2020-2021学年人教A版（2019）高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷三（人教A版（2019））解析版

2020-2021学年高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷三

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.如图，AOWB'是水平放置的ACMB的直观图，O'A=O'B'=2,NAO'8'=45。，则AQW的面积是

（）

B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】由斜二测画法可知，AOAB的实物图如下图所示:

可知。4=4,OB=2,且NAO3=90"，因此，AOAB的面积为2x4=4.故选：C.

2

2.已知复数z=l+i（i为虚数单位），若方=三，则。+6。2。=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【解析】复数z=l+i,所以“+瓦=三=1一i，可得。=l,b=-1,

所以4+〃°2。=1+（_］严2。=2,故选：。

3.在AABC中，及5=2DC,通=丽，则南=（）

1—.5一

A.-AC--ABB.—A.CH—AB

3636

1一1一

C.--AC+-ABD.——AC——AB

3636

【答案】A

【解析】如图所示:

因为荏=防，1H5=2DC,

所以=

T丽+1国一利，

1一5一

=-AC--AB,故选：A

36

4.某兴趣小组有3名男生和2名女生，现从中选2人参加公益活动，则至少选中一名女生的概率为（）

1C3C7r9

A.—B.—C.—D.—

10101010

【答案】C

【解析】由题知从此兴趣小组中任选2人参加公益活动共有10个结果，至少选中一名女生有7个结果，所

7

以至少选中一名女生的概率为正.故选：C

5.已知平面和直线/,则下列说法正确的是（）

A.若/〃&,/〃力，则a//月B.若则a//4

C.若则al_/7D.若/J_a,/_!_£,则aJ■广

【答案】c

【解析】对于A选项，若/〃a,/〃尸，则a///?或相交，故A选项不正确；

对于B选项，若///a,/u£,则a//月或相交，故B选项不正确；

对于C选项，若/_LQ,/U/7,则为面面垂直的判定定理，故C选项正确;

对于D选项，若•?，则a///,故D选项不正确.故选：C.

6.设4为实数，已知向量而=(一1,2),3=(1,4).若石,7,则向量质+25与苏之间的夹角为()

7t兀34

A.—B.—C.----D.—

4334

【答案】A

【解析】由题意由正_Ll,可得-1+22=0,解得4=3，所以乃=(l,g),则庆+2元=(1,3),所以

__(m+2〃)•加—lxl+2x3V2_弓__「八]-〜।j门一c一

cos<m+2n,m>-r------匕-r=——(=—7^~=——，因为vm+2/z,m>e0,%，所以向量〃z+2〃

忸+2司•阿V10-V52L」

—•TT

与加之间的夹角为一，故选：A.

4

7.在A43c中，角A所对应的边分别为a*,c,已知bcosC+ccosB=»,则@=()

h

A.273B.2C.y/2D.1

【答案】B

bc

【解析】由正弦定理：——=——=2R,又》cosC+ccosB=»

sinBsinC

得到sin3cosc+sinCeosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB

在AABC中，A+B+C^TT

故sin(〃一A)=2sin3,即sin4=2sin3

asinA.，…

故一=-----=2故选：B

bsinB

8.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥P-ABCZ)为

阳马，底面ABC。为矩形，PA_L平面ABC。，AB=2,AD=4,二面角尸一3C-A为60°,则四棱

锥P-ABCD的外接球的表面积为()

64

A.16乃B.20万C.—nD.32n

3

【答案】D

【解析】因为PA_L平面A3CZ).底面ABCO为矩形，

所以抬_LBC，AB1BC,所以8C_L平面B钻，

所以BCLPB,所以NP84即为二面角尸一BC-A的平面角，即ZPB4=60,

所以PA=ABTan60=26，

将该四棱锥补成一个长、宽、高分别为4、2、26的长方体，如图,

该长方体外接球的半径「=’4z+2、（2⑹=,

~2~

所以该球的衣面积S=47/=4%x（2&）=32开，

所以四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为32万.故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某人退休前后各类支出情况如下，己知退休前工资收入为8000元/月，退休后每月储蓄的金额比退休前每

月储蓄的金额少1500元，则下面说法正确的是（）

A.此人退休前每月储蓄支出2400元

B.此人退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍

C.此人退休工资收入为6000元/月

D.此人退休后的其他支出比退休前的其他支出少

【答案】ACD

【解析】由图可知此人退休前储蓄为8000X0.30=2400（JG）,故选项A正确；此人退休前的旅行支出为8000

X0.05=400（ic）,退休后的收入为240°-1500=600。（元）,退休后的旅行支出为6000X0.15=900（元），

0.15

则选项B错误，选项C正确；退休后的其他支出为6000X0.25=1500（元），退休前的其他支出为8000X

0.2=1600（%）,则选项D正确；故选：ACD.

10.对于AA8C,有如下命题，其中正确的有（）

A.若sin2A=sin2B,则AABC为等腰三角形

B.若sinA=cosB,则AABC为直角三角形

C.若si^A+siVB+cos2c<1，则AA6C为钝角三角形

D.若AB=G，AC=1,3=30°,则AABC的面积为立或立

42

【答案】CD

【解析】对于A：•.•sin2A=sin26,.•.ZAuZB或2A+2B=»,

TT

；.A=3或A+B=—,所以AA5c为等腰三角形或直角三角形，故A错误；

2

JF1T

对于B：・.,sinA=cos5,，A=8+—或4=B,所以ZkABC不一定是直角三角形，故B错误；

22

对于C-.-sin2A4-sin2B+cos2C<1，sin2A+sin2B<1-cos2C=sin2C，

/序_2

由正弦定理得又cosC=^—-~—<0,所以角C为钝角，所以△A6C为钝角三角形，

2ab

故C正确：

对于D：•：AB=BAC=1，3=30°,sinC=Sing=—，又AB>AC,

AC2

二。=60°或120，.•.A=90°或30°，.,.SA4M=，A8AC-sinA=^或且，故D正确.

ABC224

故选：CD

11.如图所示，在长方体ABC。一44G2,若AB=BC,E、尸分别是AB1、8G的中点，则下列结

论中成立的是（）

A.E尸与垂直B.EE工平面BDRBI

C.EF与G。所成的角为45。D.跖〃平面A与G。

【答案】ABD

对于A选项，：BB,1平面4181GA，4Gu平面，；•BB]±AG,

•.E、尸分别为43、BQ的中点，则EF//4G，.•.Ef'LBq,A选项正确:

对于B选项，•.•四边形4与GQ为正方形，则AC

又4G,84，BRcBB[=B-；.AG-L平面BDD}B],

•••Ef7/AG，二所，平面BDD隹，B选项正确；

对于C选项，易知AAC。为等边三角形，则NAC。=60、

•：EF"AC\,则所与CQ所成的角为NAG。=60：,C选项错误；

对于D选项，•••EFHA.C,,Ef平面AAGQ,4。1<=平面44。°「，£尸〃平面4月。1。1，D选

项正确.故选：ABD.

12.引入平面向量之间的一种新运算"㊁"如下：对任意的向量；7=(再,乂)，n=(x2,y2),规定

m®n-xxx-,-y}y2,则对于任意的向量£,h>c>下列说法正确的有()

A.a®b-b®aB.=Z(a0S)

C.a-(b0c)=(a®b)-cD.\a\-\h\>\a®b\

【答案】ABD

【解析】A.因为。区)石=玉工2—乂斗石区^二七西一必凶，所以£(8)B=B区£，故正确；

B.因为(京(2坂=(石)％2-(犯)%=九卬27]%)=电③矶故正确;

C.a•伍位。)=(”3-必力)4,(。加”=(平2—X%)。，此时a,仅区c)=(a丽)-c不恒成立，故错

误；

D.因为忖.|可一=(jx；+y2•&+£)"2g+y2y；+x；y；+Ey2,

\a®b^=片考+y：y；-2xlx2yly2.

所以。3|.|臼)-\a®b『=++2%々乂%=(石％+々X『之。,

所以(|五|向『一|£加|七0,且沦()，|£瓯2(),所以|入|沦|£的，故正确，

故选:ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知。为整数，复数z=(l-i)(a-i),复数z在复平面内对应的点在第三象限，则忖=.

【答案】0

【解析】复数(1一i)(a_i)=a_l_(a+l)i,

a—1<0

若复数在复平面内对应的点在第三象限，则〈z八八，解得一1<。<1,

又。为整数，则a=()，z=(l-«)(-z)=-l-z,|z|=V2o故答案为：加

14.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形

内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为

【答案】2K

【解析】由题意，某中螺帽是由一个半径为R=2的半球体挖去一个正三棱锥P-ABC构成的几何体,

该正三棱锥P-ABC的底面三角形ABC内接于半球底面的大圆，顶点P在半球面上，

设BC的中点为D,连结AD,过点P作POJ_平面ABC,交AD于点0,

则A0=P0=R=2,AD=3,AB=BC=28,

所以%8c=gx2百x3=3百，

所以挖去的正三棱锥的体积为=括x2=2g

15.已知AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若，_=二包，A46c的面积S=6,则4=

cosAsinB

;a的最小值为.

【答案】y2

【解析】因为，—=二包，由正弦定理可得坐A=走吧g=6,即tanA=G，

cosAsinBcosAsinB

71

又由A£（0,4）,所以A二一,

3

又因为S=」%sinA=JL即!儿”走=百，解得bc=4,

222

兀

由余弦定理可得a?=b2+c2-2bccos—=b2+c2-bc>2bc-bc=bc=4,

3

当且仅当人=c=2时等号成立，

所以。2之4,所以a»2.故答案为：2.

16.已知点P在边长为4的等边三角形A8C内，满足而=/1而+〃/，且2/1+3〃=1,延长AP交边8c

于点D,若BD=2DC,则丽・丽的值为.

【答案】一三9

4

【解析】4P，。共线，不妨令赤=3m而，又丽=2反，

.・・丽+丽=—2通+2/即通=!而+,正,

又-^―AP=AD，.二AP-mAB+2mAC=AAB+uAC,

3m

1

A--

11

〃=248

--

因此＜=<184

2Z+3//=1-

〃-

4

_______7___1___

则丽=而—/=一丽一一AC,故

84

—­—■1一1—.7—•1一

PA-PB=-(-AB+-ACy(,-AB——AC)

8484

7--23------1―-2731199

=4—AB+—ABAC一一AC]=—--xl6-—xl6x-+—xl6=--.故答案为：一二

641616641621644

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在复平面内，复数z=/-a—2+(。2一3。—4)i(其中awA).

(1)若复数z为实数，求〃的值；

(2)若复数z为纯虚数，求〃的值；

(3)对应的点在第四象限，求实数。的取值范围.

【答案】(1)。=一1或4；(2)a=2；(3)(2,4)

【解析】(1)因为复数z为实数，所以下一3。一4=()，

所以。=一1或4；

a2-a-2=0

(2)因为复数z为纯虚数，所以＜

cT—3。-4w0

所以a=2

a2-a-2>Q

(3)因为z对应的点在第四象限，所以《

a2-3a—4<0

解不等式组得，2<a<4,

即。的取值范围是(2,4).

18.已知弓,02是平面内两个不共线的非零向量，A&=2^+02,屁=-q+丸02，石。=一24+02，且A,E,

C三点共线.

(1)求实数入的值；

(2)若q=(2,1)/=(2,-2),求胫的坐标；

(3)已知。(3,5),在(2)的条件下，若A,8,C,Q四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.

3

【答案】(1)/=--；(2)(-7,-2)；(3)(10,7).

【解析】(1)AE=AB+BE=(2q+e,)+(―弓++(1+.

因为A,E,C三点共线，

所以存在实数k,使得彳后=4沅,

即q+(1+A)e2=k^—2ei+^2),得(l+2A)q=(/r—1—.

因为H是平面内两个不共线的非零向量，

1+2%=0解得左=-_1,入=一3

所以《

1—4=022

(2)+EC=-3^-1e；'=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).

(3)因为A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以标=元.

设4(x,y),则AD=(3—x,5—y),

3—x=—7x=10

因为蔗=(-7,—2),所以'-一.解得<

[5-x=-2y=7

即点4的坐标为(10,7).

19.如图，在四棱锥P-A8CZ)中，底面A8C拉是平行四边形，ZBCL>=120\侧面附8J_底面A8C。,

PB=2>/2，AB=AC=PA=2.

p

M

（1）求证：3。平面尸AC

（2）过AC的平面交尸。于点M,若与_pAc=g%_Aco，求三棱锥P—AMB的体积.

【答案】（1）见解析；（2）昱.

3

【解析】（1）证明：由题意PA2+AB2=PBT，

所以N84P=90°，则B4_LAB，

又侧面PABL底面ABC。，面D4Bc面ABCD=AB，P4u血P48，

则Q4_L面ABCD.

BDu面ABC£＞，则P4_LBr＞，又因为NBCD=120'，ABC。为平行四边形，

则ZABC=60，又AB=AC,

则AABC为等边三角形，则4?8为菱形，则8。，4。.

又A4f!AC=A,则8£＞_L面P4c.

（2）由乙.姑。=：%_48,则MPB中点，

由AB=AC=2,NBCD=120°，得BD=26

囚此^p-AMH=^M-PAti=T^D-PAB=~^P-ABD=-x-x^3x2=.

20.21.为了贯彻落实中央、省、市关于新型冠状病毒肺炎疫情防控工作要求，积极应对新型冠状病毒疫情，

切实做好2020年春季开学工作，保障校园安全稳定，普及防控知识，确保师生生命安全和身体健康.某校

开学前，组织高三年级800名学生参加了“疫情防控”网络知识竞赛（满分150分）.已知这800名学生的成

绩均不低于90分，将这800名学生的成绩分组如下:第一组［90,100），第二组［100,110）,第三组［110,120）,

第四组［120,130）,第五组［130,140）,第六组［140,150］,得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求a的值并估计这800名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）该校“群防群控”督查组为更好地督促高三学生的“个人防控”，准备从这800名学生中取2名学生

参与督查工作，其取办法是：先在第二组、第五组、第六组中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学

生中随机抽取2名学生.记这2名学生的竞赛成绩分别为X、y.求事件卜一y|<20的概率.

7

【答案】（1）«=0.035.120：（2）—

15

【解析】（1）由频率分布直方图可知（0.010x2+0.025+4+0.015+0.005）x10=1,

解得a=0.035,

这800名学生数学成绩的平均数为：

95x0.010x10+1（）5x（）.010x10+115x（）.025x10

+125x0.035x10+135x0.015x10+145x0.005x10=120；

（2）由题意可知：第二组抽取2名学生，其成绩记为A，B,则100<A,

第五组抽取3名学生，其成绩记为C,D，E,则130WC,D,E<140；

第六组抽取1名学生，其成绩记为尸，则1404户4150；

现从这6名学生中抽取2名学生的成绩的基本事件为：

（AB）.（AC）,（AD）,（AE）,（A,F）,（B,C）,

(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(C尸),(瓦尸)共15个.

其中事件,一丁区20包含的基本事件为；（AB）,（C,。），（C,£）,（C,F）,（D,F）,（E,F）

共7个;

其中,一y|42。”为事件M，则尸（M）=^.

记“这2名学生的竞赛成绩分别为x、）',

21.在①tan8=2tanC,（2）3b2-a2=12,③Z?cosC=2ccosB三个条件中任选一个，补充在下面问题

中的横线上，并解决该问题.

问题：已知AABC的内角A,B,C及其对边a/,c,若c=2,且满足，求AABC的面积的最大

值(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

【答案】条件选择见解析；最大值为3.

【解析】选择条件①：因为tanB=2tanC，所以5由385。=2$亩。853,

根据正弦定理可得力cosC=2ccos3.

小乍I<^2+b2-C2-a2+c2-b~

由余弦定理得：bx------------------------=2cx-------------------------,

lab2ac

又由c=2,可得3>2_储=12，

序*2_2o_L2

根据余弦定理得cosA=——二巴2,

2bc2b

剧.“「、-------FT,G")2120bH4

人」sinA=vl-cosA=\1-----------------------------，

\4b22h

所以1....，20y-人64J-(〃-10)-+36

SMBC=]bcsinA=bx-----------------='--------------------

所以当且仅当〃=io时，AABC面积取得最大值，最大值为3.

选择条件②：因为3〃一/=12，

由余弦定理得cosA="+c一—=女立

所以当且仅当从=io时，AABC面积取得最大值，最大值为3.

选择条件③：因为6cosc=2ccosB,

由余弦定理得：bx^+'-c-=2cx+-+/一.

2ab2ac

因为c=2,可得3/-。2=12,

又由余弦定理得：COSAM'+C?-/

2bc2b

所以迎-u,

V4/2b

c1,..,j20"L-64J-伊-1。）+36

SMBC=5力csinA=Z?x-------------=△----------------

所以当且仅当廿=10时，AA8C面积取得最大值，最大值为3.

22.如图，已知长方体A6CO—AAG2,43=2,Ad=1,直线30与平面A4Bf所成的角为30。，AE

垂直BO于£.

（1）若F为棱44上的动点，试确定F的位置使得AE〃平面8GF,并说明理由；

（2）若F为棱44上的中点；求点A到平面尸