2021人教A版数学选择性必修第二册第四章数列（基础）单元测试（含解析）

第四章数列单元检测（基础）

注：本检测满分150分。其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题一、单选题

1.已知数列J5，2，20，4,--则160是这个数列的（）

A.第8项B.第9项C.第10项D.第11项

2.记等差数列｛为｝的前〃项和为s“，若%=2,5a4=8。6,则$20=（）

A.180B.-18()C.162D.-162

在数列｛《,｝中，4=g,1

>20=（）

3.。“=1--—(/?>2,neN+),贝ij。

a3-1

A.B.

2

C.D.2

4.等比数列｛q｝的前〃项和为若。”>0,q>l,/+%=20,〃2。6=64,则S5=()

A.48B.36c.42D.31

r、r,、cS”7n+2%+出0

5.两等差数列｛%｝和也｝，前"项和分别为S“，T„,且^=-则M短的值为（）

〃+）"7+%

149791651

A.B.—C.D.—

~2414T10

6.等比数列｛4,｝中（）

A.若4<a2,则见<。5B.若4<。2，则。3<。4

a

c.若§3>邑，则4V2D.若S3>邑，则q>a2

7.函数/（幻=百a112兀-852工-百的正数零点从小到大构成数列｛%｝,则%=（）

13%57―17万7万

A.B.-----C.------D.—

4126

7t2万2018万

8.已知函数/(尤)=cosx+ln-^L,若/++/

71-x201920192019

1009（a+0）ln;r（a>0,〃>0）,则的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

二、多选题

9.无穷数列｛4｝的前"项和S“=a/+加+c,其中。，b,c为实数，则（）

A.｛4｝可能为等差数列

B.｛4｝可能为等比数列

C.｛4｝中一定存在连续三项构成等差数列

D.｛4｝中一定存在连续三项构成等比数列

10.数列｛4｝的前"项和为S,,,若q=1,a,,.=2S“（〃eN*）,则有（）

A.S“=3"TB.｛S.｝为等比数列

,fl,〃=1,

C.a=2-3〃一D.a2

n〃12・3〃-2,n>2

1L设｛6,｝是等差数列，S”是其前〃项的和，且Ss<S6,S6=S7>S8,则下列结论正确的是（）

A.d>0B.。7=0

c.S9>S5D.§6与S7均为S“的最大值

12.将/个数排成〃行〃列的一个数阵，如图：该数阵第一列的"个数从上到下构成以根为公差的

等差数列，每一行的"个数从左到右构成以根为公比的等比数列（其中相>0）.已知au=2,03=

“61+1，记这层个数的和为S.下列结论正确的有（）

由《2卬3……a\n

aa

a2l%23.........2n

%a32。33..........a3n

an\an2/3……ann

A.m—3B.=17x37

c.%=（3，一1）X3HD.S=；”（3〃+l）（3"—l）

2

三、填空题

13.已知数列｛4｝的通项公式是=2〃—46,那么S“达到最小值时”为.

14.我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例

如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有

9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是.

15.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展

将数列1,4进行“扩展”，第一次得到数列1,4,4；第二次得到数列1,4,4,16,4；……；第〃

次得到数列1,士，*2，…，为，4,并记a”=log2(l"|-x,-4),其中f=2"-l，nsN*.

则｛an｝的通项a„=.

16.如图，互不相同的点A，4，4，和4，与，，纥，分别在角。的两条边上，所有4纥相

互平行，且所有梯形as纥,AM的面积均相等.设。4=4.若%=1,%=2,则数列｛«„｝的通项

公式是.

四、解答题

17.在①巴"=一5，②。“+|-。“=一'，③。“+1=。“+〃一8这三个条件中任选一个，补充在下面

an26

的问题中，若问题中的5,存在最大值，则求出最大值；若问题中的5“不存在最大值，请说明理由.

问题：设s“是数列｛%｝的前〃项和，且4=4,,求｛%｝的通项公式，并判断S,,是否

存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.数列｛4｝的前〃项和S,,=100〃—〃2+3(〃eN*).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵设bn=\a,\,求数列｛%｝的前〃项和T„.

4

n+l

19.已知数列｛4｝满足q=2,an+i=2an+2.

（1）证明：数列为等差数列；

a111

（2）设包=力，证明：T~r+T~r+'"+T~i—<

2"她2b也3姐用

20.设｛q｝是公比大于1的等比数列，4+4+%=14,且4+1是4,的等差中项•

（1）求数列｛为｝的通项公式;

（2）若瓦=a“log2（g），求数列｛2｝的前“项和

31

2

21.已知数列｛2｝的前〃项和为S“2--2-

(1)求数列也｝的通项公式；

(2)数列2=[lga.],[可表示不超过X的最大整数，求也｝的前1000项和几00・

6

22.已知｛4｝为等差数列，也｝为等比数列，q=4=1,%=5（%—%），仇=4（。4一々）・

（I）求｛4｝和也｝的通项公式;

(II)记｛4｝的前n项和为sn,求证：SnSn+2<S,\(〃eN*)；

（初一2泡,〃为奇数，

（III）对任意的正整数〃，设44+2求数列｛%｝的前2”项和.

色，〃为偶数.

第四章数列单元检测A解析版

学校:姓名：班级：考号：

注：本检测满分150分。其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。

一、单选题

1.已知数列、反，2，2戊，4,“.，则16正是这个数列的（）

A.第8项B.第9项C.第10项D.第11项

【答案】B

【解析】

【分析】

将数列中的每一项都写成（0）",即可判断16&是第几项.

【详解】

可将数列改写为3，（、历],（应产,（伪4,…,

由此可归纳该数列的通项公式为q,=（、£）",

又16&=（&）力则其为该数列的第9项.

故选：B.

【点睛】

本题考查了由数列的前几项归纳出其通项公式，属于基础题.

2.记等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若%=2,为一%4=8。6,则$20=（）

A.180B.-180C.162D.-162

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用等差数列的通项公式，求出等这数列的首项和公差，再根据前〃项和公式即可求出s20.

【详解】

=2,—2。4=8。6，

+4d=2

q+d—2q—6d=8q+40d

4+4d=2

解得《JC。

4+d—2q-6d=8&]+40d

8

d=-2,q=10,

\%)=1。+19?(2)=-28,

(a,+―)•20

・2。=一＞=-180.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质和前八项和公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题.

,、1,1

3.在数列｛&“｝中，＜?(=-,an-1----("22,«eN),则。2020=()

2an-\+

1

A.—B.1

2

C.-1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案.

【详解】

a,=1——=1—2=-1,%=1——=1+1=2,%=1——=1---=-,

4a2«322

可得数列｛4｝是以3为周期的周期数列，

.__L

-4()20—%x673+l=4=/•

故选：A.

【点睛】

本题考查数列的周期性，关键是通过递推式求出前几项观察出周期，是基础题.

4.等比数列｛%｝的前“项和为S,,若a“〉0,q＞\,%+%=20,a2a6=m，则怎=()

A.48B.36C.42D.31

【答案】D

【解析】

【分析】

根据44=64,利用等比数列的性质得到%%=64,结合％+%=20,利用根与系数的关系构造

二次方程求解得到4，%的值，进而得到等比数列的首项和公比，然后利用求和公式计算即得所求.

【详解】

64

由于在等比数列｛4｝中，由a2a6=64可得：03a$=a2a6=，

又因为%+的=20,

所以有:%，的是方程一一20%+64=0的二实根，乂4>0a>1,所以《<仁，

故解得:%=4,%=16,从而公比4==2,q=冬=1,

V%q-

25-1

那么S5----=31,

2-1

故选：D.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，等比数列的求和，属中档题.

s7〃+2a,+a,n

.两等差数列｛4｝和｛a｝,前〃项和分别为S“，T“，且干=k贝号的值为（）

149791651

卜.----B.—c.—D.—

2414510

【答案】A

【解析】

【分析】

在｛4｝为等差数列中，当"+"=。+式相，〃，P,“€乂）时，ani+an=ap+aq.所以结合此性

质可得：%:+九二寸的，再根据题意得到答案•

【详解】

解：在｛。“｝为等差数列中，当“+〃=。+4（机，n,p,qeN+）时，+a„=ap+ai/.

z.+a21x(«,+a2,)x

所以詈M=----------多号

为十九21x(^+b2l)x-0

S7〃+2

又因为黄n=----

T„〃+3

0,+。%)149

所以7"［六=后•

"+九24

10

故选：A.

【点睛】

本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题.

6.等比数列｛4｝中（）

A.若。[〈外，则。4<。5B.若《<02，则。3<。4

C.若S3>S2，则4<。2D.若53>§2，则”]>。2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的公比分析即可求出答案.

【详解】

等比数列｛4｝中，q2>0,

.,.当4<%时，可得q/v/q。及4<%，故B正确；

但g=6<?3和%=々/不能判断大小（/正负不确定），故A错误；

当邑>S2时，则4+。2+。3>4+。2，可得。3>0，即4g2>0,可得q>0,

由于g不确定，不能确定4,4的大小，故CD错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.

7.函数/（x）二=65由2尤-8$2%-君的正数零点从小到大构成数列｛4,｝,则。3=（）

13万54177r7)

A.---B.--C.---D.--

124126

【答案】B

【解析】

【分析】

先将函数化简为了（X）=2sin2x-J-6，再解函数零点得x=至+左乃或》=五+女》，ZeZ,

V6J412

再求。3即可•

【详解】

解：*.*/（x）=>/3sin2x-cos2x->/3=2sin^2x-^-j-^3

：•令/（x）=。得：2x=9+2左;r或2%—2="^+24万，keZ,

71.“5乃.

X=——FZ%或X=----YK7t,kwZ'

412

TT5457r

A正数零点从小到大构成数列为：6=:,凡==,生=多，

4-124

故选：B.

【点睛】

本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.

8.已知函数小）—急，若/（息）+/（懿卜+/（需卜

1009（a+Z?）ln;r（a>0,。〉。），则'+J■的最小值为（）

ab

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解析】

【分析】

根据/（%）+/（乃-x）=2hvr,采用倒序相加的方法可得S=20181n〃，从而得到a+0=2,根

据基本不等式求得最小值.

【详解】

由题可知：/(%)+=cosx+ln—^-+cos(»-x)+ln^^~~—=ln^-2=21n^-

人?0-^/1万20119/^/1220万19)/+，/12021081乃9)J

PC/20184)/2017%)」万、

又2019J+^l2019J+

了是有2s=21n;r+21n;rH----n21n万=2x20181n万=S=20181n〃

因此a+h=2

▼111(11)/1a

所以—l—=——I—(a+b)=—2d1—>(2+2)=2

ab21ab)K，2(ba)2

当且仅当。=力=1时取等号

本题正确选项：A

12

【点睛】

本题考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和的最小值问题.关键是能够通过函数的规律求得。

与。的和，从而能够构造出基本不等式的形式.

二、多选题

9.无穷数列｛。“｝的前〃项和S“=a〃2+而+c,其中a,b,c为实数，则()

A.可能为等差数列

B.｛2｝可能为等比数列

C.｛%｝中一定存在连续三项构成等差数列

D.｛2｝中一定存在连续三项构成等比数列

【答案】AC

【解析】

【分析】

由=a/?+b〃+c可求得an的表达式，利用定义判定得出答案.

【详解】

当扑=1时，4=S]=a+Z?+c.

2

当〃22时，an—Sn—Sn_1=即+〃〃+c—a(〃一l)"—Z?(n—l)-c=2an—a+b.

当〃=1时'，上式=Q+8.

所以若｛4｝是等差数列，则a+)=a+b+c；.c=O.

所以当c=0时，｛《,｝是等差数列，不可能是等比数列；当cwO时，｛4｝从第二项开始是等差数列.

故选：AC

【点睛】

本题只要考查等差数列前〃项和S,,与通项公式a,,的关系，利用S“求通项公式，属于基础题.

10.数列｛叫的前〃项和为s“，若q=1,a.+1=2S“(〃eN*),则有()

A.S“=3"iB.{S,,}为等比数列

1,n-\,

C.«„=2-3"-'D，""一［2-3『“22

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据a”,S”的关系，求得结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析,

即可判断选择.

【详解】

由题意，数列｛4,｝的前〃项和满足=2S,(〃wN*),

当〃22时，an=2S„_1,

两式相减,可得%+】一%=2(S〃-S“T)=2a",

可得%+1=3%,即予，=3,(〃22),

又由％=1,当"=1时，4=2S]=24=2,所以亍■=2,

1,〃=1

所以数列的通项公式为c；

"12-3n-2n>2

当〃22时，S=4=小一=3'1,

"22

又由〃=1时，H=q=l,适合上式，

所以数列的｛«„｝的前〃项和为S”=3"-'；

S3〃,

又由e'===3,所以数列｛"｝为公比为3的等比数列，

S"3

综上可得选项AB,D是正确的.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查利用a”,S”关系求数列的通项公式，以及等比数例的证明和判断，属综合基础题.

11.设｛4｝是等差数列，S“是其前”项的和，且Ss<S6,$6=57>58，则下列结论正确的是()

A.d>0B.=0

C.S9>S5D.S6与4均为S”的最大值

【答案】BD

14

【解析】

【分析】

设等差数列｛《,｝的公差为d,依次分析选项即可求解.

【详解】

根据题意，设等差数列｛4｝的公差为d,依次分析选项：

｛4｝是等差数列，若$6=S,，则S7-S6=%=。，故B正确；

又由$5<$6得S6-S5=4>0,则有4=%-4<0,故A错误；

而C选项，Sg>s5,即。6+%+。8+“9>0，可得2（%+4）>0，

又由%=o且d<o,则/<0,必有%+6<o,显然c选项是错误的.

VS5<s6,S6=S7〉S8，,S6与S7均为S,的最大值，故。正确;

故选：BD.

【点睛】

本题考查了等差数列以及前〃项和的性质，需熟记公式，属于基础题.

12.将〃2个数排成〃行〃列的一个数阵，如图：该数阵第一列的〃个数从上到下构成以，”为公差

的等差数列，每一行的"个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中,〃>0）.已知au=2,a”

=。6什1,记这层个数的和为S.下列结论正确的有（）

a\]a\2413a\n

a2\a22a23............。2n

a31032033............。3n

an\an2an3..................^nn

7

A.m=3B.a61=17x3

c.a..=（3z-l）x3y-'D.S=；〃（3〃+l）（3”—l）

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据第一列成等差，第一行成等比可求出63，41，列式即可求出加，从而求出通项4-，

再按照分组求和法，每一行求和可得S,由此可以判断各选项的真假.

【详解】

解得加=3或m=一,(舍去),

V«||=2,03=461+1,；.2加2=2+5m+l

2

・“=a”i=[2+(z-1)Xm]•夕i=(3z-1)•旷

/.6767=17X36,

；・S=(〃11+。12+。13+....+〃1”)+(。21+〃22+423+.....+。2〃)+.....+(〃〃1+。〃2+4〃3+.....+。〃〃)

_^,(1-39%(1-3〃)。川(1一3)〃

=1-3+1-3++1-3

1,(2+3n-l)n

——(3"-1),-------------------

22

=L?(3〃+1)(3"-1)

4

故选：ACD.

【点睛】

本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前“项

和公式的应用，属于中档题.

三、填空题

13.已知数列｛q｝的通项公式是%=2〃-46,那么S“达到最小值时”为.

【答案】22或23.

【解析】

【分析】

利用数列的单调性求得满足题意的n即可.

【详解】

%=2〃-46,.♦.数列｛4｝是递增数列.

a=2〃-46<0

令〈八.,.解得：22W/W23，,〃=22或〃=23,

an+]=2(/?+1)-46>0

则可知S“达到最小值时〃为22或23.

故答案为：22或23.

【点睛】

本题考查等差数列前n项和最值的求法，属于基础题.

14.我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例

如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有

16

9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是

【答案】405

【解析】

【详解】

【分析】

前9圈的石板数依次组成一个首项为9,公差为9的等差数列，59=9X9+^X9=405

2

15.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.

将数列1,4进行“扩展”，第一次得到数列1,4,4；第二次得到数列1,4,4,16,4；……；第〃

次得到数列1,再，工2，…，毛，%并记为=log2（lf•马•其中，=2"-1,〃eN*.

则｛«„｝的通项an=.

【答案】3"+1

【解析】

【分析】

先由a”=log2（lw•%,-4）,结合题意得到。“+|=3%-2,再设a,+i+f=3（。“+。求出

「=一1，得到数列｛七—1｝是首项为3,公比为3的等比数列，进而可求出结果.

【详解】

由题意，根据4=log2（lw*・为，4）,可得

4什1=log2（l<lW）W'（玉f-4）-4）

y333A3

•A1,,X-4

=log1=3%—2,

设〃”+i+，=3(a〃+f)，即%+]=3a〃+2f，可得」=—1,

则数列是首项为6(,-1=log24.1=3,公比为3的等比数列，

故。"一1=3",所以。“=3"+l,〃eN+.

故答案为：3"+1.

【点睛】

本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的性质以及通项公式即可，属于常考题型.

16.如图，互不相同的点A，4,A“，和片,分，纥，分别在角。的两条边上，所有A”纥相

互平行，且所有梯形4丹瓦+小用的面积均相等.设=%.若q=1,%=2,则数列｛«„｝的通项

公式是.

【答案】a,,=j3〃-2

【解析】

【分析】

根据三角形相似和所有梯形4纥纥+iA,+i的面积均相等，找到与an相关的递推公式，再由递推公式

求得通项公式.

【详解】

由于4田纥+J/4纥，所以用纥MOAnB,„

梯形AnBnBn+iA,l+l的面积为△。4,源纥+1的面积减去△QA“纥的面积，

S04乌__名

SoAjBja：

则可得吮一a；=a；-a，即递推公式为2a：=a；l+i+a；,_｝,

故｛4：｝为等差数列，且公差d=%?=3,

故a；=1+(〃-1)x3=3〃-2,得a“=J3/1-2

18

故答案为：氏=，3〃—2

【点睛】

本题主要考查数列在平面几何中的应用，根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键，属于中

档题.

四、解答题

17.在①^②”“+1-凡=-2，③4+1+〃-8这三个条件中任选一个，补充在下面

an26

的问题中，若问题中的5"存在最大值，则求出最大值；若问题中的s〃不存在最大值，请说明理由.

问题：设s“是数列｛4｝的前〃项和，且4=4,,求｛4｝的通项公式，并判断S,,是否

存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】

若选①，求出数列｛q｝是首项为4,公比为的等比数列，求出通项公式和前〃项和，通过讨论〃

的奇偶性，求出其最大值即可；

若选②，求出数列｛4｝是首项为4,公差为一)的等差数列，求出通项公式和前〃项和，求出其最

大值即可;

“2_|7；j+24

若选③，求出凡~,“1〃216时，/>0,故S“不存在最大值.

【详解】

解：选①

因为岁=一；，4=4'所以｛4｝是首项为4.公比为一;的等比数列，

1-2

所—(1Y-+(S1V-

当〃为奇数时，c_LI」一811

因为随着〃的增加而减少，所以此时s“的最大值为E=4.

当”为偶数时，

且S“=—|1----<—<4

"312"3

综上，S,存在最大值，且最大值为4.

选②

因为。向一。"=一'，4=4.所以｛。,,｝是首项为4,公差为一!的等差数列,

66

所以4=4+（〃-1）（一!）=

V6/66

195

由—〃+—之0得〃W25，

66

所以S〃存在最大值.且最大值为S25（或S24）,

25x24

因为S25=25x4+------X=50,所以S,的最大值为50.

2

选③

因为4+1=《,+〃_8,所以a.=〃_8,

所以4—4=—7,ay—a2——6,•••an—an_x=n—9,

(—7+〃一9)(〃—1)H2-17H+16

则a“—q=a,—4+6—a,++a„-%=---------------=------------

〃2一17〃+24

又q=4,所以an-

2

当〃N16时,4>0,

故S“不存在最大值.

【点睛】

此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题

18.数列｛4｝的前〃项和S,=100n-n2+3（nGN*）.

⑴求数列｛q｝的通项公式;

20

⑵设bn=|«„|,求数列｛2｝的前”项和Tn.

102(〃=1)f-n2+100/7+3(n<50)

【答案】⑴miI(、⑵4=彳2,

101-2zz(zi>2)["-1O]On/n1+5OO3(n>51)

【解析】

【分析】

⑴当〃=1时，4=102,利用an=Sn-S,i得到通项公式，验证/得到答案.

(2)根据｛«,,｝的正负将和分为两种情况，〃W5()和〃251,分别计算得到答案.

【详解】

(1)当〃=]时，4=5j=100-1+3=102,

当〃22时，=S”—S〃_]=100〃——100(/?—1)—(〃—1)=101—2〃.

102(〃=1)

综上所述4=*2〃

(〃-2)

(2)当〃W50时，bn=an,所以

Tn=q+a2+%+…+=3+99+97+95+…+101-2〃

"99+101—2”),、

=3+—----------^=3+〃(100-〃)，

当“251时，bn=-an,

Tn=4+a2+。3+…+%0-%I-%2----an

=24-(«1+a2+ai-\--F«„_]+an)

2

=5006-3-/i(100-n)=n-100/1+5003.

f-/?2+100/?+3(n<50)

综上所述7；=2

In-1i0n0n/1+5003(般之51)

【点睛】

本题考查了利用%=S,-S“T求通项公式，数列的绝对值和，忽略〃=1时的情况是容易犯的错误.

+,

19.已知数列｛4｝满足4=2,an+l=2a„+2".

(1)证明：数列[会｝为等差数列；

«111

(2)设证明：—+7T+"'+7^<1

2"她2b力§b„bn+l

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）由％+|=24+2向变形得：得=崇+1,可得证明.

a1111

（2）由（1）知：b"=十=*:.二==1一------;，用裂项相消可求和,从而可证明.

”2b也7+n〃+]

【详解】

（1）由。,用=2。“+2.变形得：翳=祟+1

又q=2,故」=1

2

，数列（墨｝是以1为首项1为公差的等差数列.

(2)由(1)知：h=^=n

2"

11_1_1

々九M〃(〃+1)〃〃+】

<1

〃+1

111<1

.・.---------1-----------1—•4------------

她她"%

【点睛】

本题考查根据数列的递推公式证明数列为等差数列，考查用裂项相消法求和，属于基础题.

20.设｛4｝是公比大于1的等比数列，4+4+%=14,且4+1是%，%的等差中项•

（1）求数列｛%｝的通项公式;

（2）若a=4,1。82（；]，求数列｛"｝的前，，项和T”.

【答案】（1）。，=2"；（2）7；,=（l-n）-2n+l-2.

22

【解析】

【分析】

(1)设等比数列｛4｝的公比为q(q>l),根据题中条件列出方程组，求出首项和公比，即可得出

通项公式；

(2)先由(1)得到a=-〃-2",再由错位相减法，即可得出结果.

【详解】

(1)设等比数列｛4｝的公比为夕(4>1).

依题意，有2(%+l)=q+4,

将4+%=2(4+1)代入4+4+/=14得2(4+1)+%=14,

得4=4.

+%+%=14a]+aq+qq2二14

联立《

%=4a\Q-

两式两边相除消去生得27-5q+2=0,

解得4=2或q=g(舍去)，

4

所以q=—=2,

2

所以，%=%/T=2X2〃T=2〃，

（2）因为〃=%10g]£|=-n-T

所以，-7；=1x2+2x22+3x2,++〃x2”①

-27；,=1X22+2X23+3X24++（八一1）x2"+〃x2向②

①一②，得4=2+22+23++2"-nx2"+]

=2（＞2）—〃x2，川=2'山一n-2,,+1-2-

1-2

所以，数列也｝的前〃项和7；=2"+,-n-2n+,-2.

【点睛】

本题主要考查求等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和，涉及等差中项的应用，属于常

考题型.

31

2

21.已知数列｛a,｝的前n项和为Sn=-n--n.

(1)求数列｛可｝的通项公式；

(2)数列d=[1g(],[可表示不超过x的最大整数，求也｝的前1000项和工。。。.

【答案】(1)。“=3〃一2；(2)10Go=2631.

【解析】

【分析】

(1)利用4=S“-S,i可求出；

(2)根据数列特点采用分组求和法求解.

【详解】

(1)当"=1时，4=£=1,

2

当“22时，an=Sn-Sn^=j(n-l)=3n-2,

将〃=1代入上式验证显然适合，所以q=3〃-2.

(2)因为4=1°，%4=100，%34=1000，“3334=1^00,

0,1<H<3

1,4<»<33

所以"=<

2,34<n<333

3,334<«<1000

所以工ooo=0x3+1x30+2x300+3x667=2631

【点睛】

本题考查。,和S”的关系，考查分组求和法，属于基础题.

22.已知｛《,｝为等差数列，也｝为等比数列，4=4=1,生=5(%—4)，仇=4色一打)•

(I)求｛4｝和也｝的通项公式；

(n)记｛4｝的前«项和为s“，求证：snsn+2<s2(〃eN*)；