专题培优课　指数对数幂的大小比较

专题培优课指数、对数、幂的大小比较【考情分析】指数、对数、幂的大小比较是近三年新高考的热点，有时也是难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题的形式出现．关键能力·题型剖析题型一直接法比较大小角度一利用函数的性质例1[2024·广东东莞模拟]若a＝1213，b＝1223，c＝A．c<a<bB．a<b<cC．b<a<cD．b<c<a[听课记录]角度二找中间值例2[2024·重庆沙坪坝模拟]设a＝log0.20.3，b＝log20.3，c＝20.3，则()A．a>b>cB．b>c>aC．a>c>bD．c>a>b[听课记录]角度三特殊值法例3[2024·黑龙江哈尔滨模拟]若a>b>1，0<c<1，则()A．logac>logbc B．logca>logcbC．ac<bc D．ca>cb[听课记录]题后师说利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，12，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较．巩固训练1(1)已知a＝(43)－0.1，b＝(34)－0.1，c＝5-3，则A．b>c>a B．b>a>cC．a>b>c D．c>b>a(2)[2024·河南洛阳模拟]已知a＝1235，b＝1253，c＝A．b<a<c B．a<b<cC．c<a<b D．c<b<a(3)已知a>b>1，0<c<12，则下列结论正确的是(A．ac<bc B．abc<bacC．alogbc<blogac D．logac<logbc题型二利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小例4(1)[2023·江苏镇江高三统考开学考试]设a＝2log32，b＝log23，c＝43，则a，b，c的大小顺序为(A．a>b>c B．c>b>aC．a>c>b D．b>c>a(2)[2024·安徽安庆模拟]已知x＝6log643，y＝13log364，z＝32log83，则(A．x>y>z B．z>x>yC．y>z>x D．y>x>z[听课记录]题后师说求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．巩固训练2(1)[2023·天津卷]若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>b>c D．b>a>c(2)[2024·吉林通化模拟]已知a＝log32，b＝log53，c＝log85，则下列结论正确的是()A．a<b<c B．b<a<cC．a<c<b D．b<c<a题型三构造函数比较大小例5已知a＝23＋ln32，b＝1＋1e，c＝12＋ln2，A．c<b<a B．b<c<aC．c<a<b D．a<c<b[听课记录]题后师说某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．巩固训练3[2024·黑龙江哈尔滨模拟]已知a＝ln22，b＝ln66，c＝ln7A．c>b>a B．b>a>cC．b>c>a D．a>b>c1.已知a＝223，b＝415，c＝325A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<b<a2．[2021·新高考Ⅱ卷]已知a＝log52，b＝log83，c＝12，则下列判断正确的是(A．c<b<a B．b<a<cC．a<c<b D．a<b<c3．[2024·重庆模拟]已知a＝23，b＝32，c＝log23，则a，b，c的大小关系为(A．b<c<a B．c<b<aC．b<a<c D．a<c<b4．已知实数m，n满足0<m<12，1<n<2，则下列关系中正确的是(A．mn2>1 B．sinm>sin1C．mn<nm D．logmn<lognm5．[2024·河北唐山模拟]已知a＝ln22，b＝1e，c＝ln99(其中e为自然对数的底数)A．b>c>a B．b>a>cC．c>b>a D．a>b>c专题培优课指数、对数、幂的大小比较关键能力·题型剖析例1解析：根据指数函数y=12x在R上单调递减可知，a=1213>1223=b，且a=1213<120=1，根据对数函数答案：C例2解析：因为a＝log0.20.3∈(log0.21，log0.20.2)＝(0，1)，b＝log20.3<log21＝0，c＝20.3>20＝1，所以c>a>b.答案：D例3解析：取a＝4，b＝2，c＝12，则logac＝log412＝－12，logbc＝log212＝－1，∴logac>答案：A巩固训练1解析：(1)0<(43)－0.1<(43)0＝1，即0<a(34)－0.1>(34)0＝1，即b5-3＝－53<0，即所以有c<0<a<1<b.(2)由1253<1235<12由log1315＝log35>log33，故b<a<c.(3)令a＝4，b＝2，c＝14则ac＝414，bc＝∴ac>bc，故A错误；abc＝4×214＝294，ba∴abc>bac，故B错误；logac＝log414＝－1logbc＝log214＝－2alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误．答案：(1)B(2)A(3)C例4解析：(1)∵3a＝6log32＝log364<log381＝4，3b＝3log23＝log227>log216＝4，又3c＝4，∴3a<3c<3b，即b>c>a.(2)因为x＝6log643＝66log23＝log23，y＝13log364＝log34＝2log23，z＝32log83由yz＝2log2312log23＝(log由xy＝log232log23＝(log232)2，而log23>log222＝32，则xy>(322)2答案：(1)D(2)A巩固训练2解析：(1)因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6＞0.5＞0，所以1.010.6＞1.010.5＞1，即b＞a＞1；因为函数g(x)＝0.6x是减函数，且0.5＞0，所以0.60.5＜0.60＝1，即c＜1.综上，b＞a＞c.故选D.(2)因为log32＝log338<log339＝log3323＝23＝log5523＝所以a<b.因为ln3ln8<(ln3+ln82)2＝(ln24)2<(ln5)2，所以ln3ln5<ln5ln8，所以log53<log85，所以答案：(1)D(2)A例5解析：构造函数f(x)＝1x＋lnx因为f′(x)＝－1x2+1x＝x-1所以当x>1时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，因为1<32<2<e所以f(32)<f(2)<f(e)，即1＋1e>12＋ln2>23＋所以a<c<b.答案：D巩固训练3解析：令f(x)＝lnxx，x>0，则f′(x)＝当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，因为a＝ln22＝ln44＝f(4)，b＝ln66＝f(6)，c＝ln所以f(4)>f(6)>f(7)，即a>b>c.答案：D随堂检测1．解析：由题设a＝223＝413，b＝41由y＝4x为增函数，且13>15，故a>由y＝x23在(0，＋∞)上为增函数，且5>2，故c>综上，b<a<c.答案：B2．解析：a＝log52<log55＝12＝log822<log83＝b，即a<c<b答案：C3．解析：根据题意可知a＝23>21>b＝32，即可得a>由对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增可知，c＝log23＝log29>log28＝log2232＝32＝b，且c＝log23<log24＝2<a，所以b<c<a.答案：A4．解析：由题易知，取m＝14，n＝32，则mn2＝14×(32)2＝9160<m<12<1n<1<π2，所以sinm<sin1mn<1，n