24.2.2直线和圆的位置关系（第3课时） 课件 2024-2025学年人教版（2012）九年级数学上册

24.2.2直线和圆的位置关系(第3课时)人教版（2012）九年级上册学习目录PartOne壹学习目录了解切线长的定义及切线长定理1会运用切线长定理进行计算与证明2认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质3探索新知PartTwo贰知识回顾还记得上节课我们学习的过圆上一点作已知圆的切线吗？∟oPl在同一个平面内，有一点P和☉O，过点P能否作☉O的切线？如果能，可以作几条切线？如果不能，说明理由.知识回顾点P和⊙O的位置关系点P在⊙O内点P在⊙O上点P在⊙O外知识回顾1.点P在⊙O内过点P的直线都与圆相交，所以不存在过P点的直线与⊙O相切.知识回顾2.点P在⊙O上作法：①连接OP；②过P点作已知线段OP的垂线l，直线l即为⊙O的切线.作图依据：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.知识回顾3.点P在⊙O外作法：连接OP,①作线段OP的中点M；②作以M为圆心，OM长为半径的⊙M

，与⊙O交于A，B两点；③作直线PA，PB，则直线PA，PB即为⊙O的两条切线.作图依据？知识回顾3.点P在⊙O外作图依据：①直径所对的圆周角是直角；②经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；③两点确定一条直线.知识回顾总结：点P在⊙O内，过P点，不存在圆的切线；点P在⊙O上，过P点，可以作圆的一条切线；点P在⊙O外，过P点，可以作圆的两条切线.探索新知

知识点1切线长定理及其应用APOB如图，线段PA，PB的长就是点P到☉O的切线长．切线长：经过圆外一点的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线是直线，不能度量.切线长是圆外一点和切点之间的线段的长，可以度量．12探索新知

知识点1切线长定理及其应用探究如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？PA=PB∠APO=∠BPO你能证明你的结论吗？猜想：探索新知

知识点1切线长定理及其应用探究如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？证明：连接OA，OB∵PA和PB是☉O的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP.∴PA=PB，∠APO=∠BPO∟∟思考你能用简洁的语言把这一结论总结出来吗？切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.符号表示：∵PA、PB分别与☉O相切于点A、B，∴

PA=PB

，

∠OPA=∠OPB.探索新知

知识点1切线长定理及其应用思考若连接两切点

A，B，AB交

OP于点

M.你又能得出什么新的结论?请给出证明.探索新知

知识点1切线长定理及其应用解：OP垂直平分

AB.证明：∵

PA，PB是

☉O的切线，

点

A，B是切点，

∴

PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.

∴

OP垂直平分

AB.MOPABPA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C.探索新知

知识点1切线长定理及其应用延伸BPOACED（1）图中所有的垂直关系：OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP.（2）图中与∠OAC和∠AOC相等的角：∠OAC＝∠OBC＝∠APC＝∠BPC.∠AOC＝∠BOC＝∠PAC＝∠PBC（3）图中所有的相等的线段：PA＝PB，AC

＝BC，OA

＝OB.（4）图中所有的全等三角形:△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.（5）图中所有的等腰三角形:△ABP，△AOB探索新知

知识点2三角形的内切圆及其作法思考如图，下面是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？请动手画一画．作圆的关键是什么？

确定圆心和半径．怎样确定圆心的位置？

作两条角平分线，其交点就是圆心的位置．圆心的位置确定后，怎样确定圆的半径？

过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长

就是圆的半径．圆心到三条边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等相切时圆心到直线的距离等于半径探索新知

知识点2三角形的内切圆及其作法已知△ABC，求作一个圆，使它与△ABC的三条边都相切．IMN∟D

作法：

1．作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I；

2．过点I作ID⊥BC，垂足为D；

3．以I为圆心，ID为半径作☉I，☉I就是所求．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形的内切圆三角形的内心三角形内心的性质三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形三边的距离相等.BACIEFG

AI、BI、CI分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA，IE=IF=IG.探索新知

知识点2三角形的内切圆及其作法例2△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13，求AF、BD、CE的长.

根据切线长定理可以得到：AF＝AE，BF＝BD，CD＝CE.如果设AF＝x，那么其他线段就都可以用含x的式子来表示，然后利用线段之间的和差关系建立方程即可求出.分析：ACEDFOB例2△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13，求AF、BD、CE的长.解：设AF＝x，则AE＝x，CD＝CE＝AC

AE＝13

x，BD＝BF＝AB

AF＝9

x.由BD+CD＝BC，可得

(9

x)+(13

x)＝14.解得x＝4.因此AF＝4，BD＝5，CE＝9.ACEDFOBxx13

x13

x9

x9

x14方程思想有关三角形内切圆的两个重要结论延伸探索新知

知识点2三角形的内切圆及其作法

解：有关三角形内切圆的两个重要结论延伸探索新知

知识点2三角形的内切圆及其作法

其中a，b为直角三角形的直角边长；c为斜边长.探索新知

知识点2三角形的内切圆及其作法三角形的外接圆与三角形的内切圆，有什么区别呢？图形名称性质位置角度关系

外心：三角形外接圆的圆心（或三角形三边中垂线的交点）.三角形外心到三角形的三个顶点的距离相等.即OA=OB=OC.锐角三角形的外心在形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在形外.内心：三角形内切圆的圆心（或三角形三内角平分线的交点）.三角形内心到三角形的三边的距离相等.即ID=IE=IF.三角形的内心一定在三角形内.当堂检测PartThree叁DBBCA

课堂总结切线长切线长定