2020-2021学年辽宁省鞍山市九年级（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年辽宁省鞍山市九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（每题3分，共24分）

1.下列四个图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A.圆B.等边三角形C.平行四边形D.正五边形

2.一元二次方程41+1=4x的根的情况是（）

A.只有一个实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.没有实数根

3.把抛物线y=2^先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式

为（）

A.y=2（x+3）2+4B.y=2（x+3）2-4

C.y=2（x-3）2-4D.y=2（x-3）2+4

4.如图，AB是。0的直径，A、B、C、£＞在0。上，/AOC=110°,则/。的度数为（）

A.25°B.35°C.55°D.70°

5.如图，△（%＞£＞是△AO3绕点。顺时针方向旋转30°后所得的图形，点C恰好在A3上,

则N4的度数为（）

C.70°D.75°

6.某超市1月份的营业额是0.2亿元,第一季度的营业额共1亿元.如果平均每月增长率

为x,则由题意列方程应为（）

A.0.2(1+x)2=1B.0.2+0.2X2x=l

C.0.2+0.2X3x=1D.0.2X[1+(1+x)+(1+x)2]=1

7.如图，在平行四边形ABC。中，点E是AB的中点，CE和80交于点。，若SAEOB=1,

则四边形AEO。的面积为（)

A.4B.5C.6D.7

8.如图，菱形A2CQ的对角线AC与8。相交于点。，AC=6,8。=8,动点P从点B出发,

沿着8-4-。在菱形A8C。的边AB,40上运动，运动到点。停止.点P'是点P关

于BO的对称点，连接尸P'交8。于点若BM=x（0<x<8）,△DPP，的面积为y,

下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（）

二、填空题（每小题3分，共24分），

9.中心角为30°的正多边形边数为.

10.反比例函数的图象经过点P（-1,2）,则此反比例函数的解析式

为,

II.已知△4BCSA45C,和A'力'是它们的对应中线，若AO=10,A'D'=S,则ZXABC

与△AHU的周长比等于

12.己知x=l是一元二次方程x2-4x+k=0的一个根，则氏=.

13.已知点4（4,V）,8（料，”），C（-2,”）都在二次函数y=（x-2）2+k的图

象上，则％、”、然的大小关系是.（请用连接）

14.如图，点A、B、C、。在。。上，4。是的直径，且4。=3无，若NA8C=/C4£>,

8C交AO于点E,则CE・8C为.

15.如图，在矩形ABCO中，BC=2AB,点E是边8C的中点，连接AE、DE,分别交BD、

AC点P、Q,过点P作PFLAE交CB于点尸，下列结论：

①NEAC=NEDB；②AP=2PF；③若&0℃=竽，则AB=8；

®CE-EF=EQ-DE.其中正确的结论有.（填序号即可）

16.如图，点A的坐标为（1,0）,点B的坐标为（1,2）,将△OAB绕点A第一次顺时

针旋转90°得到△ONS,将△CM以绕点5第二次顺时针旋转90。得到aCM山”将

△0M向绕点8第三次顺时针旋转90°得到△O3A2B1,…，如此进行下去，则点O2021

17.（16分）用适当的方法解方程:

(1)N+4x-1=0；

(2)2^-3%-5=0.

18.如图，将△ABC绕点A旋转得到△AOE,连接BO,CE.

求证：△ADBS/XAEC.

四、解答题(每题10分，共20分)

19.如图，一次函数>=履+匕的图象与反比例函数>=皿的图象相交于A(-1,n),B(2,

x

-1)两点，与y轴相交于点C.

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)若点。与点C关于x轴对称，求△ABO的面积.

20.如图，要设计一个长为15cm,宽为10a”的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩

条的宽度之比为5：4,若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何

设计每个彩条的宽度？

五、解答题（每题10分，共20分）

21.小明根据学习函数的经验，对y=-1+工的图象的性质进行了探究.

X

下面是小明的探究过程，请补充完整；

（1）函数y=-1+工的自变量X取值范围为:

X

（2）完成表格，并画出函数的图象；

X・・・-3-2-122工工123•・・

"2"3~3~2

・・・・・

y♦

（3）写出函数丫=-1+工的两条性质.

22.如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE=CE,AOLBC于点。，AO与EC

交于点G.

（1）求证：NBEC=2NAGE；

（2）若黑=看，求萼的值.

BE3DG

六、解答题（每题10分，共20分）

23.如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,。是A8边上一点，作△BCQ的外接圆

。0,CE是。。的直径，且CE与AB交于点G,DF〃EC交AC于点F.

（1）求证：。尸为OO的切线;

24.某服装厂自主经销一款精品服装，生产成本为500元/套，提价40%后进行销售，每周

可以销售60件；受“新冠疫情”影响，原材料价格上涨，使得该款服装生产成本上涨,

该服装厂决定在保持利润率不变的情况下提高销售价；调研发现该款服装生产成本上涨

10元/套，每周销量就减少1套，若设该款服装生产成本上涨x元/套（x>0且x为10的

整数倍），销售价为y元/套.（利润率=尚呆

（1）求y与X之间函数关系式;

（2）设每周销售利润为W元，求W与X之间函数关系式，并求服装生产成本上涨多少

元/套时，每周销售利润最大.

七.解答题（本愿12分）

25.如图，在Rt/XACB中，NACB=90°,NABC=30°,点尸、点G是射线A8上的两个

动点，过G作48的垂线，点E为该垂线上一点，连接CE,使得NCEG=NCPB.

（1）如图1,若点G与点A重合,

①求空的值；

CP

②当AE=AP=2时，求PC的长；

（2）若点G与点A不重合，且A8=8AG,求续■的值.

BCB

图1备用图

八、解答题（本题14分）

26.如图，抛物线）'=±小+笈+。经过点B（-2,。）和点C（0,-2）,与x轴交于点A.

4

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P（0,”）是y轴上的一个动点，将线段。8绕点P顺时针旋转90°,得到线段

Ob；

①若线段O'S与抛物线有一个公共点，结合函数图象，请直接写出力的取值范围；

②直线交抛物线于M、N两点，若点8是线段的中点，求”的值.

y

一

弋Z7一

备用图

参考答案

一、选择题（每题3分，共24分）

1.下列四个图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A.圆B.等边三角形C.平行四边形D.正五边形

【分析】根据中心对称图形的概念判断即可.

解：A、圆既是中心对称图形又是轴对称图形；

8、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；

C、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；

。、正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形；

故选：A.

2.一元二次方程4/+l=4x的根的情况是（）

A.只有一个实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.没有实数根

【分析】将方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式可得出△=（）,由此即可

得出结论.

解：原方程可变形为45-4x+l=0,

:在方程4/-4x+1=0中，△=（-4）2-4X4X1=。，

方程4x2+l=4x有两个相等的实数根.

故选：B.

3.把抛物线y=2^先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式

为（）

A.y—2（x+3）2+4B.y—2（x+3）2-4

C.y=2（x-3）2-4D.y=2（x-3）2+4

【分析】抛物线y=2^的顶点坐标为（0,0）,则把它向左平移3个单位，再向上平移

4个单位，所得抛物线的顶点坐标为（-3,4）,然后根据顶点式写出解析式.

解：把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解

析式为y=2（x+3）2+4.

故选：A.

4.如图，AB是。0的直径，A、B、C、。在。0上，ZAOC=1W°,则/。的度数为（)

C.55°D.70°

【分析】根据邻补角互补可得NBOC的度数，然后根据圆周角定理可得/。的度数.

解：VZAOC=110°,

...NBOC=180°-110°=70°,

：.ZD=—ZBOC=35°,

2

故选:B.

5.如图，△COO是△A08绕点。顺时针方向旋转30°后所得的图形，点C恰好在AB上,

则/A的度数为（）

A.30°B.60°C.70°D.75°

【分析】由旋转的性质可得AO=CO,N4OC=30°,由等腰三角形的性质可求解.

解：•.,△COO是aAOB绕点。顺时针方向旋转30°后所得的图形，

；.AO=CO,ZAOC=30°,

.•.N4=NACO=180°一30°=75。,

2

故选：D.

6.某超市1月份的营业额是0.2亿元，第一季度的营业额共1亿元.如果平均每月增长率

为x,则由题意列方程应为（）

A.0.2(1+x)2=1B.0.2+0.2X2x=l

C.0.2+0.2X3x=lD.0.2X[l+(1+x)+(1+x)2]=1

【分析】根据增长率问题，一般增长后的量=增长前的量X（1+增长率），关系式为:

一月份月营业额+二月份月营业额+三月份月营业额=1,把相关数值代入即可求解.

解：设平均每月的增长率为x,根据题意：二月份的月营业额为0.2(1+X),

三月份的月销售额在二月份月销售额的基础上增加X,

为0.2(1+为X(1+x),则列出的方程是:0.2X[l+(1+x)+(1+x)2]=1.

故选：D.

7.如图，在平行四边形488中，点E是A8的中点，CE和8。交于点。，若SAEOB=1,

则四边形AEOO的面积为()

A.4B.5C.6D.7

【分析】根据平行四边形的性质和相似的判定和性质，可以得到△80C和△COO的面积，

从而可以得到△BC。的面积，再根据△ABQ和△BCO的面积一样,即可得到四边形AE。。

的面积.

解：；在平行四边形A8C。中，点E是的中点，

J.CD//AB,

:.IXDOCslxBOE,

.ocCD9

0EBE

SAEOB=1,

:.SABOC=2,SA0OC=4,

.,.SABCD=6,

••SCDAB=6,

四边形AEOD的面积为：SADAB-SAWB=6-1=5,

故选：B.

8.如图，菱形ABC。的对角线AC与BD相交于点O,AC=6,80=8,动点P从点B出发，

沿着BfA-。在菱形ABC。的边AB,A。上运动，运动到点。停止.点P'是点P关

于BD的对称点，连接PP交BD于点M,若BM=x(0<x<8),△DPP，的面积为y,

下列图象能正确反映y与x的函数关系的是()

BD

【分析】由菱形的性质得出AB=BC=CD=DA,0A=^AC=3,0B=^BD=4,ACA.

BD,分两种情况：

①当8MW4时，先证明△「'BPsACBA,得出比例式里「理，求出PP',得出△

ACOB

DPP'的面积y是关于X的二次函数，即可得出图象的情形；

②当时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同；即可得出结论.

解：•••四边形A8CO是菱形，

；.AB=BC=CD=DA,OA=—AC=3,OB=—BD=4,ACVBD,

22

①当BMW4时，

:点P'与点P关于8。对称，

：.P'P1.BD,

：.P'P//AC,

：./\P'BPs/\CBA,

.PP’BM日"P'X

ACOB64

'：DM=S-x,

11oo

:.△DPP'的面积y=』PP'-DM=—X—（8-x）=--x2+6x；

2224

・•.），与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0,0）和（4,12）；

②当时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同，过（4,0）和（8,0）；

综上所述：y与x之间的函数图象大致为：

故选：C.

二、填空题（每小题3分，共24分），

9.中心角为30°的正多边形边数为12.

【分析】根据正〃边形的中心角的度数为360°小〃进行计算即可得到答案.

解：因为360°+30°=12.

所以这个正多边形的边数为12.

故答案为：12.

10.反比例函数的图象经过点尸（-1,2）,则此反比例函数的解析式为y=-2.

X

【分析】首先设丫=区，再把P（-1,2）代入可得关于左的方程，然后可得解析式.

X

解：设y=K,

x

•.,图象经过点P（-1,2）,

.。一k

*'--1'

解得:k=-2,

关于x的解析式为y=-2，

X

故答案为：y=-—•

x

11.已知△ABCsAAbC,AD和A'。是它们的对应中线，若AO=10,A'O'=8,则△A8C

与△4EU的周长比等于5：4

【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比.

解：VAABC^AA'B'C,AD和是它们的对应中线，AD=\O,A'D'=8,

；.ABC与△A'BC的周长比=4。：-D'=10：8=5：4.

故答案为:5：4.

12.已知x=l是一元二次方程x2-4x+k=0的一个根，则k=3.

【分析】把x=l代入方程3-4x+火=0得1-4+左=0,然后解关于左的方程即可.

解：把x=1代入方程x2-4x+k—0得1-4+仁0,

解得k=3.

故答案为3.

13.已知点A(4,%),B(亚，y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2+上的图

象上，则V、”、V3的大小关系是丫3>刃>丫2.(请用连接)

【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线X=2,根据x<2

时，y随X的增大而减小，即可得出答案.

解：(x-2)2+k,

图象的开口向上，对称轴是直线x=2,

；.A(4,yi)关于直线x=2的对称点是(0,%),

；-2<0<&,

.,.》3>%>丫2，

故答案为>3>yi>y2.

14.如图，点A、B、C、。在00上，AO是的直径，且4。=3无，若/ABC=/CA。,

BC交4。于点E,则CE-BC为9.

【分析】由圆周角定理可知NABC=N。，又NA8C=NC4。，则可得从

而可得出。=CD；由直径所对的圆周角为直角可得/ACO=90°；由勾股定理求得C4

的值；由NABC=NC4。，NACB=NECA,可判定△ACBsaECA,由相似三角形的性

质可得比例式，变形即可得出答案.

解：VZABC=ZCAD,ZABC=ZD,

：.ZD=ZCAD,

：.CA=CD,

"：AD是。。的直径，

AZACD=90°,

在Rtz^4C£）中，由勾股定理得：CA1+CD1=AD1,

,:AD=3®,CA=CD,

2C42=i8,

解得：CA=3.

'：NABC=ZCAD,ZACB=ZECA,

：.XACBs[\ECA,

：.BC：AC=AC：CE,

：.CE-BC=AC-AC^9.

故答案为：9.

15.如图，在矩形ABC。中，BC=2AB,点E是边BC的中点，连接AE、DE,分别交应人

AC点尸、Q,过点P作尸F_LAE交CB于点F,下列结论：

①NEAC=NEDB；②AP=2PF；③若10%=学，则AB=8；

@CE-EF=EQ-DE.其中正确的结论有①②④.（填序号即可）

【分析】由矩形的性质和等腰三角形的性质可求/AEB=/OEC=45°,由外角的性质

可求/E4C=NE£>8,可判断①；通过证明△AOPsaEBP,可得地#=2,可判断

BEPE

②；通过证明△AQQsaCEQ,可得祟今^=2,可得AQ=2QC,由三角形的面积公式

ECQC

可求43=4,可判断③，由“SAS”可证aABE会△£>（7£,可得AE=OE,由相似三角形

的性质可求PE=EQ,通过证明△PEFs^CDE,可得黑噂，可判断④，即可求解.

ILkzUIL

解：・・,四边形A8CO是矩形，

：.AB=CDfAD=BC,OA=OB=OC=ODfNABC=NBCD=9U°,AD//BC,

•・/OBC=NOCB,

・・BC=2A8,点E是边8c的中点，

•・BE=EC=AB=CD,

\ZAEB=ZDEC=45°,

NAEB=NACB=ZEAC,/DEC=/DBC+/BDE,

•・/EAC=/EDB,故①正确；

：PFLAE,

♦.NPFE=NPEF=45。,

•・PE=PF,

JAD//BC,

\△ADPS/\EBP,

.ADAP_9

BEPE

\AP=2PE=2PF,故②正确；

：AD//BC,

•.XADQsXCEQ,

.AD_AQ_2

'EC"OC-'

•.AQ=2QC,

,♦5AA£>C=16,

XA£>XDC=16,

2

•・OC=4,

•・A8=4,故③错误，

：AB=BE,DC=CE,NABE=NDCE=90,

\AABE^ADCE(SAS),

\AE=DE9

:AADPSAEBP,丛ADQSXCEQ,

,BEJPE=1ECJQ=1

AD"AP-TAD=QD"?

•.•PE—■EQ-f

APQD

•.•EP—EQ,

AEDE

：.PE=EQf

VZAEB=ZDEC=45°,ZEPF=ZECD=90°,

:.APEFSACDE,

.PE_EF

••—，

ECDE

：.CE，EF=EQ・DE.故④正确；

故答案为：①②④.

16.如图，点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(1,2),将△048绕点A第一次顺时

针旋转90°得到△OAB”将△CMBi绕点与第二次顺时针旋转90°得到△。248”将

△CM囚绕点5第三次顺时针旋转90°得到△0认2助，…，如此进行下去，则点。2021

的坐标为(2021,1).

【分析】根据题意得出0点坐标变化规律，进而得出点。2021的坐标位置，进而得出答案.

解：•••点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(1,2),aAOB是直角三角形，

：.OA=\,AB=2,

将△OAB绕点A第一次顺时针旋转90°得到△0凶81,此时Oi为(1,1),

将△OiABi绕点B第二次顺时针旋转90°得到△CMIBI,得到O2为(1+2+1,2),

再将绕点Bi第三次顺时针旋转90°得到△。以汨|,得到。3(1+2+2,-1),

依此规律，

.•.每4次循环一周，Oi(1,1),。2(4,2),。3(5,-1),Q,(4,0),

V20214-4=505-l,

.•.点。2021(505X4+1,1),即(2021,1).

故答案为(2021,1).

三、解答题（每题8分，共16分）

17.（16分）用适当的方法解方程：

（1）x2+4x-1^0；

（2）2.x2-3x-5=0.

【分析】（1）利用配方法求解即可；

（2）利用因式分解法求解即可.

解：⑴12+4工-1=0.

移项得：JT+^X—1,

配方得：X2+4A+4=1+4,

即（x+2）占5,

开方得：x+2=±娓，

原方程的解是：X|=-2+X2—-2-

（2）2X2-3x-5=0.

因式分解得（2x-5）（x+1）=0,

2x-5=0或x+1=0,

.一5_.

.—,X2—-I.

18.如图，将AABC绕点A旋转得到△A£）£,连接B。，CE.

求证：X\DBSXAEC.

【分析】由旋转的性质可得AC=AE,AB=AD,ZCAE^ZBAD,可得反增，由相

ADAB

似三角形的判定定理可证△4£>3s△4EC

【解答】证明：,・•将△A"绕点4旋转得到△4QE,

：.AC=AE9AB=ADfZCAE=ZBAD,

.AEAC

••—,

ADAB

，△AOBs/MEC.

四、解答题(每题10分，共20分)

19.如图，一次函数旷=履+6的图象与反比例函数丫=旦的图象相交于A(-1,〃)，8(2,

x

-1)两点，与y轴相交于点C.

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)若点。与点C关于x轴对称，求△ABD的面积.

【分析】(1)先把B点坐标代入y=@中求出得到反比例函数解析式为＞=-2；再

XX

利用y=-2确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式;

x

(2)先利用一次函数解析式确定C(0,1).利用关于x轴对称的性质得到/)(0,-1).则

BO〃x轴，然后根据三角形面积公式计算.

解：(1)•.•反比例函数＞=皿的图象经过点3(2,-1),

X

,\m=2X(-1)=-2,

二.反比例函数解析式为＞=-2；

X

♦.•点A(-1,〃)在y=-2的图象上，

X

：.n=2,则A(-1,2),

=-

-k+b=2’,解得(＜k1，

{2k+b=-l.lb=l.

工一次函数的表达式为y=-x+l；

(2)•直线y=-x+l交y轴于点C,

：.C(0,1).

・・,点。与点。关于x轴对称，

：.D(0,-1).

•:B(2,-1),

SAABD—~X2X3—3.

20.如图，要设计一个长为150九，宽为10c,"的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩

条的宽度之比为5：4,若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何

设计每个彩条的宽度？

【分析】设每个横彩条的宽度为5x0”，则每个竖彩条的宽度为4x0〃，根据所有彩条所占

面积是原来矩形图案面积的三分之一，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其合适

的值即可得出结论.

解：设每个横彩条的宽度为则每个竖彩条的宽度为

依题意得：(15-2X5x)(10-2X4JC)=15X10X(1-—),

3

整理得：8N-22x+5=0,

解得：X2=J,

24

当■时，10-2义4尤=-10V0,不合题意，舍去；

当％•时，10-2X4x=8>0,符合题意，

4

5

/.5x=—,4x=l.

4

答：每个横彩条的宽度为今57,每个竖彩条的宽度为1。机.

4

五、解答题(每题10分，共20分)

21.小明根据学习函数的经验，对y=-1+」的图象的性质进行了探究.

下面是小明的探究过程，请补充完整;

（1）函数y=-1+」的自变量x取值范围为xWO

x

（2）完成表格，并画出函数的图象;

X・・・-3-2-1_1_121123・・・

~2~3~3~2

y•••-2-3-4210.・・

4312

十~2~2~3~

（3）写出函数＞=-1+1•的两条性质.

【分析】（1）根据分式中分母不能为0求出自变量x的取值范围即可，

（2）根据图表中x的值代入解析式即可完成表格，用平滑的曲线依次连接图中所描的点

即可；

（3）观察函数图象，写出一条函数性质即可，答案不唯一.

解：（1）根据题意得：xWO,

即函数v=T+-L的自变量x的取值范围x#0,

x

故答案为：xWO；

（2）完成表格如下,

X.・・-3-2-1_211123・・・

~2~3~3

y・・・__3-2-3-4210_2・・・

~3~25~3

用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如图所示:

（3）观察函数图象，发现该函数没有最大值，也没有最小值，图象不经过原点，

即该函数的性质：该函数没有最大值，也没有最小值；图象不经过原点.

22.如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE=CE,ACBC于点。，与EC

交于点G.

（1）求证：NBEC=2NAGE；

（2）若祟=•1，求黑的值.

BE3DG

【分析】（1）根据题意利用同角的余角相等，得出NECB=90°-ZCGD=900-AAGE,

又因为8E=CE,所以NB=NEC8=90°-ZCGD=90°-/LAGE,再根据三角形内角

和定理容易求解；

（2）由（1）间的角度关系，可求证△EFCs/^GQC,可得线段比例关系，进而求证^

BEFS^BAD,求得空二，通过等量代换可求解.

AD5

【解答】（1）证明：•:NAGE=NCGD,ADA,BC,即/GQC=90°,

Z£CB=90°-ZCGZ）=90°-AAGE,

■:BE=CE,

：.ZB=ZECB=90°-ZCGD=90°-NAGE,

：.ZBEC=1800-ZB-ZECB=180°-2(90°-ZAGE)=2ZAGEf

，NBEC=2NAGE；

(2)如图，过点E作EFLBC交于点产,

由（1）知/BEC=2/AGE,则NBEC=NAGE+/E4G,

/AGE=ZEAG,则AE=EG,

•：NEFC=ZGDC,NFCE=ZDCG,

:.AEFCSAGDC,

AE2

V—BE=BC,

BE3

.毁工

,•而T而而‘

..GD.GC

,EF'EC'

.GDJ,

,•而节，

VZABC=ZEBC,ZEFB=ZADB=9Q°,

:.△BEFSLBAD,

.BEEF

*'BA=AD'

..BE3

•—，

BA5

.EF3

**ADV

5EF1

,.・AO=^^,GD=—EF

33f

4

：.AG=—EF,

3

i=4.

GD

六、解答题（每题10分，共20分）

23.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,。是A8边上一点，作△BC。的外接圆

QO,CE是。。的直径，且CE与AB交于点G,。尸〃EC交AC于点F.

(1)求证：。尸为OO的切线;

【分析】(1)由/AC8=90。，AC=BC得NB=NA=45°,再由圆周角定理得/OOC

=90°,再由。尸〃EC,即可证。尸为。。的切线；

(2)先证明NCOF=N4=45°,由NCL>B=NA和/AC£)=NOCF可证△AC£)s4

DCF,从而有祟茶，再由铛•=《•、DF//EC,AC=5得A尸=3、AC=5,由此求出

CrCDDG3

CD,再用勾股定理求出OC即可.

【解答】(1)证明：连接OD

VZACB=90°,AC=BC,

：.ZB=ZA=45°,

：.ZDOC=2ZB=90°,

：.OD±CE,

，：DF〃EC,

：.OD1.DF,

・・・。/为O。的切线；

(2)解：由(1)知，ZDOC=90°,OD=OC9

.ZDCO=45°,

,:DF〃EC,

：.ZCDF=ZDCO=45°,

AZCDF=ZA,

,//ACD=/DCF,

：./\ACD^/\DCF,

CD,,即CZ)2=AC・CF,

CF"CD

..AD=2,DF//EC,

・DG-y

：.AF：CF=2：3,

VAC=5,

.\AF=3fAC=5,

•**CD=yJ15,

・・,CO2+OD2=CD2,

...oc=2Z^,

2_

.♦.00的半径长为画.

2

24.某服装厂自主经销一款精品服装，生产成本为500元/套，提价40%后进行销售，每周

可以销售60件；受“新冠疫情”影响，原材料价格上涨，使得该款服装生产成本上涨，

该服装厂决定在保持利润率不变的情况下提高销售价；调研发现该款服装生产成本上涨

10元/套，每周销量就减少1套，若设该款服装生产成本上涨x元/套（x>0且x为10的

利润

整数倍），销售价为y元/套.（利润率=鬻_）

成本

（1）求y与x之间函数关系式;

（2）设每周销售利润为W元，求3与X之间函数关系式，并求服装生产成本上涨多少

元/套时，每周销售利润最大.

【分析】（1）可利用每套的生产成本加上提高的的钱数即为销售价；

（2）可利用卬=每套的利润X销售量列函数关系式，根据抛物线的性质及最值可计算求

解.

解：(1)y=(500+x)(1+40%)

=700+1.4.r；

(2)w=40%X(500+x)(60--)

10

=-0.04x2+4x+12000,

=-0.04(x-50)2+12100,

♦.%=-0.04<0,

...当x=50时，w有最大值为12100元.

故服装生产成本上涨50元/套时，每周销售利润最大.

七.解答题(本愿12分)

25.如图，在RtZ\ACB中，NACB=90°,NA8C=30。，点P、点G是射线AB上的两个

动点，过G作A8的垂线，点E为该垂线上一点，连接CE,使得/CEG=/CP8.

(1)如图1,若点G与点A重合，

①求祟的值；

CP

②当AE=AP=2时，求PC的长；

【分析】(1)①如图1-1中，连接PE,取PE的中点。，连接AO,OC.证明A,E,

C,尸四点共圆，推出/CEP=/CAP=60°,可得结论.

②如图1-1中，利用勾股定理求出PE,解直角三角形求出PC即可.

(2)分两种情形：如图2中，连接PE,CG,过点C作于”.如图3中，当点

G在线段AB上时，证明/GC”=NCPE,求出tan/GC”可得结论.

解：⑴①如图1-1中，连接PE,取PE的中点O,连接AO,OC.

♦:/CEG=/CPB,ZCPB+ZAPC=180°,

AZAEC+ZAPC=180°,

；・NEAP+NECP=180°,

9

\EA_LPAf

:・NPAE=/PCE=9b0,

,:OE=OP,

：・OA=OE=OP=OC,

・・.A,E,C,P四点共圆，

：.ZCEP=ZCAB,

VZACB=90°,ZABC=30°,

・・・NGW=60°,

：.ZPEC=ZCAP=60°,

AZEPC=30°,

.ECM

..——=tfan3Q0n0=工^.

CP3

②如图1-1中，'：AE=AP=2,/E4P=90°,

:.PE=，^E=2®1,

VZEPC=30°,

.•.PC=PE«cos30°=2近义与=娓.

(2)如图2中，当点G在BA的延长线上时，连接PE,CG,过点C作CHLAB于H.

G

图2

,.・A8=8AG,

・•・可以假设AG=m则A8=8〃，

VZABC=30°,

.\AC=—AB=4a,

2

u

在RtZ\AC”中，：CAH=60°,AC=4af

.\AH=AC9cos60°=2。,

二07=扬”=2后，

谭=急考

由（1）可知G,E,C,P四点共圆,

:・/CGP=/CEP,

・・・NCGP+NGC”=90°，ZCEP+ZCPE=90°