【中考数学】2023届北京市区域高频考点一模复习专题分层-圆的综合题（含解析）

【中考数学】2023届北京市区域高频考点一模复习专题分层

一圆的综合题

一、综合题

1.如图，四边形ABCD内接于。0,BD是。O的直径，AE_LCD于点E,DA平分

ZBDE.

(1)求证：AE是。。的切线；

(2)如果AB=4,AE=2,求。O的半径.

2.如图，在AABC中，,以AB为直径的。O交BC于点D,过点D

的直线EF交AC于点F,交AB的延长线于点E,且乙BAC=2乙BDE.

(1)求证：。F是。0的切线;

(2)当CF=2,BE=3时，求AF的长.

3.如图，A,B,C,D是。O上的四点，ZBAC=ZCAD,P是线段CD延长线上一

点，且/PAD=NABD.

D

(1)请判断△BCD的形状(不要求证明);

(2)求证：PA是。0的切线;

求证：AP2-DP2=DP«BC.

4.如图，AC与。0相切于点C,AB经过。0上的点D,BC交。0于点E,

DE/70A,CE是。0的直径.

(1)求证：AB是。0的切线;

(2)若BD=4,CE=6,求AC的长.

5.如图，在AABC中，AB=AC，以AB为直径作。0交边BC于点D,过点

D作DE1AC于点E,CA的延长线交。。于点F,连接BF.

3,求BF的值:

(2)求证：DE为。。的切线.

6.如图，在。0中，AB为直径，OCLAB,弦CD与0B交于点F,在AB的延长线

上有点E,且EF=ED.

(2)若OF：OB=1：3,。0的半径R=3,求言的值.

7.如图，在菱形ABCD中，。是对角线BD上一点(BO>DO),OELAB,

垂足为E,以0E为半径的O0分别交DC于点H,交E0的延长线于点

尸，EF与DC交于点G.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若G是OF的中点，0G=2,DG=1.

①求处的长；

②求AD的长.

8.如图，XABC内接于。。，AB是。。的直径，C是左D中点，弦CE1

AB于点H,连结AD,分别交CE、BC于点P、Q,连结BD.

(1)求证：P是线段AQ的中点；

(2)若。。的半径为5,D是品的中点，求弦CE的长.

9.如图，AB=2,射线点P为BM上一点，以BP为直径作。C,点D在

OC上，AD=AB,连接PD,点Q为弦PD上一点，射线QC交。C于点E.

D一

M

(1)求证：AD为。C的切线；

(2)若“CB=30°,求劣弧所的长.

10.如图：AB是。O的直径，AC交。O于G,E是AG上一点，D为ABCE内心,

BE交AD于F,且/DBE=/BAD.

(1)求证：BC是。O的切线；

(2)求证:DF=DG；

(3)若/ADG=45。，DF=1,则有两个结论：①AD・BD的值不变；②AD—BD的

值不变，其中有且只有一个结论正确，请选择正确的结论，证明并求其值.

11.如图AB为。O的直径，C为。O上半圆的一个动点，CEJ_AB于点E,/OCE的

角平分线交。O于D点.

(1)当C点在。。上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由；

(2)若。O的半径为5,弦AC的长为6,连接AD,求线段AD、CD的长.

12.如图，AB是。0的直径，弦AC=BC,E是OB的中点，连接CE并延长到

点F,使EF=CE,连接AF交。。于点D,连接BD,BF.

c

(1)求证：直线BF是。。的切线;

(2)若AF长为5V2，求BD的长.

(1)如图1,若点A、F把半圆三等分，连接OA,0A与BF交于点E.求证：E

为OA的中点；

(2)如图2,若点A为弧BF的中点，过点A作ADLBC,垂足为点D,ADV

BF交于点G.求证：AG=BG.

14.已知直线I与。O,AB是。O的直径，AD±I于点D.

小；

(2)如图②，当直线I与。。相交于点E、F时，若/DAE=18。，求/BAF的大

小.

15.如图，四边形ABCD是。0的内接四边形，ZABD=ZCBD=60°,AC与BD相交

于点E,过点C作。O的切线，与AB的延长线相交于点F.

B

(1)判断△ACD的形状，并加以证明

(2)若CF=2,DE=4,求弦CD的长.

16.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,以AB为直径作(DO交边BC于点D,过点D

作DE_LAC交AC于点E,延长ED交AB的延长线于点F.

(1)求证：DE是。O的切线；

(2)若AB=8,AE=6,求BF的长.

答案解析部分

1.【答案】（1）证明：连接0A,

VOA=OD,

AZ1=Z2.

VDA平分/BDE,

.\Z2=Z3.

.♦.N1=N3.AOA^DE.

.*.ZOAE=Z4,

VAE1CD,AZ4=90°.

ZOAE=90°,即OA，AE.

又•.•点A在。O上，

.•.AE是。O的切线

(2)解：YBD是。O的直径，

.\ZBAD=90o.

VZ5=90°,.\ZBAD=Z5.

又：N2=N3,?.△BAD^AAED.

.BD_BA

''AD=AE'

VBA=4,AE=2,；.BD=2AD.

在RtABAD中，根据勾股定理，

得BD=|V3.

半径为|V3.

2.【答案】（1）证明：如图，连接0D,AD,

D

-AB是直径,

：./.ADB=90°.

：.AD1BC.

U：AB=AC,

：.乙BAC=2(BAD,

，乙BAC=2乙BDE,

：.^BDE=/-BAD.

VOA=OD,

：.z.BAD=Z.ADO.

\^ADO+^ODB=90°,

:.乙BDE+乙ODB=90°.

J./LODE=90°,即OF100.

又。。是。。的半径，

：.DF是。0的切线.

(2)解：=AC,AD1BC,

：.BD=CD.

,:BO=AO,

J.OD//AC.

△EODEAF,

.OD_EO

••丽二丽・

设OD=%,VCF=2,BE=3,

OA=OB=x,AF=AC-CF=2x—2,EO=x+3,EA=2%+3.

・x_x+3

^2^2=2^+3•

解得%=6.

经检验x=6是所列分式方程的解.

：.AF=2x-2=10.

3.【答案】(1)解：VZBAC=ZCAD,

：.BC=CD,

.,.ZBDC=ZCBD,

BCD是等腰三角形

(2)证明：连接OA、OD,

则/AOD=180。-2ZOAD,

ZAOD=2ZABD=2ZPAD,

ZPAD=900-ZOAD,

ZPAD+ZOAD=90°,

AOAIAP,

；.PA是。O的切线.

(3)证明：：PA是。O的切线，

，AP2=PDxPC,

AAP2-DP2=PDxPC-DP2=DP(PC-DP)=DPxCD,

又：BC=CD,

AAP2-DP2=DP・BC.

4.【答案】(1)解：证明：连接OD,如图:

AZOED=ZODE,

VDE/70A,

AZOED=ZAOC,ZODE=ZAOD,

:.ZAOC=ZAOD.

在^AODfnAAOC中，

AO=AO

Z-AOD=乙AOC

OD=OC

・,.△AOD^AAOC,

AZADO=ZACO.

〈AC与。。相切于点C,

.\ZADO=ZACO=90o,

又二・OD是。O的半径，

/.AB是。O的切线；

(2)解：VCE=6,

.,.OE=OD=OC=3.

在RSODB中，BD=4,OD=3,

：.BD2+0D2=BO2,

.\BO=5,

・・・BC二BO+OC=8.

•・・。0与AB和AC都相切，

・・・AD=AC.

在RtAACB中，AC2+BC2=AB2,

即：AC24-82=("+4)2,

解得：AC=6；

5.【答案】(1)解：-AB是O。的直径，

・・・Z.AFB=90°.

9JAC=3,AB=AC,

:.AB—3.

又vAF=1

二在Rt△ABF中，BF=>JAB2-AF2=V32-l2=2近.

:.Z.ODB=Z.ABC.

vAB=AC,

:.Z.C=(ABC.

:.乙ODB=Z.C.

・・・OD||AC.

vDE1AC,

・•・DE1OD.

・•・DE为OO的切线.

6.【答案】(1)证明:连结O案如图,

VEF=ED,

JNEFD=NEDF,

,:NEFD=NCFO,

JZCFO=ZEDF,

VOC1OF,

・•・ZOCF+ZCFO=90°,

而OC=OD,

AZOCF=ZODF,

・•・ZODC+ZEDF=90°,即ZODE=90°,

AOD1DE,

・・・DE是。O的切线；

(2)解：VOF：OB=1：3,

.\OF=1,BF=2,

设BE=x,贝ljDE=EF=x+2,

VAB为直径，

，ZADB=90°,

AZADO=ZBDE,

而NADO=NA,

AZBDE=ZA,

而NBED=NDAE,

.*.△EBD^AEDA,

・DEBEBDRn%+2_x_BD

•,荏=而=宿印乔TrR'

x=2,

・BD_2_1

99AD~2+2~2,

7.【答案】(1)证明：如图，过点0作OMLBC于点M，

■:BD是菱形ABCD的对角线,

：.^ABD=Z.CBD,

•：0M工BC,OELAB,

AZOEB=ZOMB=90°,

VOB=OB,

/.AOEB^AOMB(AAS)

二OE=OM,

：.BC是。0的切线

(2)解：①如图,

VG是OF的中点，OF=0H,

1

:・0G=20H.

'：AB//CD,OE1AB,

：.0F1CD,

：.AOGH=90°,

/•sinzGHO=1,

C.^GHO=30°,

:•乙GOH=60°,

，乙HOE=120°,

9COG=2,

：.OH=4,

・・・由弧长公式，得到ffE的长：z=120x4X7r

②方法一：如图，过点D作DN1AB于点N，

■:AB]/CD,

△ODG-△OBE,

.DG_0G_OG_1

"BE=OE：=2OG=2'

:.BE=2DG=2,

VDG//NE,DN//GE,ZGEN=90°

・•・四边形NEGD是矩形，

：.NE=DG=1,BN=3,OE=4,DN=6,

在菱形ABCD中，AD=AB,在Rt^ADN中，设4。=4B=x,

Ax2=(X-3)2+62，

・15

"X=T,

方法二：如图，过4作AN_L50于点N,

VDG=1,OG=2,OE=OH=4,

：.0D=遍，OB=2V5,ON=享，

△DOG-△DAN,

DODG

'亚=丽

DO-DN

••AD=DG

8.【答案】(1)证明：:CE1ABAB是直径

*.AC=AE

又・・,*=C0

.\AE=CD

J.Z.CAD=Z.ACE

：.AP=CP

9：AB是。。的直径

：.^ACB=90°,

C./-ACE4-Z.BCP=£.CAD+Z.CQA=900

:.(BCP=乙CQA

：.CP=PQ

：.AP=PQ

即P是线段AQ的中点；

(2)解：•“是他中点，D是:既的中点

：.AC=Ct)=ETB,AB是直径

.3408=90。，/.ABC=30°,ZCAB=60°

又FB=5x2=10

：.AC=5,

/.BC=y/AB2-AC2=V102-52:=5^3

又：CE14B,ZCAB=60°

.,.CH=ACsin60°=5x叵;也

22

qF5

，CE=2CH=2x詈=5百•

9.【答案】(1)证明：如下图所示,连接CD.

PM

E

VAD=AB,DC=BC,AC=AC,BM±AB,

・・・△ACD=△ACB(SSS),ZCBA=90°.

：.z.CDA=Z.CBA=90°.

VCD为半径，

・・・AD为OC的切线.

(2)解：VZ71CB=30°,^ACD=^ACB,AB=2,

.\ZACD=ZACB=30°,AC=2AB=4.

"DCB=44CD+Z.ACB=60°,BC=y]AC2-AB2=2^3.

：.Z.PCD=120°.

...劣孤用的长为增率生=峥兀.

lol)D

10•【答案】(1)证明：・・・D为^BCE内心，

AZDBC=ZDBE,

VZDBE=ZBAD.

AZDBC=ZBAD,

:AB是QO的直径，

・ZDB=90°,.

^£.BAD+z-ABD=90\

・・・£DBC+乙ABD=90°,

即Z.ABC=90°,

.\AB±BC,

・・・BC是OO的切线

(2)证明：如图1,连接DE,

图1

ZDBC=ZBAD,ZDBC=ZDBE,

AZDBE=ZBAD,

:.NABF+NBAD=NABF+NDBE,

AZBFD=ZABD,

VZDGC=ZABD,

・・・NBFD=NDGC,

AZDFE=ZDGE,

•ID为^BCE内心，

AZDEG=ZDEB,

在^DEF和^DEG中

NDFE=Z.DGE

乙DEG=(DEF,

DE=DE

・•・△DEF丝△DEG(AAS),

ADF=DG；

(3)解：AD-BD的值不变；

如图2,在AD上截取DH=BD,连接BH、BG,

图2

VAB是直径，

・"ADB=Z.AGB=90°,

二ZiWG=45\

：^ABG=zADG=45°,

^AB=&BG,

■:乙BDH=90°,BD=DH,

LBHD=45°,

：.Z.AHB=180°-45°=135°,

■:乙BDG=Z.ADB+Z.ADG=900+45°=135°,

，NAHB=NBDG,

VZBAD=ZBGD,

.*.△ABH^>AGBD,

•4H_4B一步

VDG=1,

.".AH=V2,

AD-BD=AD-DH=AH,

.".AD-BD=V2.

IL【答案】(1)解：当C点在。O上半圆移动时•，D点位置不会变;

理由如下：连接OD.

：CD平分/OCE,

：.Z\=Z3,

而OC=OD,

.".Z1=Z2,

N2=N3,

...CE〃OD,

VCE1AB,

AOD1AB,

：.AD=BD,即点D为半圆AB的中点.

(2)解：,在直角AAOD中，OA=OD=5,

.'.AD=5A/2.

过点A作CD的垂线，垂足为G,

1

:乙4C。乙4。。=45°,

.•.△AGC是等腰直角三角形,

•..AC=6,

"-AG=CG=3y/2.

22

在直角4AGD中，DGJ(5V2)-(3V2)=4V2,

:.CD=CG+DG=3或+4夜=7VI,

二线段AD的长度为5V2，线段CD的长度为7夜.

12.【答案】(1)证明：如图，连接OC、OF,

；EF=CE,OE=BE,

...四边形OFBC是平行四边形，

...BF〃OC,

VAC-BC,OA=OB,

AOCIAB,

AZABF=ZBOC=90°,

VOB是。O的半径，且BF±OB,

二直线BF是。O的切线；

(2)解：如图，：AB是。O的直径,

c

AZADB=ZACB=90°,

ZCAB=ZCBA=45°,

VOC=OB,

.*.ZOCB=ZOBC=45°,

.,.ZBFO=ZOCB=45°,

：OF〃BC,

.*.ZBOF=ZOBC=45°,

ZBFO=ZBOF,

，FB=OB=OA=1AB,

VFB2+AB2=AF2,且AF=5V2,

Z.(|AB)2+AB2=(5V2)2,

；.AB=2VlO,

.•.FB=1AB=A/10,

的半径为V10，

；SAABF=1AB«BF=1AF・BD,

：.2VloXVIo=5XBD,

.•.BD=2V2.

13.【答案】(1)证明：:A、F为半圆三等分点,

ZAOB=1xl80°=60°,

VOA=OB,

/.△OAB为等边三角形.

；A为弧BF中点，

AOA±BF,

二.BE平分OA,

・・・E为OA中点

(2)证明：连接AF,AC,

♦A为弧BF中点,

：.AB=AF,

JNABF=NF.

VZF=AB,

.\ZC=ZF,