河南省开封市兰考县等五县联考2025届数学高二上期末学业水平测试试题含解析

河南省开封市兰考县等五县联考2025届数学高二上期末学业水平测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以为直径的圆过点P，且，则C的离心率为（）A. B.C. D.2．（一）单项选择函数在处的导数等于（）A.0 B.C.1 D.e3．已知点，点关于原点的对称点为，则（）A. B.C. D.4．圆与圆的位置关系是（）A.相离 B.内含C.相切 D.相交5．已知函数，.若存在三个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.6．在中，已知，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形7．若等比数列的前n项和，则r的值为（）A. B.C. D.8．若不等式组表示的区域为，不等式表示的区域为，向区域均匀随机撒颗芝麻，则落在区域中的芝麻数约为（）A. B.C. D.9．设等差数列，的前n项和分别是，若，则（）A. B.C. D.10．圆：与圆：的位置关系是（）A.内切 B.外切C.相交 D.相离11．设函数的图象在点处的切线为，则与坐标轴围成的三角形面积的最小值为（）A. B.C. D.12．如果命题为真命题，为假命题，那么（）A.命题，都是真命题 B.命题，都是假命题C.命题，至少有一个是真命题 D.命题，只有一个是真命题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图三角形数阵：132456109871112131415……按照自上而下，自左而右的顺序，位于第行的第列，则______.14．已知数列的前的前n项和为，数列的的前n项和为，则满足的最小n的值为______15．已知椭圆方程为，左、右焦点分别为、，P为椭圆上的动点，若的最大值为，则椭圆的离心率为___________.16．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，离心率为，椭圆C上的点与其右焦点F的最短距离为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线与椭圆C交于P，Q两点，直线PA与QB的斜率分别为，，且，那么直线l是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由.18．（12分）如图，四棱锥中，侧面是边长为4的正三角形，且与底面垂直，底面是菱形，且，为的中点（1）求证：；（2）求点到平面的距离19．（12分）已知A，B两地相距200km，某船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h（v＞8）．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元（1）求比例系数k（2）当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？（3）当（x为大于8的常数）时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？20．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是菱形，平面平面.（1）证明：；（2）若，且平面平面BEDF，求平面ADE与平面CDF所成的二面角的正弦值.21．（12分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需要再收费5元.该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）.（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？（3）小明打算将四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过，求他支付的快递费为45元的概率.22．（10分）在等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据题意，在中，设，则，进而根据椭圆定义得，进而可得离心率.【详解】在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选：B.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据已知条件，结合椭圆的定义，在焦点三角形中根据边角关系求解.2、B【解析】利用导数公式求解.【详解】因为函数，所以，所以，故选；B3、C【解析】根据空间两点间距离公式，结合对称性进行求解即可.【详解】因为点关于原点的对称点为，所以,因此，故选：C4、D【解析】先由圆的方程得出两圆的圆心坐标和半径，求出两圆心间的距离与两半径之和与差比较可得答案.【详解】圆的圆心为，半径为圆的圆心为，半径为两圆心间的距离为由，所以两圆相交.故选：D5、B【解析】根据题意，当时，有一个零点，进而将问题转化为当时，有两个实数根，再研究函数即可得答案.【详解】解：因为存在三个零点，所以方程有三个实数根，因为当时，由得，解得，有且只有一个实数根，所以当时，有两个实数根，即有两个实数根，所以令，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，，，所以的图象如图所示，所以有两个实数根，则故选：B6、B【解析】利用诱导公式、两角和的正弦公式化简已知条件，由此判断出三角形的形状.【详解】由，得，得，由于，所以，所以.故选：B7、B【解析】利用成等比数列来求得.【详解】依题意，等比数列的前n项和，，，所以.故选：B8、A【解析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，利用几何概型得出芝麻落在区域Γ内的概率，进而可得答案.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图中三角形ABC及其内部，不等式表示的区域如下图中的圆及其内部：由图可得，A点坐标为点坐标为坐标为点坐标为.区域即的面积为，区域的面积为圆的面积，即，其中区域和区域不相交的部分面积即空白面积，所以区域和区域相交的部分面积，所以落入区域的概率为.所以均匀随机撒颗芝麻，则落在区域中芝麻数约为.故选:A.9、C【解析】结合等差数列前项和公式求得正确答案.【详解】依题意等差数列，的前n项和分别是，由于，故可设，，当时，，，所以，所以.故选：C10、A【解析】先计算两圆心之间的距离，判断距离和半径和、半径差之间的关系即可.【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，两圆心之间的距离，故两圆内切.故选：A.11、C【解析】利用导数的几何意义求得切线为，求x、y轴上截距，进而可得与坐标轴围成的三角形面积，利用导数研究在上的最值即可得结果.【详解】由题设，，则，又，所以切线为，当时，当时，又，所以与坐标轴围成的三角形面积为，则，当时，当时，所以在上递减，在上递增，即.故选：C12、D【解析】由命题为真命题,可判断二者至少有一个为真命题，由为假命题，可判断二者至少有一个为假命题，由此可得答案.【详解】命题为真命题，说明二者至少有一个为真命题，为假命题,说明二者至少有一个为假命题，综合上述，可知命题，只有一个是真命题，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意可知到第行结束一共有个数字，由此可知在第行；又由图可知，奇数行从左到右是从小到大排列，偶数行从左到右是从大到小排列，第行个数字从大到小排列，由此可知在到数第列，据此即可求出，进而求出结果.【详解】由图可知，第1行有1个数字，第2行有2个数字，第2行有3个数字，……第行有个数字，由此规律可知，到第行结束一共有个数字；又当时，，所以第行结束一共有个数字；当时，，所以在第行，故；由图可知，奇数行从左到右是从小到大排列，偶数行从左到右是从大到小排列，第行是偶数行，共个数字，从大到小排列，所以在倒数第列，所以，所以.故答案为：.14、9【解析】由数列的前项和为，则当时，，所以，所以数列的前和为，当时，，当时，，所以满足的最小的值为.点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项与的关系，推导数列的通项公式，以及等差、等比数列的前项和公式的应用，熟记等差、等比数列的通项公式和前项和公式是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.15、【解析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得，再利用公式可求得该椭圆的离心率的值.【详解】由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，因为的最大值为，则，可得，因此，该椭圆的离心率为.故答案为：.16、【解析】分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，即异面直线A1M与DN所成角的大小是考点：异面直线所成的角三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）恒过点【解析】（1）设为椭圆上的点，根据椭圆的性质得到，再根据的取值范围，得到，再根据离心率求出、，最后根据，求出，即可得解；（2）设、，表示出、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由，即可得到，再根据，即可得到，从而得到，再将、代入计算可得；【小问1详解】解：设为椭圆上的点，为椭圆的右焦点，所以，因为，所以，又，所以、，因为，所以，所以椭圆方程为；【小问2详解】解：设、，依题意可得、，所以、，联立得，则即，所以、，因为，所以，即，由得，即，所以，即，，整理得，所以，即，即，解得或，当时直线过点，故舍去，所以，则直线恒过点；18、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)取的中点，连接，，，先证明平面，再由平面得，(2)等体积法求解.根据题目条件，先证明为三棱锥的高，再求出以为顶点，为底面的三棱锥的体积和以为顶点，为底面的三棱锥的体积，根据，求点到平面的距离.【详解】(1)证明：如图，取的中点，连接，，依题意可知，，均为正三角形，∴，又∵，∴平面又平面，∴(2)由(1)可知，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即为三棱锥的高由题意得，∵为的中点，∴在中，，∴，，∴在中，边上的高，∴的面积的面积点到平面的距离即点到平面的距离设点到平面的距离为，由，得，即，解得，即点到平面的距离为19、（1）5（2）8km/h（3）答案见解析【解析】（1）列出关系式，根据当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元即可求解;（2）列出燃料费的函数解析式，利用导数求其最值即可；（3）讨论x的范围，结合（2）的结论可得答案.【小问1详解】设每小时的燃料费为，则当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元，代入得.【小问2详解】由（1）得.设全程燃料费为y，则（），所以,令，解得v＝0（舍去）或v＝16，所以当时，；当时，，所以当v＝16时，y取得最小值，故为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为8km/h【小问3详解】由（2）得，若时，则y在区间上单调递减，当v＝x时，y取得最小值；若时，则y区间（8，16）上单调递减，在区间上单调递增，当v＝16时，y取得最小值；综上，当时，船的实际前进速度为8km/h，全程燃料费最省；当时，船的实际前进速度应为（x－8）km/h，全程燃料费最省20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接交于点，连接，要证明，只需证明平面即可；（2）以D为原点建系，分别求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式计算即可得到答案.【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接四边形为正方形，，且为的中点又四边形为菱形，平面平面又平面OAE.（2）解：如图，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，则由（1）得又平面平面，平面平面，平面ABCD，故，同理，设为平面的法向量，为平面的法向量，则故可取，同理故可取，所以设平面与平面所成的二面角为，则，所以平面与平面所成的二面角的正弦值为21、(1)公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.(2)该公司平均每天的利润有1000元．(3).【解析】（1）对于平均数，运用平均数的公式即可；由于中位数将频率分布直方图分成面积相等的两部分，先确定中位数位于哪一组，然后建立关于中位数的方程即可求出.（2）利用每天的总收入减去工资的支出，即可得到公司每天的利润.（3）该为古典概型，根据题意分别确定总的基本事件个数，以及事件“快递费为45元”包括的基本事件个数，即可求出概率.【详解】（1）每天包裹数量的平均数为；或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6，所以每天包裹数量的平均数为设中位数为x，易知，则，解得x=260.所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.（2）由（1）可知平均每天的揽件数为260，利润为(元)，所以该公司平均每天的利润有