举一反三系列高二高考数学同步及复习资料人教A版选择性必修2专题4.10 等比数列的前n项和公式（重难点题型检测）（含答案及解析）

专题4.10等比数列的前n项和公式（重难点题型检测）【人教A版2019选择性必修第二册】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（

）A．32 B．313 C．122．（3分）（2022·河南·高三阶段练习（文））已知等比数列an的前n项和为Sn，若a4=81，a1A．364 B．1094 C．368 D．10923．（3分）（2020·湖北·高二期中）已知在等比数列an中，a3=4，前三项之和S3=12A．an=16⋅−C．an=4 D．a4．（3分）（2022·江苏省高二阶段练习）已知Sn是各项均为正数的等比数列an的前n项和，若a2⋅a4=81A．2 B．3 C．6 D．95．（3分）（2022·广东·一模）已知等比数列an的通项公式为an=210−n，n∈N∗，记an的前n项和为Sn，前nA．17 B．18 C．19 D．206．（3分）（2022·山东烟台·高三期中）为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设an为第n年的维修费用，An为前n年的平均维修费用，若An<40万元，则该设备继续使用，否则从第A．2026 B．2027 C．2028 D．20297．（3分）（2022·山西运城·高三期中）已知数列an满足an+1an=−3,a1=1，若bn=1an+3，数列A．−53,1 B．−53,18．（3分）（2022·云南·高三阶段练习）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，aA．S2021>SC．T2022是数列Tn中的最大值 二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·辽宁·高二期末）已知正项等比数列an的前n项和为Sn，公比为q，若S2A．S8=729 B．S8=820 C．10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）在公比q为整数的等比数列an中，Sn是数列an的前n项和，若a1aA．q=2 B．数列Sn+2C．S8=254 D．数列11．（4分）（2022·全国·高三专题练习）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，aA．0<q<1 B．aC．Sn的最大值为S9 D．T12．（4分）（2022·全国·高二期末）已知等比数列an的前n项和为Sn，且S2=4a1，a2是a1+1与12a3的等差中项，数列A．数列an的通项公式为B．SC．数列bn的通项公式为D．Tn的取值范围是三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·四川省高一期中（文））在各项均为正数的等比数列an中，若S10=10，S2014．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列an中，a3=4，S3=12，则数列a15．（4分）（2022·湖北·三模）已知数列an的通项公式为an=2n−1，保持数列an中各项先后顺序不变，在ak与ak+1k=1,2,⋯之间插入2k个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列bn，记b16．（4分）（2022·上海高二期中）“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成9个边长为13的小正方形，保留靠角的4个小正方形，记4个小正方形的面积和为S1；然后，将剩余的4个小正方形分别继续9等分，分别保留靠角的4个小正方形，记所得的16个小正方形的面积和为S2；……；操作过程不断地进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若S1+四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·江苏·高二课时练习）在等比数列an中，q=12，S18．（6分）（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q=2，(1)求数列an(2)若bn=2n−1an，求数列b19．（8分）（2022·福建三明·高二阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，满足3Sn=2an(1)求数列an(2)令cn=anbn，求数列20．（8分）（2022·全国·高三专题练习）科学数据证明，当前严重威胁人类生存与发展的气候变化主要是工业革命以来人类活动造成的二氧化碳排放所致．应对气候变化的关键在于“控碳”，其必由之路是先实现碳达峰，而后实现碳中和．2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺力争在2030年前实现碳达峰，努力争取在2060年前实现碳中和．2021年全国两会的政府工作报告明确提出要扎实做好碳达峰和碳中和的各项工作，某地为响应国家号召，大力发展清洁电能，根据规划，2021年度火电发电量为8亿千瓦时，以后每年比上一年减少20%，2021年度清洁电能发电量为4亿千瓦时，以后每年比上一年增长25%．(1)设从2021年开始的nn∈N∗年内火电发电总量为Sn亿千瓦时，清洁电能总发电量为Tn亿千瓦时，求S(2)从哪一年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量？21．（8分）（2022·上海市高二期末）设数列an的前n项和为Sn，且(1)求数列an(2)设数列bn=log2an，对任意m∈N,m≥1，将数列bn中落入区间am+1−1,am+222．（8分）已知an是等差数列，bn是公比为q的等比数列，a1=b1，a2(1)若bk=am（m，(2)若b3=ai（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列(3)是否存在这样的正数q，使等比数列bn中有三项成等差数列？若存在，写出一个q专题4.10等比数列的前n项和公式（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（

）A．32 B．313 C．12【解题思路】利用等比数列的性质可得S10【解答过程】解：由等比数列的性质可得S5又S5=3,S15=39解得S10=12或S10故选：C.2．（3分）（2022·河南·高三阶段练习（文））已知等比数列an的前n项和为Sn，若a4=81，a1A．364 B．1094 C．368 D．1092【解题思路】根据等比数列可求公比q，再按照等比数列求和公式即可得S6【解答过程】解：等比数列an的前n项和为Sn，若a4=81则q3=a4a故选：D.3．（3分）（2020·湖北·高二期中）已知在等比数列an中，a3=4，前三项之和S3=12A．an=16⋅−C．an=4 D．a【解题思路】设公比为q，求出首项a1的公比q【解答过程】设公比为q，则a1q2=4a所以an=4或故选：D．4．（3分）（2022·江苏省高二阶段练习）已知Sn是各项均为正数的等比数列an的前n项和，若a2⋅a4=81A．2 B．3 C．6 D．9【解题思路】根据等比数列下标性质，结合等比数列前n项和公式进行求解即可.【解答过程】因为等比数列an所以由a2当q=1时，a1=9，所以当q≠1时，由S3⇒9q2因为等比数列an的各项均为正数，所以q=3故选：B.5．（3分）（2022·广东·一模）已知等比数列an的通项公式为an=210−n，n∈N∗，记an的前n项和为Sn，前nA．17 B．18 C．19 D．20【解题思路】根据题意求得Sn=210−210−n，Tn=2n(19−n)【解答过程】由题意，等比数列an的通项公式为a可得数列an是首项为29、公比为所以Sn=2由Tn>Sn，得2n(19−n)结合n∈N∗，可得2≤n≤17，n∈N∗.当当n≥18时，n(19−n)2≤9，Tn所以Tn综上，使得Tn>S故选：A.6．（3分）（2022·山东烟台·高三期中）为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设an为第n年的维修费用，An为前n年的平均维修费用，若An<40万元，则该设备继续使用，否则从第A．2026 B．2027 C．2028 D．2029【解题思路】前6年的维修费用构成等差数列，第6年及之后每年的维修费用构成等比数列，分成两部分单独求和，最后逐一计算第n年的前n年平均维修费用，与40作比较即可.【解答过程】设前n年的总维修费用为Sna1=20，则S6=6(即前6年可继续使用.当n≥7时，an所以a7=5Sn则An计算得A8=585故从第9年起需对设备进行更新，更新的年份为2020+9−1=2028.故选：C.7．（3分）（2022·山西运城·高三期中）已知数列an满足an+1an=−3,a1=1，若bn=1an+3，数列A．−53,1 B．−53,1【解题思路】根据等比数列求an=−3n−1，进而得【解答过程】an+1an=−3,a1=1，可知aSn故Sn−3n−3<4t+2，即当n为奇数时，则对任意的奇数n，满足t>−1716+当n=1时，gn=−1716+当n为偶数时，满足t>−1716−316综上可得t>−1，同理t−4≤S故当n=2时，74−3综上：1<t≤5故选：D.8．（3分）（2022·云南·高三阶段练习）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，aA．S2021>SC．T2022是数列Tn中的最大值 【解题思路】首先由条件分析出等比数列an的等比取值，即可得到a【解答过程】∵数列an∴a2021a2022=a1q2020⋅a又a2021−1a2022−1<0，∴当a2021−1<0a2022−1>0此时：a2021=a1q当a2021−1>0a2022−1<0综上：0<q<1，∴数列an是a1>1∴S2021S2021∵a1>1，a2021>1，则有S2021S20212+STn为前n项的积，a2021>1，a∵T又：a∴T4042故选：D.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·辽宁·高二期末）已知正项等比数列an的前n项和为Sn，公比为q，若S2A．S8=729 B．S8=820 C．【解题思路】因为an为等比数列，所以S2,【解答过程】因为an为等比数列，所以S因为S2=1,S得S4因为an>0，所以Sn因为S4所以S8−S因为q2=S4−故选：BC.10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）在公比q为整数的等比数列an中，Sn是数列an的前n项和，若a1aA．q=2 B．数列Sn+2C．S8=254 D．数列【解题思路】根据给定条件结合等比数列的性质求出等比数列an的公比和通项及前n项和，再逐一分析【解答过程】在等比数列an中，a2a3=a1而公比q为整数，于是得a2=4a3=8q=2，A正确；SnS8log2an+1故选：AB．11．（4分）（2022·全国·高三专题练习）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，aA．0<q<1 B．aC．Sn的最大值为S9 D．T【解题思路】根据题意a7>1，【解答过程】因为a1>1，a7所以a7>1，a8a7因为a1>1，0<q<1，所以数列an又a7>1，a8<1，所以故选：AD.12．（4分）（2022·全国·高二期末）已知等比数列an的前n项和为Sn，且S2=4a1，a2是a1+1与12a3的等差中项，数列A．数列an的通项公式为B．SC．数列bn的通项公式为D．Tn的取值范围是【解题思路】根据已知条件可求出等比数列an的公比和首项，进而可以求得an和Sn，从而可求bn，利用裂项相消法可求Tn【解答过程】A：由S2=4a1可得a2=3a1，∴由a2是a1+1与1即2a1×3=a1+1+12B：Sn=aC：bn=aD：T=1∴数列Tn是递增数列，得T1≤Tn<故选：BD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·四川省高一期中（文））在各项均为正数的等比数列an中，若S10=10，S20【解题思路】利用等比数列的求和公式的基本量运算即得，或利用等比数列前n项和的性质求解.【解答过程】设等比数列an的公比为q，由题可知q≠±1方法一：由已知条件可列出方程组10=a11−∴q10∴S30方法二：由性质Sm+nS20=S∴q10∴S30方法三：运用性质Sm由已知条件S10=10，S20∴S101−q∴q10由S101−q方法四：运用性质Sk，S2k−Sk∵S10，S20−而S10=10，S20=30即30−102∴S30故答案为：70.14．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列an中，a3=4，S3=12，则数列an的通项公式为【解题思路】分q=1，q≠1，由a3=4，S3【解答过程】当q=1时，a1=a∴q=1符合题意，此时an当q≠1时，a3=a∴q=−1∴an故数列an的通项公式为an=4故答案为：an=4或15．（4分）（2022·湖北·三模）已知数列an的通项公式为an=2n−1，保持数列an中各项先后顺序不变，在ak与ak+1k=1,2,⋯之间插入2k个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列bn，记b【解题思路】根据插入数的规则，先分析ak在bn中对应的项数，根据所得可验证a6,a7在bn中的项数，据此【解答过程】因为ak与ak+1k=1,2,⋅⋅⋅所以ak在bn=k+2当k＝6时，2k+k−2=68，当k＝7时，所以a6=b68，S6为{因此T=6故答案为：130.16．（4分）（2022·上海高二期中）“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成9个边长为13的小正方形，保留靠角的4个小正方形，记4个小正方形的面积和为S1；然后，将剩余的4个小正方形分别继续9等分，分别保留靠角的4个小正方形，记所得的16个小正方形的面积和为S2；……；操作过程不断地进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若S1+【解题思路】分别求出S1，S2进而可得Sn，可得S【解答过程】S1是4个边长为13的小正方形面积之和，所以S2是42个边长为13S3是43个边长为13所以Sn所以Sn是首项为49，公比为所以S1所以S1+S所以49因为fx=4而f3f4=4所以需要操作的次数n的最小值为4次，故答案为：4.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·江苏·高二课时练习）在等比数列an中，q=12，S【解题思路】利用等比数列的奇数项和与偶数项和的关系,即可求解.【解答过程】解：设T1=a所以T2所以S100所以T218．（6分）（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q=2，(1)求数列an(2)若bn=2n−1an，求数列b【解题思路】（1）根据等比数列通项公式及等比数列前n和公式，即可得到方程a11−2（2）首先得到bn=(2n−1)⋅2【解答过程】（1）因为数列an为等比数列，且公比q=2，S所以a11−2故an（2）由(1)得bnTn2T①−②得−=−2+2=−2+2⋅2Tn19．（8分）（2022·福建三明·高二阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，满足3Sn=2an(1)求数列an(2)令cn=anbn，求数列【解题思路】（1）根据an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2，求出a【解答过程】（1）由3Sn=2an−1，取所以3a1=2当n≥2时，由条件可得3Sn=2an所以anan−1=−2，所以数列an是首项为−2因为b1=a1=−2，设等差数列bn的公差为d，则b2=−2+d,b故bn（2）cnTn−2T相减得3T所以3Tn所以Tn20．（8分）（2022·全国·高三专题练习）科学数据证明，当前严重威胁人类生存与发展的气候变化主要是工业革命以来人类活动造成的二氧化碳排放所致．应对气候变化的关键在于“控碳”，其必由之路是先实现碳达峰，而后实现碳中和．2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺力争在2030年前实现碳达峰，努力争取在2060年前实现碳中和．2021年全国两会的政府工作报告明确提出要扎实做好碳达峰和碳中和的各项工作，某地为响应国家号召，大力发展清洁电能，根据规划，2021年度火电发电量为8亿千瓦时，以后每年比上一年减少20%，2021年度清洁电能发电量为4亿千瓦时，以后每年比上一年增长25%．(1)设从2021年开始的nn∈N∗年内火电发电总量为Sn亿千瓦时，清洁电能总发电量为Tn亿千瓦时，求S(2)从哪一年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量？【解题思路】（1）设2021年起，每年的火力发电量构成数列an，每年的清洁电能发电量构成数列bn，则根据题意得数列an是等比数列，公比为45，首项为a1=8，数列（2）根据题意解Tn【解答过程】（1）解：设2021年度火电发电量为a1=8亿千瓦时，以后每年度的火力发电量为因为根据规划，2021年度以后，火电发电量每年比上一年减少20%，所以2021年起，每年的火力发电量构成数列an，且满足a1=8所以数列an是等比数列，公比为45，首项为所以an=8×4设2021年度清洁电能发电量为b1=4亿千瓦时，以后每年度的清洁电能发电量为因为根据规划，2021年度以后清洁电能发电量每年比上一年增长25%，所以2021年起，每年的清洁电能发电量构成数列bn，且满足b1=4所以数列bn是等比数列，公比为54，首项为所以bn=4×5（2）解：根据题意，假设第n年清洁电能总发电量将会超过火电发电总量，所以Tn>S整理得16×5令54n=t>1，则16t+40t>56，即所以54n>故当n=5时，Tn即从2025年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发