2021年中考数学专题复习 专题18 等腰、等边三角形问题(教师版含解析)_第1页
2021年中考数学专题复习 专题18 等腰、等边三角形问题(教师版含解析)_第2页
2021年中考数学专题复习 专题18 等腰、等边三角形问题(教师版含解析)_第3页
2021年中考数学专题复习 专题18 等腰、等边三角形问题(教师版含解析)_第4页
2021年中考数学专题复习 专题18 等腰、等边三角形问题(教师版含解析)_第5页
已阅读5页,还剩17页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

专题18等腰、等边三角形问题

专题知识点概述

一、等腰三角形

1.定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫腰,第三条边叫底边,两腰的夹角叫顶

角,底边和腰的夹角叫底角.

2.等腰三角形的性质

性质1:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).

性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称“三线合一”).

3.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据.

性质2用来证明线段相等,角相等,垂直关系等.

4.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴,通常情况只有一条对称轴.

5.等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”).

要点诠释:等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中的角的相等关系转化为边的

相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

二、等边三角形

1.定义:三边都相等的三角形叫等边三角形.

2.性质

性质1:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°;

性质2:等边三角形是轴对称图形,并且有三条对称轴,分别为三边的垂直平分线。

3.判定

(1)三个角都相等的三角形是等边三角形;

(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;

(3)有两个角是60°的三角形是等边三角形。

三、解题方法要领

1.等腰(边)三角形是一个特殊的三角形,具有较多的特殊性质,有时几何图形中不存在

等腰(边)三角形,可根据已知条件和图形特征,适当添加辅助线,使之构成等腰(边)三角形,然后利用其

定义和有关性质,快捷地证出结论。

2.常用的辅助线有:(1)作顶角的平分线、底边上的高线、中线。(2)在三角形的中线问

题上,我们常将中线延长一倍,这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。

3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法,在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边

或角,要对已知的边和角进行讨论,分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。

【例题1】(2020•临沂)如图,在△A8C中,AB=AC,乙4=40°,CD//AB,则)

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【解析】根据等腰三角形的性质可求N4C8,再根据平行线的性质可求N8CD

:在△/BC中,4B=AC,N/=40°,

:.ZACB=10",

':CD//AB,

:.ZJC£>=180°-4=140°,

,NBCD=NACD-NACB=1Q°.

【对点练习】如图所示,点D是△ABC的边AC上一点(不含端点),AD=BD,则下列结论正确

的是()

A.AC>BCB.AC=BCC.ZA>ZABCD.ZA=ZABC

【答案】A

【解析】本题考查了等腰三角形的性质:等腰三角形的两腰相等;等腰三角形的两个底角相

等;等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.根据等腰三角形的

两个底角相等,由AD=BD得到NA=NABD,所以NABONA,则对各C、D选项进行判断;

根据大边对大角可对A、B进行判断.

VAD=BD,

,ZA=ZABD,

/.ZABC>ZA,所以C选项和D选项错误;

AAOBC,所以A选项正确;B选项错误.

【例题2](2020•宁波)AffOE和是两个全等的等边三角形,将它们按如图的方式放置在等边三角形

48c内.若求五边形DEC所的周长,则只需知道()

D,

BGEC

A.△ABC的周长B.△/尸,的周长

C.四边形尸的周长D.四边形/DEC的周长

【答案】A

【解析】证明四△CHG(/4S),得出AF=CH.由题意可知BE=FH,则得出五边形DECHF的周长

=AB+BC,则可得出答案.

:△GF”为等边三角形,

:.FH=GH,NF”G=60°,

ZAHF+ZGHC=120°,

:△NBC为等边三角形,

:.AB=BC=AC,ZACB=ZA=6O°,

:.ZGHC+AHGC=\2O°,

NAHF=ZHGC,

:.XAFg△CHG(AAS),

:.AF=CH.

•;△BCE和△FG4是两个全等的等边三角形,

:.BE=FH,

:.五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+4F+BE+DF,

=(BD+DF+AF)+(CE+BE),

=AB+BC.

二只需知道△45C的周长即可.

【对点练习】如图所示,在等边三角形ABC的边BC、AC上分别取点D、E,使BD=CE,AD与BE相交于

点P,则/APE的度数为°.

【答案】60

【解析】根据BD=CE可得CD=AE,即可证明△ACD^Z\BAE,得NCAD=NABE,再根据内角和为180。的

性质即可解题。

VBD=CE,

.*.BC-BD=AC-CE,

即CD=AE,

'CD=AE

在4ACD与4BAE中,,NACD=NBAE,

AB=AC

.♦.△ACD丝△BAE(SAS),

.,.ZCAD=ZABE,

ZCAD+ZAPE+NAEB=180°,

NABE+/BAE+/AEB=180°,

ZAPE=ZBAE=60°

【例题3】(2020•台州)如图,已知AD=AE,8。和CE相交于点O.

(1)求证:△4BDg"CE;

⑵判断△8OC的形状,并说明理由.

A

【答案】见解析。

【分析】⑴由“SAS”可证△48。2△4CE;

(2)由全等三角形的性质可得N/87)=/ZCE,由等腰三角形的性质可得/Z5C=/4C8,可求N08C=N

OCB,可得BO=CO,即可得结论.

【解答】证明:(1);48=/C,ZBAD=ZCAE,AD=AE,

:.△ABgAACE(SAS);

(2)Z\8OC是等腰三角形,

理由如下:

LABD丝△ACE,

:.NABD=NACE,

'JAB^AC,

:.NABC=ZACB,

:./ABC-NABD=ZACB-NACE,

:./OBC=ZOCB,

:.BO=CO,

二△80。是等腰三角形.

【对点练习】如图,已知AC_LBC,BD±AD,AC与BD交于点0,AC=BD.求证:

D

O

A匕---------------------'B

(1)BC=AD;

(2)A0AB是等腰三角形.

【答案】见解析。

【解析】证明:(1):AC_LBC,BD1AD,

/.ZD=ZC=90°.

AB=BA,

在RtZ\ACB和RtZXBDA中,\'

AC=BD,

.,.△ACB^ABDA(HL).

,BC=AD.

(2)由AACB^4BDA,得NCAB=/DBA,

...△OAB是等腰三角形.

【对点练习】已知:在AABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE±AB,DF±BC,垂足分别为点E,F,

且DE=DF.求证:Z\ABC是等边三角形.

BAFC

【答案】见解析。

【解析】只要证明RtAADE^RtACDF,推出NA=/C,推出BA=BC,又AB=AC,即可推出AB=BC=AC;

证明:;DE_LAB,DF1BC,垂足分别为点E,F,

•,.ZAED=ZCFD=90°,

:D为AC的中点,

;.AD=DC,

在RtAADE和RtACDF中,

[AD=DC

IDE=DF'

ARtAADE^RtACDF,

.*.ZA=ZC,

ABA=BC,VAB=AC,

.♦.AB=BC=AC,

/.△ABC是等边三角形.

【对点练习】如图,AABC中,AB=AC,ZA=36°,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足,连接EC.

⑴求NECD的度数;(2)若CE=5,求BC长.

【答案】(D/ECD的度数是36°;

(2)BC长是5.

【解析】(1):DE垂直平分AC

;.CE=AE,

ZECD=ZA=36°

(2)VAB=AC,ZA=36°,

:.ZB=ZACB=72°,

/.ZBEC=ZA+ZECD=72°,

.\ZBEC=ZB,

:.BC=EC=5.

一、选择题

1.(2020•聊城)如图,在△45C中,AB=AC,NC=65°,点。是8c边上任意一点,过点。作。尸〃力8

交4C于点£则/短C的度数是()

A.120°B.130°C.145°D.150°

【答案】B

【解析】由等腰三角形的性质得出N8=NC=65°,由平行线的性质得出NCQE=N8=65°,再由三角形

的外角性质即可得出答案.

^AB=AC.ZC=65°,

:.ZB=ZC=65°,

•:DF〃AB,

:.ZCDE=ZB=65°,

AZFEC=ZCZ)E+ZC=65°+65°=130°.

2.(2020•南充)如图,在等腰△力8。中,8。为乙48c的平分线,NZ=36°,AB=AC=a,BC=b,则CO

=()

a+ba-b

A.1B.C.a-bD.b-a

22

【答案】C

【解析】根据等腰三角形的性质和判定得出8。=8。=力。,进而解答即可.

•.•在等腰△48C中,8。为NR8C的平分线,N4=36°,

AZABC=ZC=2ZABD=72°,

AZABD=36°=N4

:・BD=AD,

:./BDC=NA+NABD=T10=ZC,

:,BD=BC,

u:AB=AC=a,BC=b,

:.CD=AC-AD=a-b

3.(2020•徐州)如图,48是。。的弦,点。在过点8的切线上,OC_LO4OC交AB于点、P.若NBPC=

70°,则NZ3C的度数等于()

A

A.75°B.70°C.65°D.60°

【答案】B

【解析】先利用对顶角相等和互余得到NZ=20°,再利用等腰三角形的性质得到N。从l=/Z=20°,然

后根据切线的性质得到OBLBC,从而利用互余计算出N/8C的度数.

':OC±OA,:.ZAOC=90C,,

,:NAPO=NBPC=7Q°,AZA^90°-70°=20°,

":OA=OB,:.ZOBA=ZA=20),,

,.•8C为。。的切线,J.OBLBC,:.NOBC=90°,AZABC=90°-20°=70°.

4.已知等边三角形的边长为3,点P为等边三角形内任意一点,则点P到三边的距离之和为

()

A.返B.0返C.aD.不能确定

222

【答案】B

【解析】本题考查了等边三角形的性质,根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等

边三角形的高是解题的关键,作出图形更形象直观.

作出图形,根据等边三角形的性质求出高AH的长,再根据三角形的面积公式求出点P到

三边的距离之和等于高线的长度,从而得解.

D,

如图,•••等边三角形的边长为3,

高线AH=3X返=2^5.,

22

SA"C」B£>AH」AB・PD+LBC・PE+LJPF,

2222

J-X3・AH=Lx3・PD+Lx3・PE+Lx3・PF,

2222

,PD+PE+PF=AH=&fi,

2

即点p到三角形三边距离之和为3返.

2

5.(2019•浙江衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能

三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在。点相连并可绕。转动,C点固

定,OC=CD=DE,点、D,E可在槽中滑动,若NBDE=75°,则/CDE的度数是()

A.60°B.65°C.75°D.80°

【答案】D

【解析】考点是三角形内角和定理,三角形的外角性质,等腰上角形的性质。

<•,OC=CD=DE,

:.ZO=ZODC,NDCE=NDEC,

设NO=/OE>C=x,

:.ZDCE=ZDEC=2xf

・・・ZCDE=180°-ZDCE-ZDEC=180°-4x,

•:/BDE=W,

:.ZODC+ZCDE+ZBDE=180°,

BP大+180。・4%+75。=180。,

解得:x=25°,

ZCDE=180°-4x=80°.

6.(2019•湖南长沙)如图,我心/BC中,ZC=90°,Z5=30°,分别以点/和点8为圆心,大于?8的长

为半径作弧,两弧相交于M、N两点,作直线交BC于点、D,连接则NC4。的度数是()

A.20°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】在△48。中,;NB=30°,ZC=90°,

.,.N8/C=180°-ZB-ZC=60°,

由作图可知MN为AB的中垂线,

:.DA=DB,

:.NDAB=NB=3Q°,

:.ZCAD=ZBAC-NDAB=3Q°

二、填空题

7.(2020•台州)如图,等边三角形纸片N8C的边长为6,E,尸是边5c上的三等分点.分别过点£尸沿着

平行于84C4方向各剪一刀,则剪下的△OEF的周长是—.

【答案】6

【解析】根据三等分点的定义可求所的长,再根据等边三角形的判定与性质即可求解.

♦.•等边三角形纸片/8C的边长为6,E,尸是边BC上的三等分点,

:.EF=2,

■:DE//AB,DF//AC,

.•.△QEF是等边三角形,

二剪下的△£)£尸的周长是2X3=6.

8.(2020•牡丹江)如图,在RtzXXBC中,CA=CB,又是ZB的中点,点。在创/上,AEVCD,BFVCD,

垂足分别为E,F,连接则下列结论中:

①BF=CE;

②NAEM=NDEM;

(3)AE-CE=五ME;

④。冉/)/=2。序;

⑤若4E平分/8/C,则EF:BF=y/2:1;

⑥CF・DM=BM,DE,

正确的有.(只填序号)

【解析】①②③④⑤⑥.

【分析】证明△8CF丝△C4E,得到8F=CE,可判断①;再证明丝△CEM,从而判断为等

腰直角三角形,得至UE尸=近百%可判断③,同时得到NM£F=NMFK=45°,可判断②;再证明△。尸W

QXNEM,得到为等腰直角三角形,得到。N=&,DM,可判断④;根据角平分线的定义可逐步

EFEFEF\[2EM/—

推断出DE=EM,再证明得到DE=CE,则有——=—=——=--------=、2,从而判断

BFCEDEDE

…CMDM

⑤;最后证明△CZM/S/OE,得到——=——,结合aw=CA/,AE=CF,可判断⑥.

【解析】VZACB=90°,

;.NBCF+NACE=90°,

■:NBCF+NCBF=9Q°,

ZACE=ZCBF,

又,;NBFD=90°^ZAEC,AC=BC,

:./\BCF^^CAE(AAS),

:.BF=CE,故①正确;

由全等可得:AE=CF,BF=CE,

:.AE-CE=CF=CE=EF,

连接FM,CM,

:点M是18中点,

:.CM=^AB=BM=AM,CMLAB,

在△8。尸和△COW中,NBFD=NCMD,2BDF=2CDM,

:.ZDBF=ZDCM,

又BM=CM,BF=CE,

:.ABFM经△CEM{SAS),

:.FM=EM,ZBMF=ZCME,

,:NBMC=90°,

:.ZEMF=90°,即为等腰直角三角形,

:.EF=\[2EM=AE-CE,故③正确,NMEF=NMFE=45°,

VZAEC=90°,

;.NMEF=NAEM=45°,故②正确,

设AE与CM交于点、N,连接

VZDMF=ZNME,FM=EM,ZDFM=ZDEM=ZAEM=45°,

/\DFM^/\NEM(ASA),

:.DF=EN,DM=MN,

...△ZM/N为等腰直角三角形,

:.DN=y/2DM,而NDE4=90°,

DE2+DF2^DN2=2DM2,故④正确;

':AC^BC,NACB=90°,

AZCAB=45<:,

,.1E平分/8/C,

AZDAE=ZCAE=22.5°,ZADE=67.5

•;NDEM=45°,

AZEMD=67.5°,BPDE=EM9

•;AE=AE,NAED=NAEC,ZDAE=ZCAE,

:.△4DEq4ACE(ASA),

:.DE=CE,

•/AMEF为等腰直角三角形,

:.EF=®EM,

EFEFEF五EM

故⑤正确;

BF~CE~DE~DE

■:NCDM=NADE,NCMD=/AED=90°,

:•丛CDMSADE,

.CDCMDM

**AD~AE~DE'

■:BM=CM,AE=CF,

.BM_DM

•.=,

CFDE

:・CF*DM=BM,DE,故⑥正确。

B

9.如图所示,D是等边AABC的AC边上的中点,点E在BC的延长线上,DE=DB,4ABC的周长是9,则

ZE=°,CE=.

【答案】30;-

2

【解析】由aABC为等边三角形,且BD为边AC的中线,根据"三线合一”得到BD平分/ABC,而NABC

为60°,得到NDBE为30°,又因为DE=DB,根据等边对等角得到NE与NDBE相等,故/E也为30°;

由等边三角形的三边相等且周长为9,求出AC的长为3,且/ACB为60",根据/ACB为ADCE的外角,

根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和,求出/CDE也为30°,根据等角对等边得到CD=CE,

都等于边长AC的一半,从而求出CE的值

解:•••△ABC为等边三角形,D为AC边上的中点,

.••BD为NABC的平分线,且NABC=60。,

BPZDBE=30°,又DE=DB,

.*.ZE=ZDBE=30",

•.•等边^ABC的周长为9,.,.AC=3,且/ACB=60°,

AZCDE=ZACB-ZE=30°,即NCDE=NE,

.,•CD=CE=-AC=-.

22

10.(2019黑龙江绥化)如图,在4ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则NA=度.

【答案】16

【解析】VBD=AD,TSZA=ZABD=X,.\ZBDC=2X,VBD=BC,ZC=ZBDC=2X,VAB=AC,.,.ZABC=ZC

=2x,.*.x+2x+2x=180°,.\x=36°.

三、解答题

11.(2020•绍兴)问题:如图,在中,R4=8D在8。的延长线上取点E,C,作△/£C,使E4=£C.若

NB4E=90°,ZB=45°,求/。4c的度数.

答案:ND4c=45°.

思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“/8=45°”去掉,其余条件不变,那么乙D/C的度数会改变吗?

说明理由.

(2)如果把以上“问题”中的条件“N8=45°”去掉,再将“/BAE=90。”改为“/BAE=n°”,其余条

件不变,求NQ4C的度数.

【答案】见解析。

【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到/X£C=2NC,①求得ND/E=90°-/BAD=90°-(45°+ZC)

=45°-ZC,②由①,②即可得到结论;

(2)设,根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论.

【解析】(1)ND4c的度数不会改变:

,:EA=EC,

;.NAED=2NC,①

VZBAE=90°,

/.ZBAD=^[180°-(90°-2/。]=45°+NC,

:.ZDAE=90°-NB4D=90°-(45°+NC)=45°-ZC,@

由①,②得,ZDAC=ZDAE+ZCAE=45°;

(2)设,

则N840=1(18O。-m°)=90°-1/M°,ZJEB=180°-n°-tn,

AZDAE=n°-ABAD=n°-90°+1/n°,

,;EA=EC,

1ii

:.ZCAE=^^AEB=90°一如。--m°,

1

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论