第02讲认识概率

第02讲认识概率知识点1：事件类型EQ\o\ac(○,1)必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.EQ\o\ac(○,2)不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.EQ\o\ac(○,3)不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）.说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①

必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；②

不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；③

如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1知识点2：概率1.定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)．（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=．（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1（6）可能性与概率的关系事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．求概率方法：（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。知识点3：频率与概率1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率，记为P（A）=P知识点5：利用频率估计概率在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。考点剖析考点一：事件类型【典例1】（2022秋•天津校级期末）下列事件，是随机事件的是（）A．任意是画一个三角形其内角和是360° B．打开电视新闻频道正在播报体育新闻 C．3人分成两组一定有2人分在一组 D．掷一次骰子，向上一面点数大于0【答案】B【解答】解：A、任意是画一个三角形其内角和是360°，是不可能事件，不符合题意；B、打开电视新闻频道正在播报体育新闻，是随机事件，符合题意；C、3人分成两组一定有2人分在一组，是必然事件，不符合题意；D、掷一次骰子，向上一面点数大于0，是不可能事件，不符合题意；故选：B．【变式11】（2023秋•乐清市期中）下列事件为必然事件的是（）A．明天是雨天 B．任意掷一枚均匀的硬币80次，正面朝上的次数是40次 C．三角形三个内角的和等于180° D．两个数的和为负数【答案】C【解答】解：A．明天是雨天，是随机事件，故此选项不合题意；B．任意掷一枚均匀的硬币80次，正面朝上的次数是40次，是随机事件，故此选项不合题意；C．三角形三个内角的和等于180°，是必然事件，故此选项符合题意；D．两个数的和为负数，是随机事件，故此选项不合题意．故选：C．【变式12】（2023•青山区校级模拟）守株待兔是（）A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．确定性事件【答案】B【解答】解：守株待兔是随机事件，故选：B．【变式13】（2023秋•瑞安市期末）下列事件中，是不可能事件的是（）A．掷一次骰子，向上一面的点数是6 B．在装满红球的袋子中摸出一个黑球 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯【答案】B【解答】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件，故此选项不符合题意；B、在装满红球的袋子中摸出一个黑球，是不可能事件，故此选项符合题意；C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故此选项不符合题意；D、经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯，是随机事件，故此选项不符合题意；故选：B．考点二：可能性大小【典例2】（2022秋•阿荣旗期末）掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最小的是（）A．大于3的点数 B．小于3的点数 C．大于5的点数 D．小于5的点数【答案】C【解答】解：掷一枚质地均匀的立方体骰子，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，∴骰子停止后，在骰子向上的一面，有6种等可能的结果．A、点数大于3的数有4，5，6，三种情况，∴P点数大于3＝＝；B、点数小于3的数有1，2，两种情况，∴P点数小于3＝＝；C、点数大于5的数有6，一种情况，∴P点数大于5＝；D、点数小于5的数有1，2，3，4，四种情况，∴P点数小于5＝＝；∵＞＞＞，∴点数大于5的概率最小，出现可能性最小．故选：C．【变式21】（2023•贵州）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（）A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大 C．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同【答案】C【解答】解：∵有3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球，∴小红从盒中随机摸出1个小球，摸出标有“北斗”的概率是＝；摸出标有“天眼”的概率是＝；摸出标有“高铁”的概率是＝，∵＞＞，∴摸出标有“高铁”小球的可能性最大．故选：C．【变式22】（2023秋•滨江区校级期中）把﹣6表示成两个整数的积，共出现的可能性有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】C【解答】解：把﹣6表示成两个整数的积，共出现的可能性有：①1×（﹣6），②（﹣1）×6，③（﹣2）×3，④2×（﹣3），共4种情况．故选：C．【变式23】（2023•河北）有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（）A．（黑桃）B．（红心）C．（梅花） D．（方块）【答案】B【解答】解：∵抽到黑桃的概率为，抽到红心的概率为，抽到梅花的概率为，抽到方块的概率为，∴抽到的花色可能性最大的是红心，故选：B．考点三：概率的意义【典例3】（2023•北京）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，总共有四种等可能结果，分别是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是，故选：A．【变式31】（2022秋•台前县校级月考）367个不同人之中，必有两个人生日相同的概率为（）A． B． C．0.99 D．1【答案】D【解答】解：367个不同人之中，必有两个人生日相同，是一个必然事件，故概率是1．故选：D．【变式32】（2022春•龙口市期中）一个十字路口南北方向的红绿灯设置为红灯30秒，绿灯60秒，黄灯3秒，小明由南向北经过该路口遇到绿灯的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵该路口红灯30秒，绿灯60秒，黄灯3秒，∴小明由南向北经过该路口遇到绿灯的概率为，故选：D．【变式33】（2023春•清苑区期末）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（）A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的 B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于 C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上 D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上【答案】D【解答】解：抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，就是经过大量重复的实验，抛一枚均匀硬币正面朝上的频率越稳定在左右，因此，A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的，这是公平的，因此选项A不符合题意；B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于，这种说法是正确的，因此选项B不符合题意；C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上，是可能存在的，因此选项C不符合题意；D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上，这是不正确的，因此选项D符合题意；故选：D．考点四：用频率估计概率【典例4】（2023秋•埇桥区期中）如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为10m，宽为6m的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（）A．19m2 B．21m2 C．23m2 D．25m2【答案】B【解答】解：由表可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率逐渐稳定于0.35，所以小球落在不规则图案上的概率约为0.35，则估计不规则图案的面积大约是10×6×0.35＝21（m2）．故选：B．【变式41】（2023•陵水县一模）一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同．经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的黄球个数最有可能是（）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【解答】解：设袋子中黄球的个数可能有x个，根据题意得：＝，解得：x＝4，经检验x＝4是原方程的解，∴袋子中黄球的个数可能是4个．故选：C．【变式42】（2023秋•三元区期中）甲、乙两位同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这结果的实验可能是（）A．从一个装有2个白球和1个红球的袋子任取一个球，则取到红球的概率 B．任意买一张电影票，座位号是偶数的概率 C．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率【答案】A【解答】解：A、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：≈0.33，正确；B、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项错误；C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误；D、掷一枚正六面体的骰子，出现某一特定面的概率为，故此选项错误；故选：A．【变式43】（2023秋•高州市期中）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（）A．40个 B．35个 C．20个 D．15个【答案】B【解答】解：设袋中有黄球x个，由题意得＝0.3，解得x＝15，则白球可能有50﹣15＝35（个）．故选：B．过关检测1．（2022秋•保德县校级期末）下列事件是必然事件的是（）A．刻舟求剑 B．两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递 C．水溶解金属 D．受精卵发生了基因突变【答案】B【解答】解：A、刻舟求剑，是不可能事件，不符合题意；B、两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递，是必然事件，符合题意；C、水溶解金属，是不可能事件，不符合题意；D、受精卵发生了基因突变，是随机事件，不符合题意．故选：B．2．（2022秋•市期末）从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币，重复次数很大时，落下后正面朝上的频率最有可能接近的数值是（）A．0.81 B．0.52 C．1.50 D．1.01【答案】B【解答】解：当抛掷的次数很大时，正面朝上的频率最有可能接近正面向上的概率是，故选：B．3．（2023•天山区校级二模）袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）A．至少有一个黑球 B．至少有一个白球 C．至少有两个黑球 D．至少有两个白球【答案】A【解答】解：A、至少有一个黑球是必然事件，符合题意；B、至少有一个白球是随机事件，不合题意；C、至少有两个黑球是随机事件，不合题意；D、至少有两个白球是随机事件，不合题意．故选：A．4．（2022秋•清水县校级期末）在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有（）A．12个 B．15个 C．18个 D．20个【答案】C【解答】解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得：，解得：x＝12，则白球有30﹣12＝18个；故选：C．5．（2023•石景山区二模）如图显示了某林业部门统计某种树苗在本地区相同条件下的移植成活试验的结果．下面有四个推断：①当移植的棵数是800时，成活的棵数是688，所以“移植成活”的概率是0.860；②随着移植棵数的增加，“移植成活”的频率总在0.852附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是0.852；③与试验相同条件下，若移植10000棵这种树苗，可能成活8520棵；④在用频率估计概率时，移植3000棵树时的频率0.852一定比移植2000棵树时的频率0.853更准确其中合理的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】C【解答】解：当移植的棵树是800时，成活的棵树是688，所以“移植成活”的频率是0.860，但概率不一定是0.860，故①错误；随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在0.852附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是0.852，故②正确；试验条件下“移植成活”的概率是0.852，因此与试验相同条件下，若移植10000棵这种树苗，可能成活8520棵，故③正确；在用频率估计概率时，移植3000棵树时的频率0.852不一定比移植2000棵树时的频率0.853更准确，故④错误；其中合理的是②③，故选：C．6．（2023春•高新区期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（）A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球【答案】B【解答】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，符合题意；C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小小明随机出的是“石头”的概率为，不符合题意；D、袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率，不符合题意；故选：B．7．（2023秋•绍兴期中）在一个不透明的口袋中装有5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（）个A．15个 B．20个 C．25个 D．30个【答案】A【解答】解：设黑球可能有x个，摸到白球的频率稳定在25%附近，所以摸到白球的概率为25%，，解得x＝15．故选：A．8．（2023•恩施州）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：移植的棵数a1003006001000700015000成活的棵数b84279505847633713581成活的频率0.840.930.8420.8470.9050.905根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（）A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8【答案】C【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.9左右，故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9．故选：C．9．（2023•龙川县三模）任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（）A．面朝上的点数是3 B．面朝上的点数是奇数 C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数不小于3【答案】D【解答】解：A．面朝上的点数是3的概率为；B．面朝上的点数是奇数的概率为＝；C．面朝上的点数小于2的概率为；D．面朝上的点数不小于3的概率为＝；∴概率最大的是面朝上的点数不小于3，故选：D．10．（2023春•宿迁期末）标号为A、B、C、D的四个盒子中所装有的白球和黑球数如下，则下列盒子最易摸到黑球的是（）A．12个黑球和4个白球 B．10个黑球和10个白球 C．4个黑球和2个白球 D．10个黑球和5个白球【答案】A【解答】解：A、摸到黑球的概率为＝0.75，B、摸到黑球的概率为＝0.5，C、摸到黑球的概率为＝，D、摸到黑球的概率为＝，故选：A．11．（2022秋•增城区校级期末）任意抛掷一只纸杯200次，经过统计发现“杯口朝上”的次数为48次，则由此可以估计这只纸杯出现“杯口朝上”的概率为0.24．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵48÷200＝0.24，∴估计这只纸杯出现“杯口朝上”的概率为0.24．故答案为：0.24．12．（2023秋•南明区期中）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的大约有8个．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可得，20×0.4＝8（个），即袋子中红球的个数大约有8个，故答案为：8．13．（2023•东莞市校级二模）下表是某种幼苗在一定条件下移植后成活率的试验结果．移植总数n55020050010003000成活数m4451884769512850成活的频率0.80.90.940.9520.9510.95则在相同条件下这种幼苗可成活的概率可估计为0.95．【答案】0.95．【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，∴这种幼苗可成活的概率可估计为0.95，故答案为：0.95．13．（2023•鞍山二模）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从对二维码开展数学实验活动．如图，在边长为2cm的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为1.2cm2．【答案】1.2cm2．【解答】解：根据题意，估计这个区域内白色部分的总面积约为2×2×（1﹣0.7）＝1.2（