高考数学（理）培优增分一轮全国经典版培优讲义第5章第3讲等比数列及其前n项和

第3讲等比数列及其前n项和板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1等比数列的有关概念1．定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq\f(an＋1,an)＝q.2．等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab(ab≠0)．考点2等比数列的有关公式1．通项公式：an＝a1qn－1.2．前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))[必会结论]等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k).(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))(λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.(5)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(6)等比数列{an}满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1))时，{an}是递增数列；满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1))时，{an}是递减数列．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．()(2)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(3)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.()(4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．()(5)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．[2018·河南名校联考]在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝3，a9＝a2a3a4，则公比q的值为(A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．3答案D解析由a9＝a2a3a4得a1q8＝aeq\o\al(3,1)q6，所以q2＝aeq\o\al(2,1)，因为等比数列{an}的各项都为正数，所以q＝a1＝3.故选D.3．[课本改编]等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,9)D．－eq\f(1,9)答案C解析由已知条件及S3＝a1＋a2＋a3，得a3＝9a1，设数列{an}的公比为q，则q2＝所以a5＝9＝a1·q4＝81a1，得a1＝eq\f(1,9).故选C.4．[2018·黄冈调研]设等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，则eq\f(S4,a3)的值()A.eq\f(15,4)B.eq\f(15,2)C.eq\f(7,4)D.eq\f(7,2)答案A解析根据等比数列的公式，得eq\f(S4,a3)＝eq\f(\f(a11－q4,1－q),a1q2)＝eq\f(1－q4,1－qq2)＝eq\f(1－24,1－2×22)＝eq\f(15,4).故选A.5．[2015·全国卷Ⅰ]在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.答案6解析∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又∵Sn＝126，∴eq\f(21－2n,1－2)＝126，∴n＝6.6．[2018·衡中检测]在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.答案4或－4解析设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q3－a1q＝6，,a1q4－a1＝15，))两式相除，得eq\f(q,1＋q2)＝eq\f(2,5)，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝eq\f(1,2).所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－16，,q＝\f(1,2).))故a3＝4或a3＝－4.板块二典例探究·考向突破考向等比数列的基本运算例1(1)[2017·全国卷Ⅱ]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏答案B解析设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝eq\f(a11－q7,1－q)＝eq\f(a11－27,1－2)＝381，解得a1＝3.故选B.(2)[2017·江苏高考]等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝eq\f(7,4)，S6＝eq\f(63,4)，则a8＝________.答案32解析设{an}的首项为a1，公比为q，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q3,1－q)＝\f(7,4)，,\f(a11－q6,1－q)＝\f(63,4)，))两式相除得eq\f(1－q3,1－q6)＝eq\f(1－q3,1－q31＋q3)＝eq\f(1,9)，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,4)，,q＝2，))所以a8＝eq\f(1,4)×27＝25＝32.触类旁通等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．【变式训练1】(1)[2018·东北师大附中月考]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝eq\f(5,2)，且a2＋a4＝eq\f(5,4)，则eq\f(Sn,an)＝()A．4n－1 B．4n－1C．2n－1 D．2n－1答案D解析设等比数列的公比为q，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q2＝\f(5,2)，,a1q1＋q2＝\f(5,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,q＝\f(1,2)，))则an＝a1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq\f(a1,2n－1)，Sn＝eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝eq\f(a12n－1,2n－1)，所以eq\f(Sn,an)＝2n－1.故选D.(2)[2018·安徽皖江名校联考]已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝________.答案128解析∵a2·a4＝aeq\o\al(2,3)＝16，∴a3＝4(负值舍去)，∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴q≠1，S2＝eq\f(a11－q2,1－q)＝eq\f(\f(4,q2)1＋q1－q,1－q)＝3，∴3q2－4q－4＝0，解得q＝－eq\f(2,3)或q＝2，∵an>0，∴q＝－eq\f(2,3)舍去，∴q＝2，∴a1＝1，∴a8＝27＝128.

考向等比数列的性质命题角度1等比数列性质的应用例2(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5A．5eq\r(2)B．7C．6D．4eq\r(2)答案A解析(a1a2a3)×(a7a8a9)＝aeq\o\al(6,5)＝50，a4a5a6＝aeq\o\al(3,5)＝5eq\r(2).选A.(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝答案31解析a3a5＝a2a6＝64，因为a3＋a5＝20，所以a3和a5为方程x2－20x＋64＝0的两根，因为an>0，q>1，所以a3<a5，所以a5＝16，a3＝4，所以q＝eq\r(\f(a5,a3))＝eq\r(\f(16,4))＝2，所以a1＝eq\f(a3,q2)＝eq\f(4,4)＝1，所以S5＝eq\f(1－q5,1－q)＝31.命题角度2等比数列前n项和性质的应用例3(1)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于()A.eq\f(1,8)B．－eq\f(1,8)C.eq\f(57,8)D.eq\f(55,8)答案A解析因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝eq\f(1,8).故选A.(2)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80B．30C．26D．16答案B解析由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.故选B.触类旁通等比数列的性质应用问题(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．考向等比数列的判定与证明例4[2018·兰州模拟]已知数列{an}满足对任意的正整数n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8.(1)证明：数列{an－3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝eq\f(an,3n)，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)因为an＋1＝5an－2·3n，所以an＋1－3n＋1＝5an－2·3n－3n＋1＝5(an－3n)，又a1＝8，所以a1－3＝5≠0，所以数列{an－3n}是首项为5、公比为5的等比数列．所以an－3n＝5n，所以an＝3n＋5n.(2)由(1)知，bn＝eq\f(an,3n)＝eq\f(3n＋5n,3n)＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))n，则数列{bn}的前n项和Tn＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))1＋1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))2＋…＋1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))n＝n＋eq\f(\f(5,3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))n)),1－\f(5,3))＝eq\f(5n＋1,2·3n)＋n－eq\f(5,2).触类旁通等比数列的判定方法(1)定义法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．提醒前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中．【变式训练2】已知数列{an}满足2a1＋4a2＋…＋2nan＝eq\f(nn＋1,2).(1)求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Tn.解(1)证明：当n＝1时，由2a1＝1，得a1＝eq\f(1,2)，当n≥2时，由2a1＋4a2＋…＋2nan＝eq\f(nn＋1,2)，得2a1＋4a2＋…＋2n－1an－1＝eq\f(n－1n,2)，于是2nan＝eq\f(nn＋1,2)－eq\f(n－1n,2)＝n，整理得eq\f(an,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，又a1＝eq\f(1,2)符合上式，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等比数列．(2)由(1)得，an＝n·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，Tn＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋…＋n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，①eq\f(1,2)Tn＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＋…＋n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1，②由①－②得eq\f(1,2)Tn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1，即Tn＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1－n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n,1－\f(1,2))－n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝2－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝2－eq\f(n＋2,2n).核心规律1.已知a1、q、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．2.证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法，其他方法用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．满分策略1.求解等比数列的问题，要注意等比数列性质的应用以减少运算量，而提高解题速度．2.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.板块三启智培优·破译高考易错警示系列8——数列中的思维定式致误[2018·武汉检测]已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是()A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪[1，＋∞)C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)错因分析本题易错的原因是受q>0的思维定式的影响，遗漏当q<0时的情况，认为S3＝eq\f(1,q)＋1＋q≥3.解析因为等比数列{an}中a2＝1，设其公比为q，所以S3＝a1＋a2＋a3＝a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)＋1＋q))＝1＋q＋eq\f(1,q).当公比q>0时，S3＝1＋q＋eq\f(1,q)≥1＋2eq\r(q·\f(1,q))＝3，当且仅当q＝1时，等号成立；当公比q<0时，S3＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－q－\f(1,q)))≤1－2eq\r(－q·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,q))))＝－1，当且仅当q＝－1时，等号成立．所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案D答题启示等比数列的公比q<0时，相邻两项一定异号，相隔一项的两项符号一定相同；等比数列的公比q>0时，数列中的各项符号相同；用等比数列前n项和公式时，如果其公比q不确定，要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论.跟踪训练已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(A．7B．5C．－5D．－7答案D解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝2，,a5a6＝a4a7＝－8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4.))当a4＝4，a7＝－2时，易得a1＝－8，a10＝1，从而a1＋a10＝－7；当a4＝－2，a7＝4时，易得a10＝－8，a1＝1，从而a1＋a10＝－7.故选D.板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于()A．3B．－3C．－1D．1答案A解析两等式相减得a4－a3＝2a3，从而求得eq\f(a4,a3)＝3＝q.故选A.2．已知等比数列{an}满足a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝()A．2B．1C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,8)答案C解析设等比数列{an}的公比为q，a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，由题可知q≠1，则a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，∴eq\f(1,16)×q6＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×q3－1))，∴q6－16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，∴q3＝8，∴q＝2，∴a2＝eq\f(1,2).故选C.3．[2018·江西九江一模]已知单调递增的等比数列{an}中，a2·a6＝16，a3＋a5＝10，则数列{an}的前n项和Sn＝()A．2n－2－eq\f(1,4) B．2n－1－eq\f(1,2)C．2n－1 D．2n＋1－2答案B解析因为a2·a6＝16，所以a3·a5＝16，又a3＋a5＝10，等比数列{an}单调递增，所以a3＝2，a5＝8，所以公比q＝2，a1＝eq\f(1,2)，所以Sn＝eq\f(\f(1,2)1－2n,1－2)＝2n－1－eq\f(1,2).故选B.4．[2018·延庆模拟]等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()A．n(n＋1) B．n(n－1)C.eq\f(nn＋1,2) D.eq\f(nn－1,2)答案A解析∵a2，a4，a8成等比数列，∴aeq\o\al(2,4)＝a2·a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，将d＝2代入上式，解得a1＝2，∴Sn＝2n＋eq\f(nn－1·2,2)＝n(n＋1)．故选A.5．[2015·全国卷Ⅱ]已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．84答案B解析设等比数列{an}的公比为q，则a1(1＋q2＋q4)＝21，又a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故选B.6．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a3a5＝eq\f(1,4)a1，且a4与a7的等差中项为eq\f(9,8)，则S5等于()A．35B．33C．31D．29答案C解析设等比数列{an}的公比是q，所以a3a5＝aeq\o\al(2,1)q6＝eq\f(1,4)a1，得a1q6＝eq\f(1,4)，即a7＝eq\f(1,4).又a4＋a7＝2×eq\f(9,8)，解得a4＝2，所以q3＝eq\f(a7,a4)＝eq\f(1,8)，所以q＝eq\f(1,2)，a1＝16，故S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(16\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,32))),1－\f(1,2))＝31.故选C.7．[2018·昆明模拟]设Sn是等比数列{an}的前n项和，若eq\f(S4,S2)＝3，则eq\f(S6,S4)＝()A．2B.eq\f(7,3)C.eq\f(3,10)D．1或2答案B解析设S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，∴S6＝7k，S4＝3k，∴eq\f(S6,S4)＝eq\f(7k,3k)＝eq\f(7,3).故选B.8．已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则eq\f(b2,a1＋a2)的值为________．答案eq\f(3,10)解析因为1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以beq\o\al(2,2)＝1×9＝9，易知b2>0，所以b2＝3，所以eq\f(b2,a1＋a2)＝eq\f(3,10).9．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)．这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．答案eq\f(－1＋\r(5),2)解析已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2.因为b>a，所以b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝eq\f(－1＋\r(5),2)或x＝eq\f(－1－\r(5),2)(舍去)．10．等比数列{an}满足：对任意n∈N*,2(an＋2－an)＝3an＋1，an＋1>an，则公比q＝________.答案2解析由题知2(anq2－an)＝3anq，即2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－eq\f(1,2)，又an＋1>an，故q＝2.[B级知能提升]1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－eq\f(1,6)，则x的值为()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案C解析解法一：∵Sn＝x·3n－1－eq\f(1,6)＝eq\f(x,3)·3n－eq\f(1,6)，由上述结论，得eq\f(x,3)＝eq\f(1,6)，∴x＝eq\f(1,2).解法二：当n＝1时，a1＝S1＝x－eq\f(1,6)；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2.∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，即2x·3－1＝x－eq\f(1,6)，解得x＝eq\f(1,2).故选C.2．记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m的值为(A．4B．7C．10D．12答案A解析因为{an}是等比数列，所以am－1am＋1＝aeq\o\al(2,m).又am－1am＋1－2am＝0，则aeq\o\al(2,m)－2am＝0.所以am＝2.由等比数列的性质可知前2m－1项积T2m－1＝aeq\o\al(2m－1,m)，即22m－1＝128，故m＝4.选A.3．[2016·全国卷Ⅰ]设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________答案64解析设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得