11.2-正弦定理-教学设计VIP

高中数学精选资源2/2第十一章解三角形11.2正弦定理在教科书中，注重数学知识的应用性，体现学以致用的原则，让学生自主体验数学在解决问题中的作用，提高学生的分析问题和解决问题的能力，培养数学应用意识；注重数学内部不同分支之间的联系、数学与日常生活的联系、数学与其他学科的联系，从而提高学生对数学的整体认识，体现数学的文化价值．课程目标学科素养借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.掌握正弦定理，能用正弦定理解决简单的解三角形问题.a逻辑推理:通过证明正弦定理的过程，培养逻辑推理素养.B数学运算:通过运用正弦定理解三角形，提升数学运算素养.1.教学重点：能用正弦定理解决简单的解三角形问题.2.教学难点：借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.多媒体调试、讲义分发。古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据.当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD.古埃及人是如何利用这些数据计算的呢？问题1如图，在Rt△ABC中，eq\f(a,sinA)，eq\f(b,sinB)，eq\f(c,sinC)各自等于什么？提示eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝c.问题2在一般的△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)还成立吗？课本是如何说明的？你还有其他方法吗？提示在一般的△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)仍然成立，课本借助直角三角形和向量的数量积来证明.还可借助外接圆或向量的投影来证明.正弦定理的表示(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径.(2)符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为△ABC的外接圆的半径).题型一已知两角及一边解三角形【例1】已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.解根据正弦定理，得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(10×sin45°,sin30°)＝10eq\r(2).又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.所以b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(10×sin105°,sin30°)＝20sin75°＝20×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝5(eq\r(6)＋eq\r(2)).规律方法(1)正弦定理实际上是三个等式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.(2)因为三角形内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.【训练1】在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短边的边长.解因为B＝45°，C＝60°，所以A＝75°，故B角最小，所以b为最短边，由正弦定理eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)，得b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(sin45°,sin60°)＝eq\f(\r(6),3)，故所求的最短边长为eq\f(\r(6),3).题型二已知两边及一边的对角解三角形已知两边及一边的对角时，三角形的解的情况不确定，解题时注意不要漏解【例2】在△ABC中，已知a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°，求A，C和c.解由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，知sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3),2)，∵b<a，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin75°,sin45°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)；当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin15°,sin45°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).故当A＝60°时，C＝75°，c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)；当A＝120°时，C＝15°，c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).规律方法已知三角形两边及一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.【训练2】已知在△ABC中，A＝45°，c＝eq\r(6)，a＝2，解此三角形.解由正弦定理，得sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(\r(6)×\f(\r(2),2),2)＝eq\f(\r(3),2)，又c>a，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\r(3)＋1；当C＝120°时，B＝15°，b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\r(3)－1.题型三判断三角形的形状【例3】(1)若acosB＝bcosA，则△ABC是________三角形；(2)若acosA＝bcosB，则△ABC是________三角形.解析(1)由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB).又acosB＝bcosA，所以eq\f(a,b)＝eq\f(cosA,cosB)，所以eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(cosA,cosB)，所以sinA·cosB＝sinB·cosA，即sinA·cosB－sinB·cosA＝0，故sin(A－B)＝0，∵A，B是三角形内角，所以A－B＝0，则A＝B，故△ABC是等腰三角形.(2)由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB).又acosA＝bcosB，所以eq\f(a,b)＝eq\f(cosB,cosA)，所以eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(cosB,cosA)，所以sinA·cosA＝sinB·cosB，所以2sinA·cosA＝2sinB·cosB，即sin2A＝sin2B，∵A，B为三角形内角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.答案(1)等腰(2)等腰或直角规律方法利用正弦定理判断三角形形状的方法：(1)化边为角.将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；(2)化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状.【训练3】在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.解在△ABC中，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为△ABC外接圆半径).∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2R)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2R)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2R)))eq\s\up12(2)，即a2＝b2＋c2，∴A＝90°，∴B＋C＝180°－A＝90°.又sinA＝2sinBcosC，∴sin90°＝2sinBcos(90°－B)，∴sin2B＝eq\f(1,2).∵B是锐角，∴sinB＝eq\f(\r(2),2)，∴B＝45°，C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形.)1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝eq\f(1,3)，则sinB＝()A.eq\f(1,5) B.eq\f(5,9) C.eq\f(\r(5),3) D.1解析依题意，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(3,\f(1,3))＝eq\f(5,sinB)，得sinB＝eq\f(5,9)，选B.答案B2.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3eq\r(2)，则AC＝()A.4eq\r(3) B.2eq\r(3) C.eq\r(3) D.eq\f(\r(3),2)解析由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，得eq\f(3\r(2),sin60°)＝eq\f(AC,sin45°)，所以AC＝eq\f(3\r(2),\f(\r(3),2))×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(3).答案B3.在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，则△ABC是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形解析由sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，得a∶b∶c＝3∶4∶5.不妨设a＝3k，b＝4k，c＝5k(k>0)，则有c2＝a2＋b2，