【2023届新高考数学考前模拟冲刺卷】 模拟冲刺仿真卷05 （新高考）解析版

绝密★考试结束前

【2023届新高考考前模拟冲刺卷】模拟冲刺仿真卷05（新高考通用）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

2023年高考临近，在原有江苏省、广东省、湖南省、湖北省、山东省等10个省市纳入新高考范

围基础上，浙江省高考数学今年从新高考自主命题卷调整为新高考全国卷，安徽省、山西省、吉林

省、黑龙江省、云南省，5省高考数学今年从老高考全国卷调整为新高考全国卷，针对新高考出题的

最新动态和命题趋势，特推出《2023届新高考考前模拟冲刺卷》以供大家参考！

一、2023高考四大趋势

❶落实立德树人，鲜明体现时代主题

❷高考由“考知识”向“考能力”转变

❸聚焦“关键能力”和“思维品质”的考察

❹高考由“以纲定考”到“考教衔接”转变

数学：出题方式发生重大变化，数学考试出题将加入复杂情景，重点强调数学思维方法考察，比以往的数学难

度更大。

二、2023年新高考数学命题方向

□新高考数学卷以情境作为依托，呈现出新气象，营造出“理念新、内容新、结构新”的新氛围。

□新高考卷预期会继续强化情境类试题的命制，侧重知识的应用性:情境类试题可以分为:课程学习情境、探索

创新情境、生活实践情境。

□任意板块知识均有可能命制压轴题，不固化试题的位置；

□小题的最后两题不再是函数唱主角，数列、三角、立体几何、新定义等内容将登场

□旧教材有而新教材删减的内容，原则上不会考查，新高考主干知识的试题量明显增加。

三、2022年新高考卷试题整体分析

今年数学新高考I卷，难度堪称十几年来的最高，今年数学新高考I卷试题难度大，主要体现在基础性题型偏

少，难题量比往年增加，总体计算量比往年增加较大。今年新高考I卷题型难中易比例大概4:3:3,体现出综合性、

创新性的考查。在考查学科素养方面，突出理性思维和数学运算的考查。在试题的设置上，体现了数学思维的灵活

性以及数学思想方法的应用，增加了综合性、探究性和创造性试题内容，突出数学学科在高考中的选拔性功能。今

年数学新高考I卷高考很好的贯彻了深化考试内容改革.试题设置上，给人第一感觉就是中规中矩，考题中没有出

怪题、偏题，但真正在两个小时内要完成考卷，考出理想分数却是非常不容易，其中，除了考题总体计算量偏大外，

更加体现了命题者在问题设置、考查的角度上非常有考究。试题从考查的知识点来看，都是高中数学的主干知识，

但题目的问法更加灵活，这就意味着我们更加需要重视学生对数学知识的理解和思维能力的培养。

四、2023年高考备考建议

❶重视教考衔接

❷研窕高考命题方向

❸夯实基础，落实“四基”

❹加强学生运算素养的培养

❺重视学生思维的训练

2022年新高考数学卷，很好地落实了“立德树人，服务选才，引导教学”的核心功能，坚持高考的核心价值，突

出学科特色，重视数学本质，体现新课改理念.试卷的灵活性难度有所提高，计算量也相对偏大，对学生的心理素质

要求较高。此外，试卷命题符合高考评价体系要求，很好地发挥了高考的选拔功能，对中学数学教学改革发挥了积

极的导向作用。我们教师要指导学生从整体上架构起高中知识体系，系统学习各章节知识，打通各个章节的联系，

综合学习和运用所学知识，才能在考试时游刃有余。2023年新高考数学备考中，大家一起加油，为学生决战高考保

驾护航。

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第□卷(选择题)

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的)

1.已知集合4={-2,-1,0,1,2},B={y|y=x2},则A&3)=()

A.{-2,-1)B.{-2,-1,0}C.{0,1,2)D.{1,2}

【答案】A

【解析】由二次函数的性质求出集合B,先求补集再求交集即可.

【详解】因为月={-2,-1,0,1,2},8={y|y=f}=[(),□),

所以金B=(e,0),A&8)={-2,-1},

故选：A.

2.若函数/(x)=4士为奇函数，则实数。的值为()

2-a

A.1B.2C.—1D.±1

【答案】D

【分析】根据题意可得/(-x)+/(x)=0,计算可得。=±1,经检验均符合题意，即可得解.

【详解】由/")为奇函数,

1+。・2、2'+〃

所以〃一力+〃》)=产+产-----------h-------

22一。l-a-2'2x-a

所以22-2/2=0,可得/=1,

解得。=±1,

当。=一1时，/⑴的定义域为R,符合题意,

当a=1时，/a)的定义域为(田,0)U(0,M)符合题意，

故选：D

3.已知随机变量X服从正态分布NJ,。?)，有下列四个命题:

甲：P(X>m+1)>P(X<m-2)；

乙：P(X>m)=0.5；

丙：P（X4〃?）=0.5；

丁：P(m—1<X<m)<P(m+\<X<m+2)

如果只有一个假命题，则该命题为()

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】D

【分析】根据正态曲线的对称性可判定乙、丙一定都正确，继而根据正态曲线的对称性可判断甲和丁，即得答案.

【详解】因为只有一个假命题，故乙、丙只要有一个错，另一个一定错，不合题意，

所以乙、丙一定都正确,则〃=m,P(X>m+l)=P(X<m-r)>P(X<m-2),

故甲正确，

根据正态曲线的对称性可得P(〃?T<X<机)=P[m<X<m+Y)>P{m+\<X<m+2),故丁错.

故选：D.

4.将函数y=2sin(x+§的图象向左平移加(，〃>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()

A.巴B.2C.土D.生

12633

【答案】B

【分析】先求出平移后的函数解析式，利用对称性可得的最小值.

【详解】因为函数y=2sin(x+?)的图象向左平移m(机>0)个单位长度后，所得函数解析式为y=2sin(x+〃?+g)；

由函数y=2sin(x+m+9的图象关于y轴对称，所以+^eZ,

71

即〃2=攵4+一,

6

因为加>0,所以当左=0时，加取到最小值

6

故选：B.

5.在三棱锥尸-ABC中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC==，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为()

A.26兀B.12兀C.8兀D.24n

【答案】A

【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4,5,"I的长方体，求出其体对角线长即可求解作答.

【详解】三棱锥P-A5C中，处=3。=4,PB=AC=5,PC=AB=y/u,

构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,5,而，则长方体的对角线长等于三棱锥尸-ABC外接球的直径，如

图，

设长方体的棱长分别为x，V，z,则f+y?=]6,/+z2=25,x2+z2=11,则/+y?+z?=26,

因此三.棱锥P-ABC外接球的直径为圆，

所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为4兀.（率）2=26兀.

故选：A

6.对于无穷数列｛〃“｝,给出下列命题：

□若｛%｝既是等差数列，又是等比数列，则｛a,,｝是常数列；

口若等差数列｛an｝满足㈤42022,则｛4｝是常数列；

口若等比数列｛«„｝满足|«,,|<2022,则｛4｝是常数列；

□若各项为正数的等比数列｛4｝满足144,42022,则｛q｝是常数列.

其中正确的命题个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】设出公差和公比，列出方程，求出公差为0,公比为1,得到｛《,｝是常数列；

口假设dMO,得到以|无最大值，推出矛盾，从而得到｛。“｝是常数列；

□举出反例即可；

□首先推出“21国21,假设4>1,得到凡无最大值，所以4=1,｛4｝是常数列.

【详解】因为｛%｝既是等差数列，设｛a“｝的公差为d，

则相邻的三项为4,见+44+24,

因为｛%｝又是等比数列，则4声0,设公比为9，

则相邻的三项为4,44,4/，

所以《+d=%q,

2

ak+2d=akq,

两式相减得：d=%q（q-l）,

将代入'中，ak+akq（q-1）=akq,

因为4X。，

所以l+4（q-l）=q,

解得：9=1，则d=0,

所以｛q｝是常数列，正确；

□因为等差数列｛4｝为无穷数列，假设dHO,则同无最大值，不满足同42022,

所以假设不成立，即"=0,所以｛。“｝是常数列，正确；

考虑能够满足同42022,而｛%｝不是常数列，匚错误；

设各项为正数的等比数列｛《,｝的公比为9,

因为14q42022,

所以14m42022,则421M21,

若4>1,则凡无最大值，不合题意，

所以4=1,进而｛4｝是常数列，正确.

故选：C

22

7.已知椭圆E：宁+方=l（a>b>0）的两条弦ABCD相交于点尸（点尸在第一象限），且ABIx轴，C£>，y轴.

若|四:俨用:忸1：归。|=1:3:1:5,则椭圆E的离心率为（）

A。RV10「2石n2710

5555

【答案】B

【分析】设P（m,〃）,|P4|=f，进而得A8,C,£>的坐标,进而根据对称性得4（30），C⑵2）,再代入椭圆方程整理

A24

得最后求解离心率即可.

【详解】解:设=f,则A（犯一3r）,C（m+t,n）,D（m-5t,n）,

由题知AB关于x轴对称,CD关于y轴对称,

所以〃+r+=(),m+t+m-5t=G,即〃=，，m=2t,

所以。(3f,r),A⑵2),

2

|9/前H---=1

2

所

以b固9J_44

4产’“/+乒―/+记'

2

|4/京

+L

所以即*g,

所以椭圆E的离心率为e=

8.设。=/-2",6=717-1,c=21nl.l,则()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【分析】利用'幕函数和指数函数的性质判断的范围，。利用基本不等式判断〃的范围，构造新函数并利用导数讨论

函数的单调性求出c的范围，进而得出结果.

【详解】由e“<28,得,即e；<2"77,所以e"<e"=「,

所以8」<2近，则e"-2近<0,即a<0;

_______14,2

由VE5-1=小排1.2-1<1^----1<0.184,即6<0.84；

设f(x)=lnx-^^(x>0),则/(%)=--—^-7=号。>0,

x+1x(x+1)2x(x+l)2

所以/(X)在(0,+8)上单调递增，目"(1)=0,

所以当X€(l,+oo)时/(x)>0,即lnx>40，

X+1

当xe(0,l)时f(x)<0,即lnx<2、T),

x+\

X1.1>1,则lnl.l>2".T>0.095,

1.1+1

所以c=21nl.l>0.19,即c>0.19,

综上，a<h<c.

故选：A

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分）

9.新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如下：

根据该图数据，这7次人口普查中（）

A.城镇人口数均少于乡村人口数

B.乡村人口数达到最高峰是第4次

C.和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次

D.城镇人口总数逐次增加

【答案】BCD

【分析】根据图中数据，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】对于A：2020年，城镇人口比重为63.89%>50%,即城镇人口数高于乡村人口数，故A错误;

对于B：由图可得，乡村人口数达到最高峰是第4次，故B正确；

时于C：第二次与第一次相比，城镇人口比重增量为18.30%-13.26%=5.04%,

第三次与第二次相比，城镇人口比重增量为20.91%-18.30%=2.61%,

第四次与第•:次相比，城镇人口比重增量为26.44%-2（）.91%=5.53%,

第五次与第四次相比，城镇人口比重增量为36.22%-26.44%=9.78%,

第六次与第五次相比，城镇人口比重增量为49.68%-36.22%=13.46%,

第七次与第六次相比，城镇人口比重增量为63.89%-49.68%=14.21%,

所以和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次，故C正确；

对于D：由图象可得：城镇人口总数逐次增加，故D正确.

故选：BCD

10.已知Z为复数，设z,三，iz在复平面上对应的点分别为/,B,C,其中。为坐标原点，则()

A.|OA|=|OB|B.OA±OC

c.|AC|=|BC|D.OB//AC

【答案】AB

【分析】根据复数的几何意义、共蛹复数、复数的乘法运算可以表示出A,fi,C三点的坐标，通过向量的模长、

向量的平行和垂直知识进而可以判断.

【详解】^z=a+bi(a,bGR),:.A(a,b),

z=〃-Z?i(a,Z?£R),/.,

\z=i(a+Z?i)="+而，/.C,

OA=(a,b),OB=(〃,"),OC=(-Z?,a),AC=(-b-a,a-b),BC=(-b-a,a+b)

对于A,J,+肥=M+(-b)2pA|=PH,故选项A正确；

对于B,a(4)+%=0,.•6_LOC,故选项B正确；

对于C,.\AC\=^-b-af+(a-b)\|BC|=J-b-a)2+(a+,

当"wo时，|AC卜Re],故选项c错误；

i1

对于D,a{<a-t>)-^-b)(-b-a)=a-lab-b,

〃一2"-〃可以为零，也可以不为零，所以OB不一定平行于AC，故选项D错误.

故选:AB.

11.已知点A(TO),B(LO),点尸为圆C：f+y2-6x—8y+17=0上的动点，则()

A...PA8面积的最小值为8-4正B.AP的最小值为2夜

5元

c.NPAS的最大值为五D.4?.AP的最大值为8+4a

【答案】BCD

【分析】对于A,点尸动到圆C的最低点A/时，.上旬面积的最小值，利用三角形面积公式；对于B,当点尸动到

R点时，AP取到最小值，通过两点间距离公式即可求解；对于C,当AP运动到与圆C相切时，-R钻取得最大

值，利用正弦值，求角即可求解；对于D,利用平面向量数量积的几何意义进行求解.

【详解】1+丫2_6》f+i7=0o(x可+(y-4)2=8,

圆C是以(3,4)为圆心，2板为半径的圆.

对于A,..B4B面积的最小值为点尸动到圆C的最低点〃时，yM=4-2应，

S.MB——,AB-yM=万x2x(4—20)=4—20,故选项A错误；

对于B,连接AC交圆于R点，当点尸动到R点时，AP取至IJ最小值为AC-RC=&3+以+4-20=2&,故选项B

正确；

对于C,当好运动到与圆C相切时，/口钻取得最大值，设切点为Q、sinNCAQ=2Q=2，=L,...“4Q=¥,

AC4x/226

CN47i

sin/CANZCAN=-,

AN44

57c

ZPAB=ZCAQ+/CAN=—,故选项C正确；

对于D,AB-AP=\AB\]AP\-cos^PAB,击点P动到S点时，,斗cos/%8取得最大值，即而在公上的投影,

AB-AP=\AB\-\AP\-cosZPAB=|AB|-|AW|=2X(1+3+2>/2)=8+4^,故选项D正确；

故选：BCD.

12.已知"e)=cos40+cos3，，且q,%,%是/■⑻在(0㈤内的三个不同零点,则()

仪％

A.34©}B.a+a+a=兀

C.cos^cos0cos^=—gcos。1+cos0,+cos4=g

2D.

【答案】ACD

【分析】根据题意结合余弦函数的图像性质，解出4，%,4,即可判断选项A、B,将cosqcosacosq根据诱导

TT2元4冗JT

公式化为cos3cos/cos^,分子分母同乘sin],结合倍角公式即可判断C,将cos^+cos2+cos%通过诱导公式

化为-COS孑-cos萼-cos”，再将分子分母同乘Sin^,结合积化和差公式进行化简即可判断D.

7777

【详解】解：由题知4，%，%是cos46+cos3e=0的三个根，

cos43+cos3,=0可彳名为cos40=-cos3,，即cos40=cos(兀+3。),

所以可得48=兀+39+2E或46+兀+36=2E,kwZ,

角军得8=兀+2E或。=一四+^^,kwZ,

77

因为，«0,兀），所以6=兀+2也不成立,

当6=一]+与，ZeZ成立时，取女=1,解得6=]£（0,兀）,

取氏=2,解得。=卑«0,兀），取&=3,解得6=手«0㈤,

取&=4,解得，=兀史（0,兀）（舍），

itzi兀zi3兀八5兀

故4=于冬=亍，4=亍

所以选项A正确;

因为4+4+4=半97c。兀，所以选项B错误;

5兀714兀2兀

COSaCOS0COS4=COSyCOS年COS—=COS—COS71cos71--

277

八.兀兀2兀4兀

2sin—cos—cos——cos——

7t2兀4兀

=cos—cos—cos—=7777

777

2sin-

7

c.2兀2兀47c八.4兀4兀

2sin——cos--cos——2sm——cos——

77777

.71

44sm—8sin-

77

.8兀.兀

sin——-sin—

772_

8峭8si吗8s呜8

故选项C正确;

兀3兀5兀

而cosq+cos0+cosa-COS—+COS------FCOS——

2777

4兀2兀

=COS+COS兀------4-COS71--

2兀4n6兀

777

2兀4K67r

-sin'cos—+cos—+cos—

777

.兀

sin一

7

(.7T2兀.兀47c.兀6兀

-sincos+sincos+sincos

I777777

.7U

sin

7

根据积化和差公式：sincrcos[sin(a+>?)+sin(«-/?)],

所以原式可化为:

1.3K1.1.5兀1.1.7K1

sin+sin+sin+sinsm—+一

272272272

.兀

sin—

7

故选项DLE确.

2

故选：ACD

【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路有:

(1)利用诱导公式将角化为关系比较接近的；

(2)遇见cosa8s2acos3acos4a的形式，分子分母同乘sina,再用倍角公式化简；

(3)积化和差公式：sinacosp=；[sin(a+〃)+sin(a-77)],cosasinp=；[sin(a+〃)-sin(a-7?)],

sincrsin/3=g[cos(a+/Q-cos(a-77)],cosacos/?=g[cos(a+/7)+cos(a-/?)].

第□卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.强基联盟体中A,B,C,。四所兄弟学校开展选考7个学科教研交流活动.A,B,C每校承担两个学科,

。校承担技术学科，A校不承担物理化学两个学科，B校不承担政治历史两个学科，则这次教研交流活动不同的安

排方案共有种.

【答案】19

【分析】按照N校是否承担政治、历史学科分为四类，分别计数，最后利用加法计数原理求解.

【详解】。校承担技术学科，故只需再安排A,B,C每校承担两个学科即可.

当A承担政治与历史两个学科时，共C;种方案仍再从其他4科中选2科）；

当N承担政治，且不承担历史学科时，共C；C；种方案（/只能从生物与地理中任选1科，8也不选历史，再从其他3

科中选2科）；

当/承担历史，且不承担政治学科时，也共C；C；种方案（与上一类相同）；

当4不承担历史，且不承担政治学科时，/只能承担生物与地理，8只能承担物理与化学，只1种情况;

综上，共有c：+C；C；+C；C；+1=6x3+1=19种.

故答案为：19.

【点睛】应用分类加法计数原理解决实际问题的步骤：

(1)审题：认真阅读题设条件，理清题目要求；

(2)分类：依据题设条件选择分类标准，做到不漏不重；

(3)整合：整合各类情况利用加法计数原理得出结论.

14.已知向量|。+6|=后,|a|=2,|/”=3,则夹角的余弦值是.

【答案】|

0

【分析】利用向量数量积公式求出a为=5,从而求出8S(“力)=崩=焉.

【详解】(a+b)=a+2ab-i-b=23,

因为|a|=2,仍|=3,所以a6=5，

ab55

H=丽=诟二

故答案为：--

0

15.已知抛物线C:y2=2px(p>0),。为原点，尸为抛物线C的焦点，点Z,B为抛物线两点，满足OA_LO8,过

原点。作交Z8于点。，当点。的坐标为(2,1),则p的值为.

【答案】7

4

【分析】根据给定条件，求出直线的方程，与抛物线方程联立借助韦达定理、向量垂直的坐标表示求解作答.

【详解】直线OD的斜率为g,而8_L,则直线的斜率为-2,直线Z8的方程为y-1=-2(x-2)，即y=-2x+5,

由厂2=7"5消去x并整理得：y2+py-5p=0,设4三J),8(事,%)，则y%=-5p,

[y-2px2P2P

因OA_LO3,则0408=密+X丫2=誓-5。=0,解得p=：,

4P.4/r4

所以p的值为9.

故答案为：I

4

2

16.从X轴上一点/分别向函数/(x)=-d与函数屋力=百7引不是水平方向的切线人和4,两切线人4分别

与y轴相交于点8和点c,。为坐标原点，记一。的面积为S1,O4C的面积为52,则，+$2的最小值为.

【答案】8

【分析】分别求出两个函数的导函数，设出两切点坐标，得到两切线方程，设出力的坐标并代入切线方程，把两切

线与y轴的交点用4的坐标表示，求出面积，然后利用导数求最小值.

【详解】解:由〃力=一丁，g（x）=pp7=x"（x>°），得/3=-3,,g（x）=-3xY,

设点为A&,0）,则1t和12的方程分别为y+片=—3片（x—演）,yY=_3x]（xf）,

a3

分别代入A（即0）并整理得，4%-3%=0,2々-3%=0,解得：x,=|x0,x2=^x0.

.M，6与夕轴的交点坐标分别为（。，磬/），（0,今片）

,S=1空嫣+2”

由S=0,解得¥=[.・，・当/w1-8，_2f,+g）时,S>0;

当/一半当时,5<0.

\7

•••当X。=半时S有最小值为8.

故答案为：8.

四、解答题（本题共6小题，其中17题10分,18、19、2（）、21、22题各12分，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知ABC的内角48c的对边分别为a,b,c,K2sinC=sinB+cosBtanA

⑴求A;

⑵若欠4+吧C=2岛mB，求ABC外接圆的半径R

ac3sinC

【答案】（1）A=W

⑵3

sinA\

【分析】⑴将tanA写为--代入化简可得cosA=彳,根据Ae（0,外，即可得A:

COSzi乙

⑵由正、余弦定理可将您4+£2铝=2#sinB化简为L=2邑，进一步化简可得a=显、

ac3sinC2abc2abc3c2

结合A=],再根据正弦定理即可得外接圆半径.

【详解】(1)解:因为2sinC=sinB+cosBtanA,

「-ye•〃•nr,sinAsinBcosA+cosBsinA

n1以2sme=sin5+cosBx----=--------------------

cosAcosA

_sin(8+4)_sinC

cosAcosA

所以2sinCeosA=sinC,因为C£(0,兀)，

所以sinC>0,所以cosA=g及Ae(0,7r),

所以4=g；

.„.ucosAcosC2v3sinB

(2)因m为----+-----=——-----,

ac3sinC

所以在_ABC中，由」E、余弦定理得：

b2+c2-a2a2+b2-c22辰

----------1----------=-----,

2abc2abc3c

“a2b2b2也b痂G

月T以----=一=——，故〃=J,

2abcac3c2

由正弦定理三=2R得R=1,

sinA2

所以..ABC外接圆半径为

18.设数列｛叫的前“项和为S”,已知S“=2a“-〃+l.

⑴证明：数列｛%+1｝是等比数列；

Q〃为j奇•数^

(2)若数列也｝满足自=%，%="'八、j便物，求数列｛々｝的前14项的和.

a„-bn,〃为偶数

【答案】(1)证明见解析

(2)§々F。

【分析】（1）根据已知得出向-（〃+1）+1,结合前〃项和与通项的关系将已知与得出的式子两式做减，再化

简即可得出%1m=2,即可证明；

（2）根据（I）得出％=2"T-1,结合已知即可得出当"为偶数时，即d+〃T=2"T-l,将数列｛4｝的前14项从

第2项开始两两分组，再结合等比数列求和公式即可得出答案.

【详解】（1）S.=2a“-〃+l①，

则S向=2a向-("+1)+1②，

妙①，得4+I=2〃“*1-2q-1,即4用=24,+1,

.4+l=2(4,+l),即可$2

/十]

令S“=2%-〃+1中"=1,得£=4=2q_1+1,解得4=0,则q+1=1

•.・{4+1}是首项为1,公比为2的等比数列.

(2)由(1)知%+1=2"T,则q=2"T-1,

二%为偶数，且i=21=1,

当〃为偶数时，b向=即b„+bn+l=

：.b}+b2++44=伪+02+4)+(d+々)++(/+%)+伪4，

=1+2'-1+23-1++2"-1+2I2-1，

*9_6+2J=^2.

1-43

19.为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，

一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),忸0,100]分组，绘制频率分布直方图如图所

示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后

是否产生抗体相互独立.

指标值

小于不小

抗体合计

60于60

有抗

体

没有

抗体

合计

a=0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指

标值不小于60有关.（单位：只）

（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结

果又有20只小自鼠产生抗体.

（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；

（ii）以（i）中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记〃个人注射2次疫

苗后产生抗体的数量为随机变量X试验后统计数据显示，当X=99时，P（X）取最大值，求参加人体接种试验的

人数n.

参考公式：=+（其中〃=»+c+d为样本容量）

2

P(X>k0)0.500.400.250.150.1000.0500.025

女00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024

【答案】（1）表格见解析，可以认为

（2）（i）p=0.9：（ii）109或110.

【分析】（1）根据独立性检验的方法求解即可；

（2）根据二项分布的概率公式列出不等式即可求解.

【详解】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为:

在［0,20）内有0.0025x20x200=10（只）：

在［20,40）内有0.00625x20x200=25（:只）；

在［40,60）内有0.00875x20x200=35（只）；

在［60,80）内有0.025x20x200=100（只），

在［80,100］内有0.0075x20x200=30（只）.

由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；

而指标值小于60的小白鼠共有10+25+35=70只，

所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，

同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只,

故列联表如下：单位：只

指标值

抗体合计

小于不小

60于60

有抗

50110160

体

没有

202040

抗体

合计70130200

零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.

2

旧辛士■+,蚪阳XE，，200x(50x20-20x110).,

根据列联表中数据，得/=--------------------4.945>3.841,

160x40x70x130

根据a=0.05的独立性检验，推断”。不成立，

即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，

此推断犯错误的概率不大于0.05.

(2)(i)令事件/="小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，

事件8="小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，

事件C="小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，

记事件4B,C发生的概率分别为尸(A),P(8),P(C),

贝”(A)="2=0.8,P(B|A)=—=0.5,

20040

P(C)=1-P(AB)=1-P(A)P(B|A)=1-0.2x0.5=0.9,

所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率P=09,

(ii)由题意,知随机变量X~8(”,0.9),

p(X=Q=C：x0.9*x0.1t(々=0,1,2,n),

因为P(X=99)最大,

C：x0.9"x0.1"-">C：x0,998X0.1"-98

所以C>0.9"x0.1"-">C,xO.9,o°x0.1"”00

A?W109<n<H0-,

Q”是整数，所以”=109或〃=110,

二接受接种试验的人数为109或110.

20.如图，在圆台。01中，A耳,AB分别为上、下底面直径，且A8J/AB,AB=2A£,CC,为异于4^,84的一

（1）若M为AC的中点，证明：储///平面ABgA；

(2)若。01=3,AB=4,ZABC=30°,求二面角A-CQ-。的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

~i3~

【分析】（1）如图根据题意和圆台的结构可知平面45C〃平面ABIG，有面面平行的性质可得AG〃4C,根据相

似三角形的性质可得C1为PC中点，则GM//AA，结合线面平行的判定定理即可证明；

（2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面。CG、平面ACG的法向量，结合空间向量数量积的定

义和同角的三角函数关系计算即可求解.

【详解】（1）如图，连接AG.

因为在圆台。。中，上、下底面直径分别为A4，A8,且

所以AA，8片CC为圆台母线且交于一点P,所以A,A,G,c四点共面.

在圆台oq中，平面MC〃平面ABC，

由平面AAGC平面ABC=AC,平面A4,G。平面A4G=AG，得AG//AC.

又ABJ/AB,AB=2A/,所以空=幽=1,

PAAB2

所以.=普=孑，即G为PC中点.

在△PAC中，又M为AC的中点，所以GM/MA.

因为AAu平面ABBE，GMU平面ABBM，

所以CM//平面A88H：

(2)以。为坐标原点，。8,。«分别为％z轴，过。且垂直于平面ABBM的直线为x轴,

建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z.

因为ZA8C=30。，所以ZAOC=60。.

则A(0,—2,0),C(73,-1,O),0,(0,0,3).

因为OC=(6,-1,0),所以℃=%c=(乎,4,0).

所以£,-*3),所以cc=(当

设平面。CG的法向量为4=(X],y,Z[),

外再_y=0

々・oc=o

所以所以V31._n

x

n}•GC=0~^\一］X_3zi=0

令尤1=1,则y=6,4=0,所以勺=(1,3,0),又4C=(6,1,0),

设平面ACC1的法向量为rty=(x29y2,z2)，

\fix2+y2=0

H<AC=0

2，所以

所以V31._n

XyZ

/i2C,C=0~Y2~22~^2=^

令W=1,则%=-6,22=,所以〃2=(1,-6,

…lxl+6x(-”0x3L

所以cos如%)a一场

13,

同时gxJl+3+；

设二面角M-GC-。的大小为巴则cos6=|..I屈

cos々4，,叫n2二~"jy，

所以sin/=—

所以二面角M-GC-O的正弦值为《远.

13

21.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的离心率为0.斜率为2的直线机经过点M(3,0),

点N是直线机与双曲线E的交点，且|MN|=J5.

⑴求双曲线E的方程；

(2)若经过定点尸(1,1)的直线/与双曲线E相交于A、B两点，经过点A斜率为-2的直线与直线小的交点为T,求证:

直线8T经过x轴上的定点.

【答案】

(2)直线8T经过x轴上的定点证明见解析.

【分析】(1)由双曲线的离心率为亚可得〃=6,则直线m方程为y=x-3,由=求出N点坐标，代入

双曲线方程求解即可；

(2)设4(爸,h)，Ba2,%)，经过点A斜率为-2的直线方程与直线m联立，求得T点坐标，表示出直线BT的方程，

令y=0表示出x的算式，直线45的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理代入x的算式，化简即可.

【详解】(1)e=&=Jl+(",(0<«<3,fe>0),：.a=b,

h

又直线洲斜率为一，经过点M(3,0),所以直线方程为y=x-3,

a

设N(x,x-3),由|MN|=J(x-3『+(x-3j=应,二N(4,l)或N(2,-l),

又0<〃<3,6>0,点N(4,l)代入双曲线方程无解，

41

点N(2,—l)代入双曲线方程，得r—=1,

aa

所以双曲线E的方程为［-<=1.

(2)设A(x“y),B(x2,y2),

设直线”8的方程为尸乙-2+1,

£._£

联立《33=1，消去y得(1一无2)/+(2/-2幻工一/+2左一4=0,

y=kx-k+l

2k2-2k2kE-2k+4

121-二k+\'-k2-l

经过点A斜率为-2的直线方程为y-％=-2(x-x)),

2.+-+3_(2+Z)X|+4-：

y=x-33一3

111)'解得

2玉+y—6_(2+Z:)X1-5—A：

―S-

\2+k)xt+4-k(2+Z)X1-5-JI]

3'3'

(2+欠)%—5—4

§