2021年中考数学专题复习 专题18 等腰、等边三角形问题（教师版含解析）

专题18等腰、等边三角形问题

专题知识点概述

一、等腰三角形

1.定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶

角，底边和腰的夹角叫底角.

2.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）.

3.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据.

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等.

4.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴.

5.等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的

相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

二、等边三角形

1.定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.

2.性质

性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；

性质2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。

3.判定

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。

三、解题方法要领

1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在

等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其

定义和有关性质，快捷地证出结论。

2.常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问

题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。

3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边

或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。

【例题1】（2020•临沂）如图，在△A8C中，AB=AC,乙4=40°,CD//AB,则）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【解析】根据等腰三角形的性质可求N4C8,再根据平行线的性质可求N8CD

:在△/BC中，4B=AC,N/=40°,

：.ZACB=10",

'：CD//AB,

：.ZJC£>=180°-4=140°,

，NBCD=NACD-NACB=1Q°.

【对点练习】如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD,则下列结论正确

的是（）

A.AC>BCB.AC=BCC.ZA>ZABCD.ZA=ZABC

【答案】A

【解析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相

等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.根据等腰三角形的

两个底角相等，由AD=BD得到NA=NABD,所以NABONA,则对各C、D选项进行判断；

根据大边对大角可对A、B进行判断.

VAD=BD,

,ZA=ZABD,

/.ZABC>ZA,所以C选项和D选项错误；

AAOBC,所以A选项正确；B选项错误.

【例题2]（2020•宁波）AffOE和是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形

48c内.若求五边形DEC所的周长，则只需知道（）

D,

BGEC

A.△ABC的周长B.△/尸，的周长

C.四边形尸的周长D.四边形/DEC的周长

【答案】A

【解析】证明四△CHG(/4S),得出AF=CH.由题意可知BE=FH,则得出五边形DECHF的周长

=AB+BC,则可得出答案.

：△GF”为等边三角形，

：.FH=GH,NF”G=60°,

ZAHF+ZGHC=120°,

：△NBC为等边三角形，

：.AB=BC=AC,ZACB=ZA=6O°,

：.ZGHC+AHGC=\2O°,

NAHF=ZHGC,

：.XAFg△CHG(AAS),

：.AF=CH.

•；△BCE和△FG4是两个全等的等边三角形，

：.BE=FH,

：.五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+4F+BE+DF,

=(BD+DF+AF)+(CE+BE),

=AB+BC.

二只需知道△45C的周长即可.

【对点练习】如图所示，在等边三角形ABC的边BC、AC上分别取点D、E,使BD=CE,AD与BE相交于

点P,则/APE的度数为°.

【答案】60

【解析】根据BD=CE可得CD=AE,即可证明△ACD^Z\BAE,得NCAD=NABE,再根据内角和为180。的

性质即可解题。

VBD=CE,

.*.BC-BD=AC-CE,

即CD=AE,

'CD=AE

在4ACD与4BAE中，，NACD=NBAE,

AB=AC

.♦.△ACD丝△BAE(SAS),

.,.ZCAD=ZABE,

ZCAD+ZAPE+NAEB=180°,

NABE+/BAE+/AEB=180°,

ZAPE=ZBAE=60°

【例题3】(2020•台州)如图，已知AD=AE,8。和CE相交于点O.

(1)求证：△4BDg"CE；

⑵判断△8OC的形状，并说明理由.

A

【答案】见解析。

【分析】⑴由“SAS”可证△48。2△4CE；

(2)由全等三角形的性质可得N/87)=/ZCE,由等腰三角形的性质可得/Z5C=/4C8,可求N08C=N

OCB,可得BO=CO,即可得结论.

【解答】证明：(1)；48=/C,ZBAD=ZCAE,AD=AE,

：.△ABgAACE(SAS)；

(2)Z\8OC是等腰三角形，

理由如下：

LABD丝△ACE,

：.NABD=NACE,

'JAB^AC,

：.NABC=ZACB,

：./ABC-NABD=ZACB-NACE,

：./OBC=ZOCB,

：.BO=CO,

二△80。是等腰三角形.

【对点练习】如图，已知AC_LBC,BD±AD,AC与BD交于点0,AC=BD.求证:

D

O

A匕---------------------'B

(1)BC=AD；

(2)A0AB是等腰三角形.

【答案】见解析。

【解析】证明：(1)：AC_LBC,BD1AD,

/.ZD=ZC=90°.

AB=BA,

在RtZ\ACB和RtZXBDA中，\'

AC=BD,

.,.△ACB^ABDA(HL).

，BC=AD.

(2)由AACB^4BDA,得NCAB=/DBA,

...△OAB是等腰三角形.

【对点练习】已知：在AABC中，AB=AC,D为AC的中点，DE±AB,DF±BC,垂足分别为点E,F,

且DE=DF.求证：Z\ABC是等边三角形.

BAFC

【答案】见解析。

【解析】只要证明RtAADE^RtACDF,推出NA=/C,推出BA=BC,又AB=AC,即可推出AB=BC=AC；

证明：；DE_LAB,DF1BC,垂足分别为点E,F,

•,.ZAED=ZCFD=90°,

：D为AC的中点，

；.AD=DC,

在RtAADE和RtACDF中，

[AD=DC

IDE=DF'

ARtAADE^RtACDF,

.*.ZA=ZC,

ABA=BC,VAB=AC,

.♦.AB=BC=AC,

/.△ABC是等边三角形.

【对点练习】如图，AABC中，AB=AC,ZA=36°,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足，连接EC.

⑴求NECD的度数；（2）若CE=5,求BC长.

【答案】（D/ECD的度数是36°；

（2）BC长是5.

【解析】（1）：DE垂直平分AC

；.CE=AE,

ZECD=ZA=36°

(2)VAB=AC,ZA=36°，

：.ZB=ZACB=72°,

/.ZBEC=ZA+ZECD=72°,

.\ZBEC=ZB,

:.BC=EC=5.

一、选择题

1.（2020•聊城）如图，在△45C中，AB=AC,NC=65°,点。是8c边上任意一点，过点。作。尸〃力8

交4C于点£则/短C的度数是（）

A.120°B.130°C.145°D.150°

【答案】B

【解析】由等腰三角形的性质得出N8=NC=65°,由平行线的性质得出NCQE=N8=65°,再由三角形

的外角性质即可得出答案.

^AB=AC.ZC=65°,

：.ZB=ZC=65°,

•:DF〃AB,

：.ZCDE=ZB=65°,

AZFEC=ZCZ)E+ZC=65°+65°=130°.

2.（2020•南充）如图，在等腰△力8。中，8。为乙48c的平分线，NZ=36°,AB=AC=a,BC=b,则CO

=()

a+ba-b

A.1B.C.a-bD.b-a

22

【答案】C

【解析】根据等腰三角形的性质和判定得出8。=8。=力。，进而解答即可.

•.•在等腰△48C中，8。为NR8C的平分线，N4=36°,

AZABC=ZC=2ZABD=72°,

AZABD=36°=N4

:・BD=AD,

:./BDC=NA+NABD=T10=ZC,

:,BD=BC,

u：AB=AC=a,BC=b,

：.CD=AC-AD=a-b

3.（2020•徐州）如图，48是。。的弦，点。在过点8的切线上，OC_LO4OC交AB于点、P.若NBPC=

70°,则NZ3C的度数等于（）

A

A.75°B.70°C.65°D.60°

【答案】B

【解析】先利用对顶角相等和互余得到NZ=20°,再利用等腰三角形的性质得到N。从l=/Z=20°,然

后根据切线的性质得到OBLBC,从而利用互余计算出N/8C的度数.

'：OC±OA,：.ZAOC=90C，,

,:NAPO=NBPC=7Q°,AZA^90°-70°=20°,

"：OA=OB,：.ZOBA=ZA=20),,

,.•8C为。。的切线，J.OBLBC,：.NOBC=90°,AZABC=90°-20°=70°.

4.已知等边三角形的边长为3,点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为

()

A.返B.0返C.aD.不能确定

222

【答案】B

【解析】本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等

边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观.

作出图形，根据等边三角形的性质求出高AH的长，再根据三角形的面积公式求出点P到

三边的距离之和等于高线的长度，从而得解.

D,

如图，•••等边三角形的边长为3,

高线AH=3X返=2^5.,

22

SA"C」B£>AH」AB・PD+LBC・PE+LJPF,

2222

J-X3・AH=Lx3・PD+Lx3・PE+Lx3・PF,

2222

,PD+PE+PF=AH=&fi,

2

即点p到三角形三边距离之和为3返.

2

5.（2019•浙江衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能

三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在。点相连并可绕。转动，C点固

定，OC=CD=DE,点、D,E可在槽中滑动，若NBDE=75°,则/CDE的度数是（）

A.60°B.65°C.75°D.80°

【答案】D

【解析】考点是三角形内角和定理,三角形的外角性质，等腰上角形的性质。

<•,OC=CD=DE,

：.ZO=ZODC,NDCE=NDEC,

设NO=/OE>C=x,

:.ZDCE=ZDEC=2xf

・・・ZCDE=180°-ZDCE-ZDEC=180°-4x,

•:/BDE=W,

：.ZODC+ZCDE+ZBDE=180°,

BP大+180。・4%+75。=180。,

解得:x=25°,

ZCDE=180°-4x=80°.

6.（2019•湖南长沙）如图，我心/BC中，ZC=90°,Z5=30°,分别以点/和点8为圆心，大于?8的长

为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交BC于点、D,连接则NC4。的度数是（）

A.20°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】在△48。中，；NB=30°,ZC=90°,

.,.N8/C=180°-ZB-ZC=60°,

由作图可知MN为AB的中垂线，

：.DA=DB,

:.NDAB=NB=3Q°,

：.ZCAD=ZBAC-NDAB=3Q°

二、填空题

7.（2020•台州）如图，等边三角形纸片N8C的边长为6,E,尸是边5c上的三等分点.分别过点£尸沿着

平行于84C4方向各剪一刀，则剪下的△OEF的周长是—.

【答案】6

【解析】根据三等分点的定义可求所的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解.

♦.•等边三角形纸片/8C的边长为6,E,尸是边BC上的三等分点，

:.EF=2,

■:DE//AB,DF//AC,

.•.△QEF是等边三角形，

二剪下的△£）£尸的周长是2X3=6.

8.（2020•牡丹江）如图，在RtzXXBC中，CA=CB,又是ZB的中点，点。在创/上，AEVCD,BFVCD,

垂足分别为E,F,连接则下列结论中：

①BF=CE；

②NAEM=NDEM；

（3）AE-CE=五ME；

④。冉/）/=2。序；

⑤若4E平分/8/C,则EF：BF=y/2：1；

⑥CF・DM=BM,DE,

正确的有.（只填序号）

【解析】①②③④⑤⑥.

【分析】证明△8CF丝△C4E,得到8F=CE,可判断①；再证明丝△CEM,从而判断为等

腰直角三角形，得至UE尸=近百%可判断③，同时得到NM£F=NMFK=45°,可判断②；再证明△。尸W

QXNEM,得到为等腰直角三角形，得到。N=&,DM,可判断④；根据角平分线的定义可逐步

EFEFEF\[2EM/—

推断出DE=EM,再证明得到DE=CE,则有——=—=——=--------=、2,从而判断

BFCEDEDE

…CMDM

⑤；最后证明△CZM/S/OE,得到——=——，结合aw=CA/,AE=CF,可判断⑥.

【解析】VZACB=90°,

；.NBCF+NACE=90°,

■:NBCF+NCBF=9Q°,

ZACE=ZCBF,

又,；NBFD=90°^ZAEC,AC=BC,

：./\BCF^^CAE(AAS),

：.BF=CE,故①正确；

由全等可得：AE=CF,BF=CE,

：.AE-CE=CF=CE=EF,

连接FM,CM,

:点M是18中点,

：.CM=^AB=BM=AM,CMLAB,

在△8。尸和△COW中，NBFD=NCMD,2BDF=2CDM,

：.ZDBF=ZDCM,

又BM=CM,BF=CE,

：.ABFM经△CEM{SAS),

：.FM=EM,ZBMF=ZCME,

,:NBMC=90°,

：.ZEMF=90°,即为等腰直角三角形，

：.EF=\[2EM=AE-CE,故③正确，NMEF=NMFE=45°,

VZAEC=90°,

；.NMEF=NAEM=45°,故②正确，

设AE与CM交于点、N,连接

VZDMF=ZNME,FM=EM,ZDFM=ZDEM=ZAEM=45°,

/\DFM^/\NEM(ASA),

：.DF=EN,DM=MN,

...△ZM/N为等腰直角三角形，

：.DN=y/2DM,而NDE4=90°,

DE2+DF2^DN2=2DM2,故④正确；

'：AC^BC,NACB=90°,

AZCAB=45<:,

,.1E平分/8/C,

AZDAE=ZCAE=22.5°,ZADE=67.5

•；NDEM=45°,

AZEMD=67.5°，BPDE=EM9

•；AE=AE,NAED=NAEC,ZDAE=ZCAE,

：.△4DEq4ACE(ASA),

:.DE=CE,

•/AMEF为等腰直角三角形,

：.EF=®EM,

EFEFEF五EM

故⑤正确;

BF~CE~DE~DE

■:NCDM=NADE,NCMD=/AED=90°,

:•丛CDMSADE,

.CDCMDM

**AD~AE~DE'

■:BM=CM,AE=CF,

.BM_DM

•.=,

CFDE

:・CF*DM=BM,DE,故⑥正确。

B

9.如图所示，D是等边AABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB,4ABC的周长是9,则

ZE=°,CE=.

【答案】30；-

2

【解析】由aABC为等边三角形，且BD为边AC的中线，根据"三线合一”得到BD平分/ABC,而NABC

为60°,得到NDBE为30°,又因为DE=DB,根据等边对等角得到NE与NDBE相等，故/E也为30°；

由等边三角形的三边相等且周长为9,求出AC的长为3,且/ACB为60",根据/ACB为ADCE的外角，

根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出/CDE也为30°,根据等角对等边得到CD=CE,

都等于边长AC的一半，从而求出CE的值

解：•••△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，

.••BD为NABC的平分线,且NABC=60。,

BPZDBE=30°,又DE=DB,

.*.ZE=ZDBE=30",

•.•等边^ABC的周长为9,.,.AC=3,且/ACB=60°,

AZCDE=ZACB-ZE=30°,即NCDE=NE,

.,•CD=CE=-AC=-.

22

10.（2019黑龙江绥化）如图，在4ABC中,AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD,则NA=度.

【答案】16

【解析】VBD=AD,TSZA=ZABD=X,.\ZBDC=2X,VBD=BC,ZC=ZBDC=2X,VAB=AC,.,.ZABC=ZC

=2x,.*.x+2x+2x=180°,.\x=36°.

三、解答题

11.（2020•绍兴）问题：如图，在中，R4=8D在8。的延长线上取点E,C,作△/£C，使E4=£C.若

NB4E=90°,ZB=45°,求/。4c的度数.

答案：ND4c=45°.

思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“/8=45°”去掉，其余条件不变，那么乙D/C的度数会改变吗？

说明理由.

（2）如果把以上“问题”中的条件“N8=45°”去掉，再将“/BAE=90。”改为“/BAE=n°”,其余条

件不变，求NQ4C的度数.

【答案】见解析。

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到/X£C=2NC,①求得ND/E=90°-/BAD=90°-（45°+ZC）

=45°-ZC,②由①，②即可得到结论；

（2）设,根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论.

【解析】（1）ND4c的度数不会改变:

,:EA=EC,

；.NAED=2NC,①

VZBAE=90°,

/.ZBAD=^[180°-(90°-2/。]=45°+NC,

：.ZDAE=90°-NB4D=90°-(45°+NC)=45°-ZC,@

由①，②得，ZDAC=ZDAE+ZCAE=45°；

(2)设,

则N840=1(18O。-m°)=90°-1/M°,ZJEB=180°-n°-tn,

AZDAE=n°-ABAD=n°-90°+1/n°,

,；EA=EC,

1ii

：.ZCAE=^^AEB=90°一如。--m°,

1