七年级数学上册第二单元《整式加减》-解答题专项知识点(含答案)

一、解答题1．父母带着孩子（一家三口）去旅游，甲旅行社报价大人为a元，小孩为元；乙旅行社报价大人、小孩均为a元，但三人都按报价的90%收费，则乙旅行社收费比甲旅行社贵多少元？（结果用含a的代数式表示）解析：乙旅行社收费比甲旅行社贵0.2a元．【分析】根据题意分别表示出甲乙两旅行社的费用，相减即可得到结果．【详解】根据题意得：（a+a+a）×90%-（a+a+a）=2.7a-2.5a=0.2a（元），则乙旅行社收费比甲旅行社贵0.2a元．【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．已知，.(1)求.(2)若，，且，求的值.解析：(1)；(2)114或99.【分析】（1）把，代入计算即可；（2）根据，，且求出x和y的值，然后代入（1）中化简的结果计算即可.【详解】解：(1)；(2)由题意可知：，，∴或1，，由于，∴，或，.当，时，.当，时，.所以，的值为114或99.【点睛】本题考查了整式的加减运算，绝对值的意义，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握整式的加减运算法则是解（1）的关键，分类讨论是解（2）的关键.3．如图，将面积为的小正方形和面积为的大正方形放在同一水平面上（）（1）用a、b表示阴影部分的面积；（2）计算当，时，阴影部分的面积．解析：（1）；（2）【分析】（1）阴影部分为两个直角三角形，根据面积公式即可计算得到答案；（2）将，代入求值即可.【详解】（1），；（2）当，时，原式.【点睛】此题考察列式计算，根据图形边长正确列式表示图形的面积即可.4．某商店出售一种商品，其原价为元，现有如下两种调价方案：一种是先提价，在此基础上又降价；另一种是先降价，在此基础上又提价.（1）用这两种方案调价的结果是否一样？调价后的结果是不是都恢复了原价？（2）两种调价方案改为：一种是先提价，在此基础上又降价；另一种是先降价，在此基础上又提价，这时结果怎样？（3）你能总结出什么规律吗？解析：（1）这两种方案调价的结果一样，都没有恢复原价；（2）这两种方案调价的结果一样，都没有恢复原价；（3）在原价基础上，先提价百分之多少，在此基础上再降价同样的百分数，与先降价百分之多少，再提价同样的百分数，最后结果一样，但都没有恢复原价..【分析】（1）先提价10%为110m%，再降价10%后价钱为99m%；先降价10%为90m%，再提价10%后价钱为99m%，据此可得答案；（2）先提价20%为120%m，再降价20%后价钱为96%m；先降价20%为80%m，再提价20%后价钱为96%m，据此可得答案；（3）根据（1）（2）的结果得出规律即可．【详解】解：（1）方案一：先提价价钱为，再降价后价钱为；方案二：先降价价钱为，再提价后价钱为，故这两种方案调价的结果一样，都没有恢复原价；（2）方案一：先提价价钱为，再降价后价钱为；方案二：先降价价钱为，再提价后价钱为，故这两种方案调价的结果一样，都没有恢复原价；（3）在原价基础上，先提价百分之多少，在此基础上再降价同样的百分数，与先降价百分之多少，再提价同样的百分数，最后结果一样，但都没有恢复原价.【点睛】本题考查了列代数式的知识，解题的关键是能够表示出降价或涨价后的量，难度不大．5．求多项式的值，其中，.解析：，-2.【分析】原式合并同类项后代入字母的值计算即可．【详解】解：原式，当，时，原式.【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确的将原式合并同类项是解决此题的关键．6．已知在数轴上的位置如图所示，解答下列问题．（1）化简：；（2）若a的绝对值的相反数是的倒数是它本身，，求的值．解析：（1）；（2）-9【分析】（1）由数轴上的位置，先判断，再根据绝对值的意义进行化简，即可得到答案．（2）由绝对值的意义，倒数的定义，平方根的定义，先求出a、b、c的值，再代入计算，即可得到答案．【详解】解：（1）由数轴可得：，∴，∴原式．（2）由题意，∵若a的绝对值的相反数是的倒数是它本身，，∴，∴．【点睛】本题考查了数轴的定义，绝对值的意义，倒数的定义，平方根的定义等知识，解题的关键是利用数轴正确判断，从而进行解题．7．观察由“※”组成的图案和算式，解答问题（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19=；（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）=；（3）请用上述计算103+105+107+…+2015+2017的值．解析：（1）102；（2）；（3）1015480．【分析】（1）由等式可知左边是连续奇数的和，右边是数的个数的平方，由此规律解答即可，此题中一共有10个连续奇数相加，所以结果应为102；（2）一共有(n+2)个连续奇数相加，所以结果应为n2；（3）让从1加到2005这些连续奇数的和，减去从1加到101这些连续奇数的和即可．【详解】（1）由图片知：第1个图案所代表的算式为：1=；第2个图案所代表的算式为：1+3=4=；第3个图案所代表的算式为：1+3+5=9=；…依次类推：第n个图案所代表的算式为：1+3+5+…+（2n-1）=；1+3+5+…+19的个数为：，∴1+3+5+…+19=；故答案为：；（2）1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）的个数为：，∴1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）=，故答案为：；（3）103+105+107+…+2015+2017=（1+3+…+2015+2017）-（1+3+…+99+101）=-=1015480．【点睛】本题考查了数字的变化规律的应用；判断出有几个奇数相加是解决本题的易错点；得到从1开始连续奇数的和的规律是解决本题的关键．8．用代数式表示：某厂的产量每年增长15%，如果第一年的产量是a，那么第二年的产量是多少？解析：15a【分析】设第一年的产量为a，以15%的速度增长，表示在m的基础上增长a的15%．【详解】解：根据题意，得设第一年的产量为a，以15%的速度增长，∴第二年的产量为a（1＋15%）＝1.15a．【点睛】本题考查了列代数式，解答本题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．9．将一个长方形纸片连续对折，对折的次数越多，折痕的条数也就越多，如第一次对折后，有1条折痕，第2次对折后，共有3条折痕．(1)第3次对折后共有多少条折痕？第4次对折后呢？(2)对折多少次后折痕会超过100条？(3)请找出折痕条数与对折次数的对应规律，写出对折n次后，折痕有多少条？解析：（1）第3次对折后共有7条折痕，第4次对折后有15条折痕；（2）对折7次后折痕会超过100条；（3）对折n次后，折痕有条．【分析】（1）动手操作即可得出第3次、第4次对折后的折痕条数；（2）在（1）的基础上，归纳类推出一般规律，再结合即可得出答案；（3）由题（2）已求得．【详解】（1）动手操作可知，第3次对折后的折痕条数为7条，第4次对折后的折痕条数为15条；（2）观察可知，第1次对折后的折痕条数为条，第2次对折后的折痕条数为条，第3次对折后的折痕条数为条，第4次对折后的折痕条数为条，归纳类推得：第n次对折后的折痕条数为条，因为，所以对折7次后折痕会超过100条；（3）由（2）已得：对折n次后的折痕条数为条．【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，依据题意，根据前4次对折后的结果，正确归纳类推出一般规律是解题关键．10．某学生在写作业时，不慎将一滴墨水滴在了数轴上，如下图所示，而此时他要化简并求代数式的值.结果同学告诉他：的值是墨迹遮盖住的最大整数，的值是墨迹遮盖住的最小整数.请你帮助这位同学化简并求值.解析：，【分析】先把原式进行化简，得到最简代数式，结合的值是墨迹遮盖住的最大整数，的值是墨迹遮盖住的最小整数，得到x、y的值，然后代入计算，即可得到答案.【详解】解：===；∵被盖住的数，∴的值是墨迹遮盖住的最大整数，∴，∵的值是墨迹遮盖住的最小整数，∴，∴原式=.【点睛】本题考查了整式的化简求值，以及利用数轴比较有理数的大小，解题的关键是正确求出x、y的值，以及掌握整式的混合运算.11．数学课上，老师出示了这样一道题目:“当时，求多项式的值”．解完这道题后，张恒同学指出:“是多余的条件”师生讨论后，一致认为这种说法是正确的，老师及时给予表扬，同学们对张恒同学敢于提出自己的见解投去了赞赏的目光．（1）请你说明正确的理由；（2）受此启发，老师又出示了一道题目,“无论取任何值，多项式的值都不变，求系数、的值”．请你解决这个问题．解析：（1）见解析；（2），.【分析】（1）将原式进行合并同类项，然后进一步证明即可；（2）将原式进行合并同类项，根据“无论取任何值，多项式值不变”进一步求解即可.【详解】（1）==，∴该多项式的值与、的取值无关，∴是多余的条件.（2）==∵无论取任何值，多项式值不变，∴，，∴，.【点睛】本题主要考查了多项式运算中的无关类问题，熟练掌握相关方法是解题关键.12．已知多项式（1）把这个多项式按的降冥重新排列；（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常规项．解析：（1）；（2）该多项式的次数为4，二次项是，常数项是．【分析】（1）按照x的指数从大到小的顺序把各项重新排列即可；（2）根据多项式的次数的定义找出次数最高的项即是该多项式的次数，再找出次数是2的项和不含字母的项即可得二次项和常数项．【详解】（1）按的降幂排列为原式．（2）∵中次数最高的项是-5x4，∴该多项式的次数为4，它的二次项是，常数项是．【点睛】本题考查多项式的定义，正确掌握多项式次数及各项的判定方法及多项式升幂、降幂排列方法是解题关键．13．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，中间是边长为（a+b）米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部分进行绿化，（1）绿化的面积是多少平方米？（用含字母a、b的式子表示）（2）求出当a＝20，b＝12时的绿化面积．解析：（1）（5a2+3ab）平方米；（2）2720平方米【分析】(1)根据割补法,用含有a,b的式子表示出整个长方形的面积,然后用含有a,b的式子表示出中间空白处正方形的面积,然后两者相减,即可求出绿化部分的面积.(2)将a＝20，b＝12分别代入(1)问中求出的关系式即可解决.【详解】解：（1）（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+3ab+2ab+b2﹣（a2+2ab+b2）＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝5a2+3ab，答：绿化的面积是（5a2+3ab）平方米；（2）当a＝20，b＝12时5a2+3ab＝5×202+3×20×12＝2000+720＝2720，答：当a＝20，b＝12时的绿化面积是2720平方米．【点睛】(1)本题考查了割补法,多项式乘多项式和完全平方式的运算法则,解决本题的关键是正确理解题意,能够熟练掌握多项式乘多项式的运算法则.(2)本题考查了整式的化简求值,解决本题的关键是熟练掌握整式的运算法则和步骤.14．给定一列分式：，，，，…（其中）.（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式和第8个分式.解析：（1）任意一个分式除以前面一个分式，都得.（2）第7个分式为，第8个分式为.【分析】（1）分别算出第二个与第一个，第三个与第二个，第四个与第三个分式的除法结果，即可发现规律；（2）根据题中所给的式子找出分子、分母的指数变化规律、再找出符号的正负交替变化规律，根据规律写出所求的式子.【详解】解：（1），，，……∴任意一个分式除以前面一个分式，都得.（2）∵由式子…，发现分母上是y1，y2，y3，y4，……所以第7个式子分母上是y7，第8个分母上是y8；分子上是x3，x5，x7，x9，……所以第7个式子分子上是x15，第8个分子上是x17，再观察符号发现，第偶数个为负，第奇数个为正，∴第7个分式为，第8个分式为.【点睛】本题考查式子的规律，根据题意分别找出分子和分母及符号的变化规律是解答此题的关键.15．观察下列单项式：﹣x，2x2，﹣3x3，…，﹣9x9，10x10，…从中我们可以发现：（1）系数的规律有两条：系数的符号规律是系数的绝对值规律是（2）次数的规律是（3）根据上面的归纳，可以猜想出第n个单项式是．解析：（1）奇数项为负，偶数项为正；与自然数序号相同；（2）与自然数序号相同；（3）【分析】通过观察题意可得：奇数项的系数为负，偶数项的系数为正，且系数的绝对值与自然数序号相同，次数也与与自然数序号相同．由此可解出本题．【详解】（1）奇数项为负，偶数项为正，与自然数序号相同；（2）与自然数序号相同；（3）．【点睛】本题考查了单项式的有关概念．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．16．已知A=3a2b﹣2ab2+abc，小明同学错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果为4a2b﹣3ab2+4abc．(1)计算B的表达式；(2)求出2A﹣B的结果；(3)小强同学说(2)中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a=，b=，求(2)中式子的值．解析：（1）﹣2a2b+ab2+2abc；（2）8a2b﹣5ab2；（3）对，0．【分析】（1）根据B＝4a2b﹣3ab2+4abc－2A列出关系式，去括号合并即可得到B；（2）把A与B代入2A-B中，去括号合并即可得到结果；（3）把a与b的值代入计算即可求出值．【详解】解：（1）∵2A＋B＝4a2b﹣3ab2+4abc，∴B＝4a2b﹣3ab2+4abc－2A＝4a2b－3ab2＋4abc－2(3a2b－2ab2＋abc)＝4a2b－3ab2＋4abc－6a2b＋4ab2－2abc＝－2a2b＋ab2＋2abc；（2）2A－B＝2(3a2b－2ab2＋abc)－(－2a2b＋ab2＋2abc)＝6a2b－4ab2＋2abc＋2a2b－ab2－2abc＝8a2b－5ab2；（3）对，由（2）化简的结果可知与c无关，将a＝，b＝代入，得8a2b－5ab2＝8××－5××＝0．【点睛】本题考查了整式的加减，整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并同类项．17．已知a+b＝2，ab＝2，求的值．解析：4【分析】根据因式分解，首先将整式提取公因式，在采用完全平方公式合,在代入计算即可.【详解】解：原式＝a3b+a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，∵a+b＝2，ab＝2，∴原式＝×2×4＝4．【点睛】本题主要考查因式分解的代数计算，关键在于整式的因式分解.18．已知多项式﹣3x2+mx+nx2﹣x+3的值与x无关，求（2m﹣n）2017的值．解析：-1【分析】先把多项式进行合并同类项得（n-3）x2+（m-1）x+3，由于关于字母x的二次多项式-3x2+mx+nx2-x+3的值与x无关，即不含x的项，所以n-3=0，m-1=0，然后解出m、n，代入计算（2m-n）2017的值即可．【详解】合并同类项得（n﹣3）x2+（m﹣1）x+3，根据题意得n﹣3=0，m﹣1=0，解得m=1，n=3，所以（2m﹣n）2017=（﹣1）2017=﹣1．【点睛】考查了多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．19．观察下列单项式：，，，，…，，…写出第个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路．这组单项式的系数的符号，绝对值规律是什么？这组单项式的次数的规律是什么？根据上面的归纳，你可以猜想出第个单项式是什么？请你根据猜想，请写出第个，第个单项式．解析：（或：负号正号依次出现；），（或：从开始的连续奇数）；从开始的连续自然数；第个单项式是：；个单项式是；第个单项式是．【分析】(1)根据已知数据得出单项式的系数的符号规律和系数的绝对值规律；(2)根据已知数据次数得出变化规律；(3)根据(1)和(2)中数据规律得出即可；(4)利用(3)中所求即可得出答案.【详解】数字为，，，，，，…，为奇数且奇次项为负数，可得规律：；故单项式的系数的符号是：（或：负号正号依次出现；），绝对值规律是：（或：从开始的连续奇数）；字母因数为：，，，，，，…，可得规律：，这组单项式的次数的规律是从开始的连续自然数．第个单项式是：．把、直接代入解析式即可得到：第个单项式是；第个单项式是．【点睛】此题主要考查了数字变化规律，得出次数与系数的变化规律是解题关键.20．若1+2+3+…+n=m，求（abn）•（a2bn﹣1）…（an﹣1b2）•（anb）的值．解析：ambm【解析】试题分析：根据单项式的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加的性质，（abn）•（a2bn﹣1）…（an﹣1b2）•（anb）=a1+2+…nbn+n﹣1+…+1=ambm．解：∵1+2+3+…+n=m，∴（abn）•（a2bn﹣1）…（an﹣1b2）•（anb），=a1+2+…nbn+n﹣1+…+1，=ambm考点：单项式乘单项式；同底数幂的乘法．点评：本题考查单项式的乘法法则和同底数幂的乘法的性质．21．已知，求的值.解析：-24.【分析】首先根据绝对值的非负性求出x，y，然后代入代数式求值.【详解】解：∵，∴x+2=0，y-3=0，∴x=－2，y=3，∴.【点睛】本题考查了代数式求值，利用非负数的和为零得出x、y的值是解题关键．22．已知，且，求代数式．解析：【分析】将A代入A-B=x3+1中计算即可求出B．【详解】解：∵A-B=x3+1，且A=-2x3+2x+3，∴B=A-（x3+1）=-2x3+2x+3-x3-1=-3x3+2x+2．【点睛】本题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解题的关键．23．先化简，再求值：，其中，．解析：【解析】试题分析：原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．试题原式当时,原式24．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式：①1＝12；②1＋3＝22；③1＋3＋5＝32；④_____________；⑤_____________；….(2)通过猜想写出与第n个点阵图相对应的等式．解析：(1)1＋3＋5＋7＝42；1＋3＋5＋7＋9＝52；(2)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.【分析】根据图示和数据可知规律是：等式左边是连续的奇数和，等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方，据此进行解答即可.【详解】(1)由图①知黑点个数为1个，由图②知在图①的基础上增加3个，由图③知在图②基础上增加5个，则可推知图④应为在图③基础上增加7个即有1＋3＋5＋7＝42，图⑤应为1＋3＋5＋7＋9＝52，故答案为④1＋3＋5＋7＝42；⑤1＋3＋5＋7＋9＝52；(2)由(1)中推理可知第n个图形黑点个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，解答此类问题的关键是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．25．设A=2x2+x，B=kx2-（3x2-x+1）.（1）当x=-1时，求A的值；（2）小明认为不论k取何值，A-B的值都无法确定.小红认为k可以找到适当的数，使代数式A-B的值是常数.你认为谁的说法正确？请说明理由.解析：（1）A=1；（2）小红的说法正确，理由见解析.【解析】试题分析：（1）把x=-1代入A进行计算即可得；（2）先计算出A-B，根据结题即可得.试题（1）当x=-1时，A=2x2+x=2×（-1）2+（-1）=2-1=1；（2）小红的说法正确，理由如下：A-B=（2x2+x）-[kx2-(3x2-x+1)]=（5-k）x2+1，所以当k=5时，A-B=1，所以小红的说法是正确的.26．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A，B是数轴上的点，请参照下图并思考，完成下列各题．（1）如果点A表示数-3，将A点向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是，A，B两点间的距离为．（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是，A，B两点间的距离为．（3）如果点A表示数，将A点向右移动168个单位长度，再向左移动256个单位长度，那么终点B表示的数是，A，B两点间的距离是．（4）一般地，如果A点表示数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动P个单位长度，那么，请你猜想终点B表示什么数？A，B两点间的距离为多少？解析：(1)4，7；(2)1，2；(3)-92，88；(4)m+n-p，|n-p|【分析】(1)根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数为-3+7=4，根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；(2)根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数3-7+5=1，根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；(3)根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数-4+168-256=-92，根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；(4)按照(1)(2)(3)中的方法讨论更加一般的情况即可求解．【详解】解：(1)∵点A表示数-3，∴将A点向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是-3+7=4，A，B两点间的距离为4-(-3)=7，故答案为：4，7；(2)∵点A表示数3，∴将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是3-7+5=1，A，B两点间的距离为3-1=2，故答案为：1，2；(3)∵点A表示数-4，将A点向右移动168个单位长度，再向左移动256个单位长度，那么终点B表示的数是-4+168-256=-92，A，B两点间的距离是-4-(-92)=88，故答案为：-92，88；(4)∵A点表示的数为m，∴将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么点B表示的数为m+n-p，A，B两点间的距离为|m-(m+n-p)|=|n-p|．故答案为：m+n-p，|n-p|．【点睛】本题考查的是数轴上点的平移规律及数轴上两点之间的距离公式，点在数轴上平移遵循“左减右加”原则；注意数轴上两点之间的距离为大数减小数，当不确定谁大谁小时记得加绝对值符号；正确利用数形结合分析是解题