2024-2025学年课时作业人教A版数学课时作业53-1

课时作业53习题课诱导公式与三角函数的概念、同角三角函数的基本关系的综合应用基础强化1.已知α为锐角，sin(π－α)＝eq\f(2,3)，则cosα＝()A．eq\f(1,3)B．－eq\f(2,3)C．eq\f(\r(5),3)D．－eq\f(\r(5),3)2．在△ABC中，若cosB＝sin(90°－C)＝eq\f(1,2)，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos(eq\f(π,2)－θ)＝()A．±eq\f(\r(5),5)B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5)D．±eq\f(2\r(5),5)4．若sin(－110°)＝a，则tan70°＝()A．eq\f(a,\r(1－a2))B．－eq\f(a,\r(1－a2))C．eq\f(a,\r(1＋a2))D．－eq\f(a,\r(1＋a2))5．(多选)下列各式的值等于1的有()A．sin2(－x－1)＋cos2(x＋1)B．sin(－eq\f(5π,2))C．cos(－5π)D．eq\f(cos（\f(π,2)＋α）,sin（－3π＋α）)6．(多选)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))，以下说法正确的是()A．tanα＝－eq\f(4,3)B．sinα＝－eq\f(4,5)C．sin(α－eq\f(π,2))＝－eq\f(3,5)D．cos(α＋eq\f(3π,2))·cos(π－α)＝－eq\f(12,25)7．在△ABC中，cos(B＋C)＝eq\f(2,3)，则sinA＝________．8．已知函数f(x)＝tanx－ksinx＋2(k∈R)，若f(eq\f(π,3))＝－1，f(－eq\f(π,3))＝________．9．已知α为第三象限角，且sinα＝－eq\f(3,5).(1)求tanα的值；(2)求eq\f(sin（2π＋α）＋sin（\f(π,2)＋α）,cos（π－α）＋sinα)的值．10．在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P，点P的纵坐标为eq\f(4,5).(1)求sinα＋cosα和tanα的值；(2)若将射线OP绕点O逆时针旋转eq\f(π,2)，得到角β，求eq\f(sin（β＋3π）tan（π＋α）,cos（π－β）＋sin（α＋\f(π,2)）).能力提升11.已知sin(π－α)＋sin(α－eq\f(π,2))＝eq\f(1,2)，则eq\f(cos（\f(3π,2)＋α）,1＋tan（－α）)的值为()A．－eq\f(3,4)B．eq\f(3,4)C．－eq\f(3,16)D．eq\f(3,16)12．在△ABC中，sin(eq\f(π,2)＋A)＋sin(2π＋A)＝eq\f(7,13)，则tanA＝()A．－eq\f(12,5)B．eq\f(12,5)C．－eq\f(5,12)D．eq\f(5,12)13．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝eq\f(π,2)，则称θ与φ“广义互余”．已知sinα＝eq\f(1,4)，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是()A.sinβ＝eq\f(\r(15),4)B．cos(π＋β)＝eq\f(1,4)C．tanβ＝eq\f(\r(15),5)D．tanβ＝eq\f(\r(15),15)14．(多选)质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5rad/s，起点为点(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2)).则当Q与P重合时，Q的坐标可以为()A．(coseq\f(2π,9)，sineq\f(2π,9))B．(－coseq\f(5π,9)，－sineq\f(5π,9))C．(coseq\f(π,9)，－sineq\f(π,9))D．(－coseq\f(π,9)，sineq\f(π,9))15.sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________．16．已知f(α)＝eq\f(sin（2π＋α）cos（π－α）cos（\f(π,2)－α）,cos（π＋α）cos（\f(3π,2)＋α）)＋cos(2π－α).(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝eq\f(\r(10),5)，求eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,cosα)的值．课时作业531．解析：因为sin(π－α)＝eq\f(2,3)，所以sinα＝eq\f(2,3)，又α为锐角，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(5),3).故选C.答案：C2．解析：因为在△ABC中，cosB＝sin(90°－C)＝eq\f(1,2)，也即cosB＝cosC＝eq\f(1,2)，因为B∈(0，π)，C∈(0，π)，所以B＝C＝eq\f(π,3)，则△ABC为等边三角形．故选B.答案：B3．解析：角θ终边在直线y＝2x上，则角θ为第一象限角或者第三象限角，tanθ＝2，根据tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝±eq\f(2\r(5),5)，cos(eq\f(π,2)－θ)＝sinθ＝±eq\f(2\r(5),5).故选D.答案：D4．解析：∵sin(－110°)＝－sin110°＝－sin(180°－70°)＝－sin70°＝a，∴sin70°＝－a，∴cos70°＝eq\r(1－（－a）2)＝eq\r(1－a2)，∴tan70°＝eq\f(sin70°,cos70°)＝－eq\f(a,\r(1－a2)).故选B.答案：B5．解析：对于A，sin2(－x－1)＋cos2(x＋1)＝sin2(x＋1)＋cos2(x＋1)＝1，故A正确，对于B，sin(－eq\f(5π,2))＝sin(－eq\f(5π,2)＋2π)＝sin(－eq\f(π,2))＝－sin(eq\f(π,2))＝－1，故B错误，对于C，cos(－5π)＝cos5π＝cosπ＝－1，故C错误，对于D，eq\f(cos（\f(π,2)＋α）,sin（－3π＋α）)＝eq\f(－sinα,sin（π＋α）)＝eq\f(－sinα,－sinα)＝1，故D正确．故选AD.答案：AD6．解析：因为角α的终边过点P(－eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))，所以sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(4,3)，故A错误，B正确；对于C，sin(α－eq\f(π,2))＝－cosα＝eq\f(3,5)，故C错误；对于D，cos(α＋eq\f(3π,2))·cos(π－α)＝sinα·(－cosα)＝－eq\f(12,25)，故D正确．故选BD.答案：BD7．解析：在△ABC中，cos(B＋C)＝cos(π－A)＝eq\f(2,3)，所以cosA＝－eq\f(2,3)，则sinA＝eq\f(\r(5),3).答案：eq\f(\r(5),3)8．解析：因为函数f(x)＝tanx－ksinx＋2(k∈R)，所以f(eq\f(π,3))＝taneq\f(π,3)－ksineq\f(π,3)＋2＝－1，即taneq\f(π,3)－ksineq\f(π,3)＝－3，所以f(－eq\f(π,3))＝tan(－eq\f(π,3))－ksin(－eq\f(π,3))＋2＝－taneq\f(π,3)＋ksineq\f(π,3)＋2＝5.答案：59．解析：(1)因为α为第三象限角，且sinα＝－eq\f(3,5)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)；tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4).(2)eq\f(sin（2π＋α）＋sin（\f(π,2)＋α）,cos（π－α）＋sinα)＝eq\f(sinα＋cosα,－cosα＋sinα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)，由(1)得tanα＝eq\f(3,4)，所以eq\f(sin（2π＋α）＋sin（\f(π,2)＋α）,cos（π－α）＋sinα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝－7.10．解析：(1)由三角函数的定义可得sinα＝eq\f(4,5)，又因为α为第二象限角，则cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(3,5)，所以sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).(2)由题知β＝α＋eq\f(π,2)，则sinβ＝sin(α＋eq\f(π,2))＝cosα＝－eq\f(3,5)，cosβ＝cos(α＋eq\f(π,2))＝－sinα＝－eq\f(4,5)，则eq\f(sin（β＋3π）tan（π＋α）,cos（π－β）＋sin（α＋\f(π,2)）)＝eq\f(（－sinβ）tanα,－cosβ＋cosα)＝eq\f(\f(3,5)×（－\f(4,3)）,\f(4,5)－\f(3,5))＝－4．11．解析：由已知得sinα－cosα＝eq\f(1,2)，两边平方得1－2sinαcosα＝eq\f(1,4)，解得sinαcosα＝eq\f(3,8)，则原式＝eq\f(sinα,1－tanα)＝eq\f(sinα,1－\f(sinα,cosα))＝eq\f(sinαcosα,cosα－sinα)＝－eq\f(3,4)．故选A.答案：A12．解析：在△ABC中，sin(eq\f(π,2)＋A)＋sin(2π＋A)＝sinA＋cosA＝eq\f(7,13)，平方得1＋2sinAcosA＝eq\f(49,169)，2sinAcosA＝－eq\f(120,169)，因为A为三角形的一个内角，所以sinA>0，cosA<0，所以sinA－cosA>0，(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝eq\f(289,169)，所以sinA－cosA＝eq\f(17,13)，结合sinA＋cosA＝eq\f(7,13)，可得sinA＝eq\f(12,13)，cosA＝－eq\f(5,13)，所以tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝－eq\f(12,5).故选A.答案：A13．解析：若α＋β＝eq\f(π,2)，则β＝eq\f(π,2)－α，所以sinβ＝sin(eq\f(π,2)－α)＝cosα＝±eq\f(\r(15),4)，故选项A符合条件；cos(π＋β)＝－cos(eq\f(π,2)－α)＝－sinα＝－eq\f(1,4)，故选项B不符合条件；tanβ＝eq\f(\r(15),5)，即sinβ＝eq\f(\r(15),5)cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，∴sinβ＝±eq\f(\r(6),4)，故选项C不符合条件；tanβ＝eq\f(\r(15),15)，即eq\r(15)sinβ＝cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，∴sinβ＝±eq\f(1,4)，故选项D不符合条件．故选A.答案：A14．解析：点Q的初始位置Q1的坐标为(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))，锐角∠Q1Ox＝eq\f(π,3)，设t时刻两点重合，则5t－2t＝eq\f(π,3)＋2kπ(k∈N)，即t＝eq\f(π,9)＋eq\f(2kπ,3)(k∈N)，此时点Q(cos(－eq\f(π,3)＋5t)，sin(－eq\f(π,3)＋5t))，即Q(cos(eq\f(2π,9)＋eq\f(10kπ,3))，sin(eq\f(2π,9)＋eq\f(10kπ,3)))(k∈N)，当k＝0时，Q(coseq\f(2π,9)，sineq\f(2π,9))，故A正确；当k＝1时，Q(coseq\f(32π,9)，sineq\f(32π,9))，即Q(－coseq\f(5π,9)，－sineq\f(5π,9))，故B正确；