高考物理一轮讲义高考必考题突破讲座（九）带电粒子在有界磁场中的临界极值问题

高考必考题突破讲座(九)带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题题型特点考情分析命题趋势带电粒子在有界磁场中的运动问题是历年高考的热点，特别是带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题，考查以综合计算为主，也有选择题出现，对此类问题的分析要把握好带电粒子的基本运动形式和重要的解题技巧、规律、方法2017·全国卷Ⅱ，182015·山东卷，242015·四川卷，17带电粒子在有界磁场中的运动，一般涉及临界和边界问题，临界值、边界值常与极值问题相关联.2019年高考命题主要会从临界状态、边界状态的确定以及所需满足的条件等设计考题材料1．带电粒子在磁场中偏转的临界、极值问题流程图eq\x(画轨迹)→eq\x(找联系)→eq\x(用规律)2．涉及问题(1)画轨迹：画出带电粒子在磁场中运动轨迹，并确定圆心，求半径．(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系；偏转角与圆心角、运动时间相联系；在磁场中运动的时间与周期相联系．(3)用规律：牛顿运动规律和圆周运动规律，特别是周期公式、半径公式．►解题方法1．动态放缩法当粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆的圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置(半径R)不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中即可发现“临界点”，如图甲临界情景为②和④．2．定圆旋转法当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转(作图)中，也容易发现“临界点”．另外，要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、直观，如图乙．3．数学解析法写出轨迹圆和边界的解析方程，应用物理和数学知识求解．[例1](2017·江苏苏州一模)如图所示，在屏蔽装置底部中心位置O点放一医用放射源，可通过细缝沿扇形区域向外辐射速率为v＝3.2×106m/s的α粒子．已知屏蔽装置宽AB＝9cm，缝长AD＝18cm，α粒子的质量m＝6.64×10－27kg，电荷量q＝3.2×10－19C．若在屏蔽装置右侧条形区域内加一匀强磁场来隔离辐射，(1)若所有的α粒子均不能从条形磁场隔离区的右侧穿出，则磁场的宽度d至少是多少？(2)若条形磁场的宽度d＝20cm，则射出屏蔽装置的α粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间各是多少？(解析(1)由题意AB＝9cm，AD＝18cm，可得∠BAO＝∠ODC＝45°，所有α粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，设为R，根据牛顿第二定律有Bqv＝eq\f(mv2,R)，解得R＝0.2m由题意及几何关系可知：若条形磁场区域的右边界与沿OD方向进入磁场的α粒子的圆周轨迹相切，则所有α粒子均不能从条形磁场隔离区右侧穿出，此时磁场的宽度最小，如图甲所示．设此时磁场宽度d＝d0，由几何关系得d0＝R＋Rcos45°＝(20＋10eq\r(2))cm．则磁场的宽度至少为(20＋10eq\r(2))×10－2m．(2)设α粒子在磁场内做匀速圆周运动的周期为T，则T＝eq\f(2πm,Bq)＝eq\f(π,8)×10－6s．设速度方向垂直于AD进入磁场区域的α粒子的入射点为E，如图乙所示．因磁场宽度d＝20cm<d0，且R＝20cm，则在∠EOD间辐射进入磁场区域的α粒子均能穿出磁场右边界，在∠EOA间辐射进入磁场区域的α粒子均不能穿出磁场右边界，沿OE方向进入磁场区域的α粒子运动轨迹与磁场右边界相切，在磁场中运动时间最长，设在磁场中运动的最长时间为tmax，则tmax＝eq\f(T,2)＝eq\f(π,16)×10－6s．若α粒子在磁场中做匀速圆周运动对应的圆弧轨迹的弦长最短，则α粒子在磁场中运动的时间最短．最短的弦长为磁场宽度d.设在磁场中运动的最短时间为tmin，轨迹如图乙所示，因R＝d，则圆弧对应的圆心角为60°，故tmin＝eq\f(T,6)＝eq\f(π,48)×10－6s．答案(1)(20＋10eq\r(2))×10－2m(2)tmax＝eq\f(π,16)×10－6stmin＝eq\f(π,48)×10－6s角度1速度方向一定，大小不同带电粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场中，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径随速度的变化而变化．若粒子从定点P以速度v0射入磁场，则轨迹圆心一定在PP′直线上(PP′⊥v0)，将半径放缩作轨迹，从而得到临界条件．角度2速度方向一定，方向不同带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径R＝eq\f(mv0,qB).改变初速度v0的方向，粒子运动的轨迹也随之改变，但所有带电粒子在磁场中运动的轨迹圆的圆心，均在以入射点为圆心，半径R＝eq\f(mv0,qB)的圆上．[例1]如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h．质量为m、带电量为＋q的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g．(1)求电场强度的大小和方向；(2)要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值；(3)若离子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值．解析本题考查带点粒子在复合场中的运动．(1)设电场强度大小为E．由题意有mg＝qE，得E＝eq\f(mg,q)，方向竖直向上．(2)如图甲所示，设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值为vmin，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r1和r2，圆心的连线与NS的夹角为φ．由r＝eq\f(mv,qB)，有r1＝eq\f(mvmin,qB)，r2＝eq\f(1,2)r1．由(r1＋r2)sinφ＝r2，r1＋r1cosφ＝h．vmin＝(9－6eq\r(2))eq\f(qBh,m)．(3)如图乙所示，设粒子入射速度为v，粒子在上、下方区域的运动半径分别为r1和r2，粒子第一次通过KL时距离K点为x．由题意有3nx＝1.8h.(n＝1,2,3…)eq\f(3,2)x≥eq\f(9－6\r(2)h,2)，x＝eq\r(r\o\al(2,1)－h－r12)，得r1＝(1＋eq\f(0.36,n2))eq\f(h,2)，n<3.5，即n＝1时，v＝eq\f(0.68qBh,m)；n＝2时，v＝eq\f(0.545qBh,m)；n＝3时，v＝eq\f(0.52qBh,m)．答案(1)E＝eq\f(mg,q)，方向竖直向上(2)(9－6eq\r(2))eq\f(qBh,m)(3)见解析1如图所示圆形区域内，有垂直于纸面方向的匀强磁场．一束质量和电荷量都相同的带电粒子，以不同的速率，沿着相同的方向，对准圆心O射入匀强磁场，又都从该磁场中射出．这些粒子在磁场中的运动时间有的较长，有的较短．若带电粒子在磁场中只受磁场力的作用，则在磁场中运动的带电粒子(D)A．速率越大的运动时间越长B．运动时间越长的周期越大C．速率越小的速度方向变化的角度越小D．运动时间越长的半径越小2．如图所示，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，一电荷量为q、质量为m的负离子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为eq\f(R,2).已知离子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则离子的速率为(不计重力)(D)A．eq\f(qBR,2m) B．eq\f(qBR,m)C．eq\f(3qBR,2m) D．eq\f(2qBR,m)解析设带负电离子在匀强磁场中运动轨迹的半径为r，速率为v.根据题述，带负电离子射出磁场与射入磁场时速度方向之间的夹角为60°，可知带电离子运动轨迹所对的圆心角为60°，rsin30°＝R.如图所示．由qvB＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\f(2qBR,m)，选项D正确．3．如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S.某一时刻，从S平行于纸面向各个方向以某一速率发射出大量比荷为eq\f(q,m)的同种正电粒子，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场，已知磁场的磁感应强度大小为B，∠AOC＝60°，O、S两点间的距离为L，从OC边界射出的粒子在磁场中运动的最短时间t＝eq\f(2πm,3qB)，忽略重力的影响和粒子间的相互作用，则粒子的速率为(A)A．eq\f(qBL,2m) B．eq\f(qBL,m)C．eq\f(\r(3)qBL,2m) D．eq\f(\r(3)qBL,m)解析由于粒子速率一定，带电粒子在磁场中运动时间最短时，轨迹所对应弦长最短，即弦长d＝Lsin60°＝eq\f(\r(3),2)L，由最短时间t＝eq\f(2πm,3qB)知粒子运动轨迹所对应圆心角为120°，由几何关系知Rsin60°＝eq\f(1,2)d，由洛伦兹力提供向心力，得qvB＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\f(qBL,2m)，选项A正确．4．空间有一圆柱形匀强磁场区域，O为圆心，磁场方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从A点沿图示箭头方向以速率v射入磁场，θ＝30°，粒子在纸面内运动，经过时间t离开磁场时速度方向与半径OA垂直．不计粒子重力．若粒子速率变为eq\f(v,2)，其他条件不变，粒子在圆柱形磁场中运动的时间为(C)A．eq\f(t,2) B．tC．eq\f(3t,2) D．2t解析粒子以速度v进入磁场时，根据几何关系，四边形AOBO′为菱形，O、O′分别在两圆的圆周上，如图所示．粒子在磁场中运动的圆心角为∠AO′B＝eq\f(2π,3)；粒子以速度eq\f(v,2)进入磁场时，根据几何关系，粒子在磁场中运动的圆心角为π，两次粒子做圆周运动的周期相同，运动时间之比就等于圆心角之比，所以第二次粒子在磁场运动时间为eq\f(3,2)t.故选项C正确．5．(2017·全国卷Ⅰ)如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂且于纸面向里．三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为ma、mb、mc.已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动．下列选项正确的是(B)A．ma>mb>mc B．mb>ma>mcC．mc>ma>mb D．mc>mb>ma解析该空间区域为匀强电场、匀强磁场和重力场的叠加场，a在纸面内做匀速圆周运动，可知其重力与所受到的电场力平衡，洛伦兹力提供其做匀速圆周运动的向心力，有mag＝qE，解得ma＝eq\f(qE,g).b在纸面内向右做匀速直线运动，由左手定则可判断出其所受洛伦兹力方向竖直向上，可知mbg＝qE＋qvbB，解得mb＝eq\f(qE,g)＋eq\f(qvbB,g).c在纸面内向左做匀速直线运动，由左手定则可判断出其所受洛伦兹力方向竖直向下，可知mcg＋qvcB＝qE，解得mc＝eq\f(qE,g)－eq\f(qvcB,g).综上所述，可知mb>ma>mc，选项B正确．6．(2017·全国卷Ⅱ)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点．大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场．若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用．则v2：v1为(C)A．eq\r(3)∶2 B．eq\r(2)∶1C．eq\r(3)∶1 D．3∶eq\r(2)解析由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由qvB＝meq\f(v2,R)可知，R＝eq\f(mv,qB)，即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同．若粒子运动的速度大小为v1，如图所示，通过旋转圆可知，当粒子的磁场出射点A离P点最远时，则AP＝2R1；同样，若粒子运动的速度大小为v2，粒子的磁场出射点B离P点最远时，则BP＝2R2，由几何关系可知，R1＝eq\f(R,2)，R2＝Rcos30°＝eq\f(\r(3),2)R，则eq\f(v2,v1)＝eq\f(R2,R1)＝eq\r(3)，故选项C正确．7．如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤eq\f(a,2)范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，坐标原点O处有一个粒子源．在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内．已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于eq\f(a,2)到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时：(1)速度的大小；(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦值.解析设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式，得qvB＝meq\f(v2,R)．解得R＝eq\f(mv,qB)，当eq\f(a,2)<R<a时，在磁场中运动时间最长的粒子，其对应圆心角最大，其轨迹是