2021 第4章 第4节 万有引力与航天

第4节万有引力与航天

夯实基础知识必备知识全通关扫除双基盲点

I:必备知识填充11

一、开普勒行星运动定律

1.开普勒第一定律

所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

2.开普勒第二定律

对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过粗箜的面积。

3.开普勒第三定律

所有行星的轨道的生长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，

表达式：k0

二、万有引力定律

1.内容

(1)自然界中任何两个物体都相互吸引。

(2)引力的方向在它们的连线上。

(3)引力的大小与物体的质量一和切2的乘积成正比、与它们之间距离r的

二次方成反比。

2.表达式

尸=野詈,其中G为引力常量，G=6.67X1011N-m2/kg2,由卡文迪许扭

程实验测定。

3.适用条件

(1)两个质点之间的相互作用。

(2)对质量分布均匀的球体，r为两球心间的距离。

三、宇宙速度

1.三种宇宙速度比较

宇宙速度数值(km/s)意义

第一宇

7.9地球卫星最小发射速度（环绕速度）

宙速度

第二宇物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度

11.2

宙速度（脱离速度）

第三宇物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度

16.7

宙速度（逃逸速度）

2.第一宇宙速度的1卜算方法

⑴由仃爷=哈得[GM

V2

（2）由=互得。=道。

[学情自测验收II

1.思考辨析（正确的画“J”，错误的画“X”）

（1）地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。（J）

⑵两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。

（X）

⑶开普勒第三定律爷=女中A值与中心天体质量无关。（X）

（4）第一宇宙速度与地球的质量有关。（J）

（5）地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。（X）

2.（教科版必修2P44T2改编）火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根

据开普勒行星运动定律可知（）

A.太阳位于木星运行轨道的中心

B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面

积

C

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［太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；不同的行星对应不同的运

行轨道，运行速度大小也不相同，B错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫

/4戌殁ri

过的面积才能相同，D错误；由开普勒第三定律得黄=黄，故黄=,，C正确。］

3.（人教版必修2P43T2改编）若地球表面处的重力加速度为g,而物体在距

地面3R（R为地球半径）处，由于地球作用而产生的加速度为g',则t-为（）

A.1B.1

"一

Ju-16

［答案］D

4.（人教版必修2P48T3改编）若取地球的第一宇宙速度为8km/s,某行星的

质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，这颗行星的“第一宇宙速度”

约为（）

A.2km/sB.4km/s

C・16km/sD.32km/s

［答案］c

总结常考考点关键能力全突破破解高考疑难

考点1开普勒定律的应用［依题组训练］

1.关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是（）

A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律

B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律

C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因

D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律

B［开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定

律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没

有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律,

选项D错误。］

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2.（多选）（2019•抚州七校联考）2018年7月是精彩天象集中上演的月份，“

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水星东大距”“火星冲日”“月全食”等天象先后扮靓夜空，可谓精彩纷

呈。发生于北京时间7月28日凌晨的''月全食"，相对于2018年1月31日发

生的“月全食”来说，7月的全食阶段持续时间更长。已知月球绕地球的运动轨

道可看成椭圆，地球始终在该椭圆轨道的一个焦点上,则相对于1月的月球而言，

7月的月球（）

A.绕地球运动的线速度更大

B.距离地球更近

C.绕地球运动的线速度更小

D.距离地球更远

CD［地球绕着太阳公转，月球又绕着地球公转，发生月食的条件是地球处

于月球和太阳中间，挡住了太阳光，月全食持续的时间长短和太阳、地球、月

球三者的位置关系密切相关，7月这次月全食的时间比较长是由于月球和地球的

距离比较远。根据开普勒第二定律可知此时月球绕地球运动的线速度更小，故A、

B错误，C、D正确。］

3.如图为人造地球卫星的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球

轨道，GEO是地球同步轨道，GTO是地球同步转移轨道。已知地球的半径7?=

6400km,该图中MEO卫星的周期约为（图中数据为卫星近地点、远地点离地

面的高度）（）

A［根据题图中MEO卫星距离地面高度为4200km,可知轨道半径约为

/?i=10600km,同步轨道上GEO卫星距离地面高度为36000km,可知轨道半

径约为及=42400km,为MEO卫星轨道半径的4倍，即&=4Ri。地球同步

卫星的周期为T2=24h,运用开普勒第三定律，翳=得解得乃=3h,选项A

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正确。］

第4页，共21页

厂........困律总结...........一

应用开普勒行星运动定律的三点注意

(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。

(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。

(3)开普勒第三定律:=女中，”值只与中心天体的质量有关，不同的中心天

体左值不同。

,，总%万有引力定律的理解及应用［讲典例示法］

1.万有引力与重力的关系

地球对物体的万有引力b表现为两个效果：一是重力mg,二是提供物体随

地球自转的向心力产向，如图所示。

2

(1)在赤道上：=mg\+m(t)Ro

(2)在两极上：G喘=ing2。

2.星体表面上的重力加速度

(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：

GM

mg=Cr-^r，得g=R。

⑵在地球上空距离地心「=/?+力处的重力加速度为g',mg'=£^5,

,GM

=(R+h)2°

3.估算天体质量和密度的两种方法

(1)“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。

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①由G爷=mg,得天体质量”=警。

②天体密度,十=十二悬。

铲&

（2）“八r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径，和周期T。

4兀23.47r2/

①由G^=nr^r,Z侍B闻=石声。

②若已知天体的半径R,则天体的密度

__M_M_3+

P=~V=4~；=G『R3。

［典例示法］（多选）（2019•湖南地质中学三模）若宇航员在月球表面附近高h

处以初速度。。水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为心已知月球半径为R,

引力常量为G。则下列说法正确的是（）

hvi

A.月球表面的重力加速度g月=万

3hvi

B.月球的平均密度,=2nGI}R

___

c.月球的第一宇宙速度而

.hR2vi

D.月球的质量m月=~^T

关键信息：“水平抛出一个小球，测出水平射程”，可获得月球表面的重

力加速度。

［解析］设月球表面的重力加速度为g月，小球在月球表面做平抛运

动，根据平抛知识可知在水平方向上L=oof,在竖直方向上/i=；g月P,解得g月

2

2hvi,,皿Gm^m…,2hRviv.

=12,故A错伏；在月球表面一无5一=mg月,解付机月=—G^2,则月球密度

2hR2Vd

为2=产=詈匕=黑人，故B正确，D错误;月球的第一宇宙速度。=4赢

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-j-y［lhR,故C正确。

［答案］BC

「........易错警示j..........................................................................................

估算天体质量和密度的“四点”注意

(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是

中心天体的质量，而非环绕天体的质量。

(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r,只有在天体表面附近的卫星，才有

r=R；计算天体密度时，V=+R3中的“R”只能是中心天体的半径。

(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24h,公转周期为

365天等。

(4)注意黄金代换式GM=gR2的应用。

［跟进训练］

1.(多选)如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r

的圆轨道上。设地球质量为M,半径为R。下列说法正确的是()

A.地球对一颗卫星的引力大小为正二市

B.一颗卫星对地球的引力大小为罩场

C.两颗卫星之间的引力大小为空

D.三颗卫星对地球引力的合力大小为爷叫

BC［由万有引力定律知A项错误，B项正确；因三颗卫星连线构成等边三

角形，圆轨道半径为r,由数学知识易知任意两颗卫星间距d=2rcos3(T=5r

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,由万有引力定律知C项正确；因三颗卫星对地球的引力大小相等且互成

120°,故三颗卫星对地球引力的合力为0,则D项错误。］

2.若地球半径为R,把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙”号下潜深

度为d,“天宫一号”轨道距离地面高度为比“蛟龙”号所在处与“天宫一号”

所在处的重力加速度之比为()

R-d(R-d)2

AR+hB'(R+li)2

(R_Q(R+阳2(R_J)(R+M

C.R3d-R2

C［设地球的密度为〃，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，

有：g=G^,由于地球的质量为：M=p^nR3,所以重力加速度的表达式可写成：

GMG/37rW4

g=-^T=—^—=^nGpRo根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引

力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于住一公

的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g'=表6"便一

2'R—dMm

〃)，所以有~=一/。根据万有引力提供向心力6=溪需=次生“天宫一号”

SK("十九广

诉去扑的番内加海庭%GMaR2K_一(R-乃(R+/z)2从

所在处的重力加速度为J(R+协2，所々一(/?+m2，“一R3，故

C正确，A、B、D错误。］

3.(2019•合肥一中等六校联考)科学家计划在2025年将首批宇航员送往火星

进行考察。假设在火星两极宇航员用弹簧测力计测得一质量为m的物体的重力

为人，在火星赤道上宇航员用同一把弹簧测力计测得该物体的重力为尸2。通过

天文观测测得火星的自转角速度为“，已知引力常量为G,将火星看成是质量分

布均匀的球体，则火星的密度和半径分别为()

3/WF1-F2

A，4nG(Fi-Fi),mco2

3①21132

ZTTG'mco1

第8页，共21页

3Fift>2.1+.2

C-irG(尸1一/2)'mco2

3“FLF2

D，47tG'to2

A［在两极万有引力等于重力，G^r=F!；在赤道上万有引力提供重力及

向心力，Cr^—F2=m(t)2R,联立解得R=F；IQF；由^^=用，且知=；7昧3〃，

3尸IS2

解得尸菽函故A正端］

考点3宇宙速度及卫星运行参量的分析计算［讲典例示法］

1.宇宙速度与运动轨迹的关系

(1)。发=7.9km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。

(2)7.9km/s<v发<11.2km/s,卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。

(3)11.2km/sW。发<16.7km/s,卫星绕太阳做椭圆运动。

(4)。发N16.7km/s,卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。

2.物理量随轨道半径变化的规律

第9页，共21页

V2,CM1

m——

r

2粤2」越

Mmmo）二

rC­=

「百高

r越

规慢

zn域T二

律(r=%+h)

r

GM1

ma—^a-——a—

rr

mg=吗加（地球表面）~^GM=gR；

R地

3・同步卫星的六个“一定”

轨道平面一定轨道平面与赤道平面共面

周期一定与地球自转周期相同，即7=24h

角速度一定与地球自转的角速度相同

由G焉祭（R+用得同步卫星

高度一定

离地面的高度九=-R=6R（恒量）

速率一定

绕行方向一定与地球自转的方向一致

［典例示法］

如图所示，。为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运

动，力为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径）,

。为地球的同步卫星。下列关于。、b、c的说法中正确的是（）

,0

0,

A.b卫星转动线速度大于7.9km/s

B.a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为户以

C.a、b、。做匀速圆周运动的周期关系为Tc>Tb>Ta

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D.在6c中，〃的速度大

思路点拨：解此题抓住以下两个环节

(1)赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度(周期)；

(2)赤道上物体与卫星比较物理量时，要借助同步卫星过渡。

［解析］)为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定

律有G=i般,解得/写代入数据得0=7.9km/s,故A错误；地球

赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以3=g,根据a=rc02知，c

的向心加速度大于a的向心加速度，根据。=彳?得b的向心加速度大于c的向

心加速度，即恁＞%＞匹，故B错误；卫星c为同步卫星，所以£=或，根据T

曷得c的周期大于8的周期，即A=K＞乃，故C错误；在从c中，

根据可知的速度比。的速度大，故D正确。

［答案］D

厂........律总结...............................

研究卫星运行熟悉“三星一物”

(1)同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度的大小、角速度、绕行方向

均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。

(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实

现全球覆盖。

(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的

轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s。

(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力

的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于

卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等。

［跟进训练］

考向1宇宙速度的理解

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1.（多选）据悉，我国的火星探测已引起各国的关注，我国将于近几年进行

第一次火星探测，向火星发射轨道探测器和火星巡视器。已知火星的质量约为地

球质量的"火星的半径约为地球半径的;。下列关于火星探测器的说法中正确的

是（）

A.发射速度只要大于第一宇宙速度即可

B.发射速度只有达到第三宇宙速度才可以

C.发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度

D.火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的手

CD［要将火星探测器发射到火星上去，必须脱离地球引力，即发射速度要

大于第二宇宙速度，火星探测器仍在太阳系内运转，因此从她球上发射时，发

射速度要小于第三宇宙速度，选项A、B错误，C正确；由第一宇宙速度的概念，

得6爷=燕得0］=、愕，故火星探测器环绕火星运行的最大速度与地球

的第一宇宙速度的比值约为\及=坐，选项D正确。］

卜考向2卫星的运行问题

2.（2019•重庆一中月考汝口图所示，卫星A、5绕地球做匀速圆周运动，用T、

。、八S分别表示卫星的周期、加速度、速度、与地心连线在单位时间内扫过的

面积。下列关系式正确的是（）

A.TA>TB

C・VA>VBD.SA=SB

A［根据万有引力提供向心力可得9詈=一［=典詈=，％,可知线速度

为周期为丁=\/符/，加速度为4=??,A的轨道半径较大，则

VA<VB,

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TA>TB,aA<aB,故A正确，B、C错误；由开普勒第二定律可知绕一中心天

体运动的卫星与中心天体连线在相等时间内扫过的面积相等，4、5不是同一轨

道，所以A、3与地心连线在单位时间内扫过的面积不同，故D错误。］

考向3同步卫星、近地卫星与赤道上的物体

3.（2019•北京高考）2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星,

该卫星属于地球静止轨道卫星（同步卫星）。该卫星（）

A.入轨后可以位于北京正上方

B.入轨后的速度大于第一宇宙速度

C.发射速度大于第二宇宙速度

D.若发射到近地圆轨道所需能量较少

D［地球同步卫星的轨道一定位于赤道的正上方，而北京位于北半

球，并不在赤道上，所以该卫星入轨后不可能位于北京正上方，故A错误；第

一宇宙速度为最大的运行速度，即只有当卫星做近地飞行时才能近似达到的速

度，所以该卫星入轨后的速度一定小于第一宇宙速度，故B错误；成功发射人

造地球卫星的发射速度应大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，故C错误；

卫星需加速才可从低轨道运动至高轨道，故卫星发射到近地圆轨道所需能量较

发射到同步卫星轨道的少，故D正确。］

考点4卫星变轨问题［讲典例示法］

1.卫星发射及变轨过程概述

人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。

（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道I上。

（2）在4点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做

离心运动进入椭圆轨道n。

（3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道皿。

2.三个运行物理量的大小比较

第13页，共21页

⑴速度：设卫星在圆轨道i和ni上运行时的速率分别为。i、s,在轨道n

第13页，共21页

上过4点和5点速率分别为zu、在。在A点加速，则。4>矶，在5点加速,

则］V3>VB,又因Vl>V3,故有VA>V1>V3>VBO

(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道I还是

轨道n上经过4点，卫星的加速度都相同，同理，经过3点加速度也相同。

(3)周期：设卫星在I、II、III轨道上运行的周期分别为乃、T2、T3,轨道

半径分别为力、,2(半长轴)、-3,由开普勒第三定律捻=女可知71<72<乃。

［典例示法］

2017年1月18日，世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”在圆满完成4个

月的在轨测试任务后，正式交付用户单位使用。如图为“墨子号”变轨示意图，

轨道4与轨道5相切于P点，轨道5与轨道C相切于。点，以下说法正确的是

()

A.“墨子号”在轨道B上由P向。运动的过程中速率越来越大

B.“墨子号”在轨道C上经过。点的速率大于在轨道A上经过P点的速

率

C.“墨子号”在轨道B上经过P时的向心加速度大于在轨道A上经过P

点时的向心加速度

D.“墨子号”在轨道B上经过。点时受到的地球的引力小于经过P点时

受到的地球的引力

［解析］“墨子号”在轨道3上由尸向。运动的过程中，逐渐远离地心，

速率越来越小，选项A错误；“墨子号”在A、C轨道上运行时，轨道半径不

同，根据d詈=机手可得。=\浮，轨道半径越大，线速度越小，选项B错

误；“墨子号”在4、3两轨道上经过P点时，离地心的距离相等，受地球的引

力相等，所以加速度是相等的，选项C错误；“墨子号”在轨道5上经过。点

比经过P点时离地心的距离要远些，受地球的引力要小些，选项D正确。

第14页，共21页

［答案］D

1...............J5法技巧....

航天器变轨问题的“三点”注意

(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断;

稳定在新圆轨道上的运行速度变化由。=入岸判断。

(2)同一航天器在一个确定的圆(椭圆)轨道上运行时机械能守恒，在不同轨道

上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。

(3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨

道的速度。

［跟进训练］

1.(2019•临沂2月检测)2019年春节期间，中国科幻电影里程碑的作品《流

浪地球》热播。影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动

机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程如图所示，地球在椭圆轨道I上运

行到远日点3变轨，进入圆形轨道在圆形轨道H上运行到5点时再次加速

变轨，从而最终摆脱太阳束缚。对于该过程，下列说法正确的是()

A.沿轨道I运动至s点时，需向前喷气减速才能进入轨道n

B.沿轨道I运行的周期小于沿轨道II运行的周期

C.沿轨道I运行时，在A点的加速度小于在B点的加速度

D.在轨道I上由4点运行到B点的过程，速度逐渐增大

B［沿轨道I运动至5点时，需向后喷气加速才能进入轨道H,故选项A

错误；因在轨道I的半长轴小于轨道n的运动半径，根据开普勒第三定律可知，

Mm

沿轨道I运行的周期小于沿轨道U运行的周期，故选项B正确；由

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可得则沿轨道I运行时，在4点的加速度大于在8点的加速度,

故选项C错误；根据开普勒第二定律可知，在轨道I上由4点运行到B点的过

程，速度逐渐减小，选项D错误。］

2.（多选）如图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图，在地月转移段，若不计其

他星体的影响，关闭发动机后，下列说法正确的是（）

发

射轨道I

及

入

轨轨道U

段

太

阳卜面工作电、

帆

道

板

轨

修

展

道

正

开

修

正p/

轨道修正近月制动

A.“嫦娥三号”飞行速度一定越来越小

B.“嫦娥三号”的动能可能增大

C•“嫦娥三号”的动能和引力势能之和一定不变

D.“嫦娥三号”的动能和引力势能之和可能增大

AC［在地月转移段“嫦娥三号”所受地球和月球的引力之和指向地球，关

闭发动机后，“嫦娥三号”向月球飞行，要克服引力做功，动能一定减小，速

度一定减小，选项A正确，B错误。关闭发动机后，只有万有引力做功，“嫦

娥三号”的动能和引力势能之和一定不变，选项C正确，D错误。］

YANG.

HEXINSU

素养

科学思维一双星模型和多星模型

1.双星模型

⑴定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统,

如图所示。

第16页，共21页

⑵特点：

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即

Gmiim,Gmunz)

==

加1①fn,~^2tfiicoino

②两颗星的周期及角速度都相同，

即71=Ti9o)\—0)1Q

③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：n+r2=Lo

④两颗星到圆心的距离ri、厂2与星体质量成反比，即

m\n

mi~nQ

⑤双星的运动周期丁=2々就词。

4九2七3

⑥双星的总质量，〃1+，〃2=7后。

［示例1］双星系统中两个星球4、B的质量都是帆，A、B相距L,它们正

围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照

力学理论计算出的周期理论值如。，且微=A(kl),于是有人猜测这可能是受到了

一颗未发现的星球。的影响，并认为C位于双星A、5的连线正中间，相对A、

B静止，求：

(1)两个星球4、5组成的双星系统周期理论值To;

(2)星球C的质量。

［解析］⑴两星球的角速度相同，根据万有引力充当向心力知：写jnn而

=mncfA

可得：ri=n①

第17页，共21页

两星绕连线的中点转动，则有:

Gmm、,L、

=mX—cDi

解得3=4^②

所以To="=27T\/j^-。③

a)i\j2Gtn

(2)由于。的存在，双星的向心力由两个力的合力提供，则

Gmm.Mm1.,小

一~j^2-+G2='力5乙•二,④

©

T=~=kTo⑤

(02

联立③④⑤式解得M=Q二:?力

2gIL3(1-k2)m

［答案1⑴2、而⑵

2.多星模型

(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央

星体外，各星体的角速度或周期相同。

(2)三星模型：

①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径

为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。

②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。

甲乙丙丁

(3)四星模型：

①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正

方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。②

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另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于

中心0,外围三颗星绕。做匀速圆周运动(如图丁所示)。

［示例2］(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统,其中有一种三

星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边

长为R,忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心0

做匀速圆周运动，引力常量为G,则)

Qm