2024-2025学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2不等式2.2.1第2课时不等式的证明学案含解析新人教B版必修第一册

PAGE第2课时不等式的证明内容标准学科素养1.驾驭综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能用综合法、分析法证明简洁问题．逻辑推理数学抽象2.能正确区分综合法和分析法的推理特点，敏捷选用恰当的方法证明问题．3.了解反证法的定义，驾驭反证法的推理特点．驾驭反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简洁的命题.授课提示：对应学生用书第27页[教材提炼]学问点一综合法综合法是从已知条件动身，综合利用各种结果，经过逐步推导最终得到结论的方法．学问点二反证法反证法是首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到冲突，最终得出假设不成立．学问点三分析法分析法的实质就是不断找寻结论成立的充分条件．[自主检测]1．分析法证明问题是从所证命题的结论动身，寻求使这个结论成立的()A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：分析法证明是从所证命题的结论动身，寻求使结论成立的充分条件．答案：A2．实数a，b，c不全为0等价于()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0解析：不全为0即至少有一个不为0，故选D.答案：D3．在不等式“a2＋b2≥2ab”的证明中：因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0所以a2＋b2≥2ab，该证明运用的方法是________．解析：由因导果，易知该证法为综合法．答案：综合法授课提示：对应学生用书第27页探究一综合法[例1](1)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－ac<e－bc；(2)若bc－ad≥0，bd>0.求证：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).[证明](1)∵a>b，c>0，∴ac>bc，∴－ac<－bc.∵f<e，∴f－ac<e－bc.(2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∵bd>0，∴eq\f(a,b)≤eq\f(c,d)，∴eq\f(a,b)＋1≤eq\f(c,d)＋1，∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).综合法处理问题的三个步骤已知x＋y＋z＝m.求证x2＋y2＋z2≥eq\f(m2,3).证明：∵x＋y＋z＝m，∴(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝m2.又∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，z2＋x2≥2xz，∴2(x2＋y2＋z2)≥2(xy＋yz＋zx)，即x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋zx，∴m2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)≤3(x2＋y2＋z2)．∴x2＋y2＋z2≥eq\f(m2,3).探究二反证法[例2]已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．[证明]假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1冲突，所以a，b，c，d中至少有一个是负数．反证法证明问题的一般步骤若x>0，y>0，且x＋y>2，求证eq\f(1＋y,x)与eq\f(1＋x,y)至少有一个小于2.证明：假设eq\f(1＋y,x)与eq\f(1＋x,y)都不小于2，即eq\f(1＋y,x)≥2，eq\f(1＋x,y)≥2.∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)．∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2冲突．∴假设不成立，原命题成立．故eq\f(1＋y,x)与eq\f(1＋x,y)至少有一个小于2.探究三分析法[例3]已知a>b>0，求证eq\f(a－b2,8a)<eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)<eq\f(a－b2,8b).[证明]要证eq\f(a－b2,8a)<eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)<eq\f(a－b2,8b)，只需证eq\f(a－b2,8a)<eq\f(\r(a)－\r(b)2,2)<eq\f(a－b2,8b).∵a>b>0，∴同时除以eq\f(\r(a)－\r(b)2,2)，得eq\f(\r(a)＋\r(b)2,4a)<1<eq\f(\r(a)＋\r(b)2,4b)，同时开方，得eq\f(\r(a)＋\r(b),2\r(a))<1<eq\f(\r(a)＋\r(b),2\r(b))，只需证eq\r(a)＋eq\r(b)<2eq\r(a)，且eq\r(a)＋eq\r(b)>2eq\r(b)，即证eq\r(b)<eq\r(a)，即证b<a.∵a>b>0，∴原不等式成立，即eq\f(a－b2,8a)<eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)<eq\f(a－b2,8b).1.分析法证明不等式的思维是从要证的不等式动身，逐步寻求使它成立的充分条件，最终得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不行少，否则会出现错误.已知a>0，b>0，求证eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).证明：要证eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，只需证eq\f(\r(a)3＋\r(b)3,\r(ab))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，只需证(eq\r(a))3＋(eq\r(b))3≥aeq\r(b)＋beq\r(a)，只需证(eq\r(a))3＋(eq\r(b))3－aeq\r(b)－beq\r(a)≥0，即