2020-2021学年宁夏银川市兴庆区长庆某中学高一（下）期末数学试卷（附答案详解）

2020-2021学年宁夏银川|市兴庆区长庆高级中学高一（下）

期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.若数列的前4项分别是-%-i,p则此数列一个通项公式为（）

(-1严

A.a也C.D.3

n+lB.nn+ln

2.若mb,c为实数，则下列命题错误的是（)

A.若碇2>be2,则a>b

B.若a<&<0,则M<人2

C.若a>h>0,则工<1

ab

D.若a<bV0,c>d>0,则QC<bd

3.已知数列｛aj为等差数列，Sn为前n项和，若=4,。5=8,则Si。=()

A.125B.115C.105D.95

2

4.数列｛an｝的首项%=3,且Q九=2--—(n>2),则goal-=()

an-l

1

A.3B.-3cJ2D.-2

5.在△ABC中，若Z>2+©2—a2=be,则4=()

A.90°B.150°C.135°D.60°

6.在△力BC中，—=—,则△ABC一定是（

cosBcoszl)

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.等差数列｛an｝的前"项和为Sn,且4%,2a2,。3成等比数列•若%=3,则54=()

A.7B.8C.12D.16

%+y>4

8.变量x,y满足约束条件y-%<2,则名=筌的最大值为()

.%<4

A.：B.1C.2D.5

9.已知等差数列a｝前〃项和为5,且尚=p则段等于（）

A.AB.1D•总

1c.3

10.已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为立，则

2

这个三角形的周长为()

A.15B.18C.21D.24

11.已知各项均为正数的等比数列｛5｝满足。7=&6+2。5,若存在两项a®a”使得

再有=4a「则5+：的最小值为()

A.|B.|C,Df

12.已知数列｛/｝中,%=1,an=3a„_x+4(neN*,n>2),求数列｛an｝的前〃项和

Sn为1)

口„3n+1+2n-3

D.=-------------

n2

3n+1-4n-3D.S=*

c.sn=2n2

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

2x-y<0

13.若-y满足约束条件％+y—3N0,则z=x—2y的最小值为.

%+2y—6<0

14.已知两个等差数列&｝,也｝的前〃项和分别是土,〃，若言=猾，则%=.

15.如图，为测量山高MN,选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从4点测得M

点的仰角4NAM=60。，C点的仰角NC48=45。以及NM4C=75。；从C点测得

/.MCA=60°,已知山高BC=1000m,则山高MN=m.

16.记S.为数列｛a,J的前n项和，若S.=2an+1,则$6=.

三、解答题(本大题共6小题，共70.()分)

17.已知函数/1(x)=3m%2+小X-2(jneR).

(I)当m=1时，解不等式f(x)>0；

(D)若关于x的不等式f(x)<0的解集为R,求实数m的取值范围.

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已知等差数列｛｝满足。

18.an3=2,as=3.

(1)求｛斯｝的通项公式；

设等比数列｛｝满足瓦=%,求｛%｝的前"项和

(2)bh4=a15,

19.如图，在AABC中，已知48=30。,。是BC边上的一点，40=5,AC=7,DC=3.

⑴求A4DC的面积;

(2)求边AB的长.

已知公差的等差数列｛即｝的前"项和为，。是由与(的等比中项.

20.d*0SnSs=25,2Z5

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)设心二号=，求数列｛%｝的前"项和

21.△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcosC+ccosB=2acosA.

(1)求角A的大小；

(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.

22.已知数列｛收｝的前w项和刈=3"-1,其中nCN*.

(I)求数列｛a"的通项公式；

若数列｛%｝满足瓦

(II)=1,bn=341T+an(n>2)；

(I)证明：数列｛含｝为等差数列；

(11)求数列｛九｝的前〃项和7；.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了数列的通项公式，考查归纳推理，属于基础题.

根据数列的前四项是-J，j：，找规律，即可写出通项公式.

【解答】

解：由数列的前四项是一;，;，-i,g

2345

奇数项为负数，偶数项为正数，分子都是1,分母是项数加1,

归纳推理得an=肝；

故选：A.

2.【答案】B

【解析】解：对于A：若ac2>bc2,则Q>b,故正确，

对于8：根据不等式的性质，若aVbVO,则小>b2,故8错误,

对于C：若a>b>0,则三>=，即故正确，

ababba

对于。：若a<b<0,c>d>0,则ac<bd,故正确.

故选：B

根据不等式的基本性质，判断每个选项即可

本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题

3.【答案】D

【解析】解：根据题意，等差数列｛即｝中，设其公差为4

若a?+=4,则1(a2+a4)=2,

又由as=8,则d==3,则有的=as—4d=—4,

则Sio=lO%+等d=95；

故选：D.

根据题意，设等差数列似九｝的公差为优由等差数列的性质求出。3的值，进而求出“和的

的值，由等差数列的前"项和公式计算可得答案.

本题考查等差数列的性质以及应用，涉及等差数列的求和，属于基础题.

4.【答案】A

2

【解析】解：因为的=3,且。„=2-^—(n>2),

an-l

所以。2=2一|=2,«3=2-f=1,a4=2-f=-2,a5=2-^=3,a6=2-|=i,

，332乙J3

…，

所以数列｛an｝是以4为周期的周期数列，所以(12021=0505x4+1=%=3.

故选：A.

首先根据递推公式列出数列的前几项，再找出数列的周期性，即可得解；

本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能

力和数学思维能力，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：因为在AABC中，若/+c?-a?=be,结合余弦定理可知，cosA=I，

所以A=60°.

故选D.

直接利用余弦定理，求出cosA,求出A的值.

本题考查余弦定理的应用，考查计算能力.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查三角形的形状判断，突出考查正弦定理与二倍角的正弦，考查转化与运算能力,

属于中档题.

利用正弦定理-工=-2=2R与二倍角的正弦即可判断三角形的形状.

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【解答】

解：•.•在△48。中心=一二，

cosBcosA

=又由正弦定理号=—==2R得：?=当，

DcosAsinAsinBbsinB

.sinA_cosB

sinBcosA

・•・sin2A=sinZB,

2A—28或24=TI—2B,

：.A=B或4+B=/

故4力BC是等腰三角形或直角三角形.

故选。.

7.【答案】C

【解析】解：设等差数列｛%J的公差为止

4at,2a2，CI3成等比数列.

,*•4a力—4al*Q3，

化为(%+d)2=%(%+2d),

化为d=0.

若电—3,

则S4=4al=12.

故选：C.

设等差数列｛a"的公差为d,由4%,2a2,成等比数列.可得4谖=4al•a3>可得d=0.

即可得出.

本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算

能力，属于中档题.

8.【答案】C

X+y>4

【解析】解：画出约束条件y-xW2所表示的平面区域,

.%<4

如图所示，

由目标函数2=々，

X+1

表示平面区域的点与原点0(-L-1)连线的斜率，

结合图象可知，当过点A时，此时直线的斜率最大，

又由解得％=1,y=3,

所以目标函数的最大值为z=^=2,

1+1

故选：C.

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可.

本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键.

9.【答案】D

【解析】解：等差数列4｝前八项和为又，且兴=:=含怒，二%=汕

则生=」叱尹d=8x5+28d=巨

S1616匆+120d16X^+120d10

故选：D.

由题意利用等差数列的通项公式、前“项和公式，计算求得要求式子的值.

本题主要考查等差数列的通项公式、前〃项和公式，属于基础题.

10.【答案】A

【解析】

【分析】

此题考查了余弦定理，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理

是解本题的关键.

根据三角形A8C三边构成公差为2的等差数列，设出三边为a,a+2,a+4,根据最

大角的正弦值求出余弦值，利用余弦定理求出a的值，即可确定出三角形的周长.

【解答】

解：根据题意设△ABC的三边长为a,a+2,a+4,且a+4所对的角为最大角a,

sina=cosa=;或一去

当cosa=gll寸，a=60°,不合题意，舍去；

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a2+(a+2)2-(a+4)2

当时,由余弦定理得:cosa=cosl20°=

cosa=a=120°,2a(a+2)2’

解得：a=3或a=-2(不合题意，舍去),

则这个三角形周长为a+a+2+a+4=3a+6=9+6=15.

故选：A.

11.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于中档题.

由a7=+2a$求得q=2,代入“皿5=4al求得m+n=6,利用基本不等式求出它

的最小值.

【解答】

解：由各项均为正数的等比数列｛an｝满足+2a5，

4

可得a1q6=a1q5+2a1q,

q?_q_2=0,

显然q>0,

q=2♦

yjaman=4a1；

...qm+n-2=出

m+n24

...2-=2,Am4-n=6,

•••3+：=Xm+n)e+》=X5+3+M)N[x(5+4)=m

当且仅当巴=如时，即巾=2m=4时等号成立.

mn

故三+2的最小值等于5，

mn2

故选：A.

12.【答案】C

【解析】解：数列｛an｝中，%=1，即=3即_i+4,

整理得：61n+2=3(0n-+2),

故2*=3(常数)，

an—1十/

所以数列｛an+2｝是以3为首项，3为公比的等比数列;

所以an+2=3x3n-1=3n,

故0n=3,-2（首项符合通项）.

所以空_2n=史上产，

故选：C.

直接利用数列的递推关系式和构造法及分组法求数列的和，

本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造法，分组法求数列的和，主要考查学生

的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

13.【答案】-6

【解析】解：由约束条件作出可行域如图,

2x5=0

由图可知，4(0,3),

由z=x-2y,得y=；-由图可知，当直线y=；一;过A时，

直线在y轴上的截距最大，z有最小值为-6.

故答案为：一6.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最

优解的坐标代入目标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题.

14.【答案】S

14

(ai+-9)x9

【解析】解：根据题意，合则匹=蕊=£

又暄=猾，贝吟吟故有9a

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故答案为：9

14

（。1+。9）乂9

根据题意，由等差数列的性质可得算=获标=K詈=詈，进而计算可得答案.

本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题.

15.【答案】1500

【解析】

【分析】

本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题.

△4BC中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得4G在AAMC中，利用正弦定理

求得4M;再在RtaAMN中，根据MN=4M-sin4MAN,计算求得结果.

【解答】

解：在△4BC中，••ZB4c=45。，

/.ABC=90°,BC=1000,

又因在AAMC中，Z.MAC=75°,ZMC4=60°,

^AMC=45°,

由正弦定理可得*-=%世，

sin60°sin450

解得AM=1000V3.

所以在RtA4MN中，

MX=AM-sinZMAN=10004xsiirfM)=1500，

故答案为1500.

16.【答案】-63

【解析】

【分析】

本题考查了等比数列的求和公式，属于基础题.

可得｛。工是以-1为首项，以2为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式计算即可.

【解答】

解：Sn为数列｛斯｝的前〃项和，Sn=2an+l,①

当71=1时，%=2。1+1,解得。1=—1,

当几22时，Sn_i=2an_x+1,②，

由①一②可得：an=2an-2an_lf

・・.数列｛Qn｝是以-1为首项，以2为公比的等比数歹九

-lx(l-26)g

・•・Sc=-----------=-63,

6b1-2

故答案为-63.

17.【答案】解：(/)当m=l时，/(%)=3%2+%—2.

由f(x)>0可得3/+%—2>0,

解可得，x>|或％<-1,

故不等式的解集为｛x|x>|或X<-1｝

(II)•.•不等式/(x)<0的解集为R,

・•・3mx2+mx—2<。恒成立，

①m=0时，一2<0恒成立，复合题意，

②时，根据二次函数的性质可知，｛々：：2+24巾<0

解可得，-24<m<0,

综上可得，实数m的取值范围｛?n|-24<mW0｝.

【解析】(/)当m=1时，f(x)=3x2+x-2,根据二次不等式的求法即可求解；

(U)•.•不等式/Q)<0的解集为R可得3m/+mx-2<0恒成立，结合二次函数的性

质可求.

本题主要考查了一元二次不等式的求解及二次函数的恒成立问题，解题中要注意分类讨

论思想的应用.

18.【答案】解：⑴设｛册｝的公差为d,

则由『3=：,整理得I：%;

a=3(a=-

即％=等。

(2)由(1)得仇=1,b4=8.设｛即｝的公比为q,

则q3=,=8,

从而q=2,

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故｛%｝的前八项和7；=当3=2n-l.

1—2

【解析】(1)直接利用等差数列的性质求出首项和公差，进一步确定数列的通项公式；

(2)利用等比数列的性质求出公比，进一步利用求和公式求出结果。

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的求和，主要考查学生

的运算能力和数学思维能力，属于基础题。

19.【答案】解：(1)在A4DC中，由余弦定理得COSN/WC=Q^±=—三

、/oAn.n/'2ADDC

・・・Z,ADC=120°

那么：sm/-ADC=sinl20°=—2

则S-DC=^ADDC-sin^ADC=竽

(2)在△ABC中，/.B=30°,Z.ADB=60°

由正弦定理得：一%=嗯

s\nz.ADBstnB

:.AB=5v

【解析】本题考查了正余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

(1)在△4DC中，根据余弦定理求解cos乙4CC,可得sin乙4DC,即可求解△ADC的面积;

(2)在△4BC中，/.B=30°,Z.ADB=60°由正弦定理得AB的长度：

20.【答案】解：⑴公差dH0的等差数列｛%｝的前“项和为S”,Ss=25,a?是由与as的

等比中项.

I"黑粒3d)，解叱匕

所以Qn=14-2(九—1)=2n+1.

anan+1(2n-l)(2n+l)2'2九一12n+l

【解析】(1)利用等差数列｛斯｝的前〃项和为Sn,55=25,是由与死的等比中项，列

出方程组，求解数列的首项与公差，然后求解通项公式.

(2)化简％=丁白，利用裂项消项法求解数列的和即可.

^n'^n+1

本题主要考查等差数列以及等比数列的应用，数列的通项公式的求法，考查裂项相消法

求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

.【答案】解：(由正弦定理知，

21'1')sinAsinBsinC

bcosC+ccosB=2acosA,

:，sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA,

・•・sin(B+C)=sinA=2sinAcosA,

vsinAW0,•*-cosA=2

VAE(0,7T),•••=P

(2)由余弦定理知，。。$4=吐萨之甯，

1、2bc-4

・•・->------，

2—2bc

・•・be<4,当且仅当b=c=2时,等号成立，

・•.△A