解析】由题意，甲：听音乐或玩游戏；乙：看书或玩游戏；丙：听音乐或玩游戏.∵如果甲不在听音乐，那么丁也不在写信∴甲在听音乐，乙在看书，丙在玩游戏，丁在写信故答案为看书.14.的展开式中的系数是__________．【答案】【解析】的展开式的通项公式为：.令，则；令，则；令，则.∴的展开式中的系数是故答案为.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.15.设点是抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，已知直线交轴于点且的面积为，则该抛物线的方程为__________．【答案】或【解析】根据题意作出如图所示的图象：其中，，为双曲线的准线，且准线方程为，，.设，则，.在中，为的中点，则为的中点，即，.∵的面积为∴，即.∵∴，即.∴或∴该抛物线的方程为或.故答案为或.点睛：解答本题的关键是借助题设条件，解答本题的关键是利用三角形中位线的性质得点的纵坐标，再根据三角形面积，数形结合求得，然后再依据已知条件建立方程求出，使得问题获解.16.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出以下命题：①当时，；②函数有个零点；③若关于的方程有解，则实数的取值范围是；④对恒成立，其中，正确命题的序号是__________．【答案】①④【解析】依题意，令，则，所以，即，故①正确；当时，，当时，，即函数在上为减函数，当时，，即函数在上为增函数，因为，所以在上，，在上，由此可判断函数在上仅有一个零点，由对称性可得函数在上有一个零点，又因为，故该函数有个零点，故②错误；作出函数的图象如图所示：若方程有解，则，且对恒成立，故③错误，④正确.故答案为①④.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列为公差不为零的等差数列，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，记数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由成等比数列得，根据，即可求得公差，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）求得，结合放缩法得，从而可证.试题解析：（1）由题意，，所以，，即,即.∵∴∴，故.（2）由上知，.故.∴.18.随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计男性5050100女性6040100合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关？（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取人，从这人中随机选出人赠送网络优惠券，求出选出的人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为，求的期望和方差.附：，其中【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由列联表中的数据计算的观测值，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样原理求出所抽取的5名女网民中经常进行网购和偶尔或不进行网购的人数，计算所求的概率值；（3）由列联表中数据计算经常进行网购的频率，将频率视为概率知随机变量服从次独立重复实验的概率模型，计算数学期望与方差的大小．试题解析：（1）由列联表数据计算.所以，不能再犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关.（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有人，偶尔或从不进行网购的有人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是.（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为.由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是.由于该市市民数量很大，故可以认为.所以，，.19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，为上一点.（1）若平面，试说明点的位置并证明的结论；（2）若为的中点，平面，且，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）当点为中点时有，连接，交于点，连接，由为菱形得是的中点，由三角形的中位线性质可得，即可证明；（2）以为坐标原点，分别以为轴和轴建立空间直角坐标系，分别求得平面的法向量与平面的法向量，结合图形得二面角为锐二面角，即可求得二面角的余弦值.试题解析：（1）当点为中点时有，证明如下：连接，交于点，连接.由菱形性质知点是的中点.∴又∵∴.（2）由题意，以为坐标原点，分别以为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则由条件易知，所以，.∴,设平面的法向量为，则.∴，即，令，则，所以，同理可求平面的法向量.所以，.由图可知，二面角为锐二面角，故其余弦值为点睛：此题考查二面角余弦值的计算，向量坐标的运算等.向量法在解决立体几何中二面角问题的一般步骤是：（1）建系，根据图形特点建立合理的空间直角坐标系；（2）标点，把所涉及到的点的坐标找出来，并计算相应向量的坐标；（3）求法向量，通过向量的运算，把二面角的两个半面的法向量计算出来；（4）代入公式求值，利用向量的数量积公式，求出两个法向量的夹角，注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论．20.已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为可得从而求得的值，进而可得求椭圆的方程；（2）直线的方程为，由点到直线距离公式可得与椭圆方程联立可得，再根据弦长公式可得，从而可得，进而可得△面积的最大值.试题解析：（1）设椭圆的半焦距为，依题意∴，∴所求椭圆方程为．（2）设，，①当⊥轴时，为，代入，得，∴；②当与轴不垂直时，设直线的方程为，由已知，得，把代入椭圆方程，整理，，，，∴，当时，；当时，，当且仅当，即时等号成立．综上所述．∴当最大时，△面积取最大值．考点：1、待定系数法求椭圆方程及三角形面积公式；2、点到直线距离公式及基本不等式求最值.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及三角形面积公式、点到直线距离公式及基本不等式求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.21.已知函数.（1）讨论函数的定义域内的极值点的个数；（2）若函数在处取得极值，恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）对求导，对进行分类讨论，根据导数的正负，即可能求出函数在定义域内的极值点的个数；（2）由函数在处取得极值，可得，从而解得，恒成立等价于，构造，求得函数的单调性，即可得出，从而求得实数的最大值.试题解析：（1）的定义域为，.当时，在上恒成立，函数f(x)在上单调递减.∴在(0，＋∞)上没有极值点.当时，由得.∴在上递减，在上递增，即在处有极小值.综上，当时，在上没有极值点；当时，在上有一个极值点.(2)∵函数在处取得极值，∴，则，从而∵恒成立∴恒成立令，则，由得，则在上递减，在上递增.∴，故实数b的最大值是点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.22.已知曲线的极坐标方程为.（1）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程；（2）若是曲线上的一个动点，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据椭圆参数方程得，再根据三角函数有界性得最大值试题解析：