清单07勾股定理勾股定理逆定理（18种题型解读（58题））

清单07勾股定理、勾股定理逆定理（18种题型解读（58题））【知识导图】【知识清单】【考试题型1】利用勾股定理求线段长1．（2023上·四川成都·八年级校考期中）若直角三角形两条直角边的长分别为3和6，则该直角三角形斜边上的高为．【答案】655【分析】本题考查了勾股定理的和面积法的应用．由勾股定理求斜边，再由面积法求斜边上高即可．【详解】解：由勾股定理该三角形的斜边为6设斜边上高为h，由面积法12∴h=6故答案为：652．（2023上·河南驻马店·八年级统考期中）如图，做一个长80cm，宽60cm的长方形木框，需在对角的顶点间钉一根木条用来加固，则木条的长为【答案】100【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，由于长方形木框的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，利用勾股定理计算是解题的关键．【详解】解：木条的长为802故答案为：100．3．（2023上·重庆忠县·九年级重庆市忠县忠州中学校校考期中）在△ABC中，AB=AC，AD是BC的中线，若AB=10，BC=12，则AD长为．【答案】8【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，由等腰三角形的性质，得到AD是BC边上的高，再由勾股定理即可求出AD的长，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】解：如图，∵AB=AC，AD是BC的中线，∴AD⊥BC，BD=1在Rt△ABD中，AB=10，BD=6由勾股定理，得AD=A故答案为：8．4．（2023上·山西太原·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若∠ABC的平分线交AC于点D，则AD的长为【答案】5【分析】本题考查了角平分线的性质、勾股定理，由勾股定理可得AB=5，作DE⊥AB于E，再由角平分线的性质可得CD=DE，利用三角形的面积进行计算可得CD=32，最后由【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3∴AB=A如图，作DE⊥AB于E，，∵AC平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵S△ABC=∴1∴CD=3∴AD=AC-CD=4-3故答案为：52【考试题型2】利用勾股定理求面积5．（2023上·江苏连云港·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是．【答案】13【分析】本题主要考查了勾股定理，由勾股定理求出AB【详解】解：由勾股定理得，AB∴正方形的面积是13，故答案为：13．6．（2023上·海南·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，顶点A、B、C恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是2个单位长度，则△ABC的面积是．【答案】50【分析】过点C作DE⊥AD，则BE⊥CE，证明△ACD≌△CBE，进而根据勾股定理求得AC=BC=10，根据三角形面积公式即可求解．本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，求得BC的长是解题的关键．【详解】解：如图，过点C作DE⊥AD，则BE⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBEAAS∴BE=CD，∵相邻两条平行线间的距离是2个单位长度，∴BE=CD=6,CE=8Rt△BCE中，BC=∴S故答案为：507．（2023上·江苏淮安·八年级统考期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC、AB为边向外作正方形，面积分别为S1，S2．若S1=2，S【答案】2【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握“如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+【详解】解：∵以AC、AB为边向外作正方形，S1=2，∴AC2=2在Rt△ABC中，BC∴BC=2．故答案为：2．8．（2023上·江苏苏州·八年级苏州高新区实验初级中学校考阶段练习）如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为5，两边的正方形面积分别是S1，S2，则S

【答案】5【分析】根据正方形的性质得AC=CD，∠ACD=90°，再根据等角的余角线段得∠BAC=∠DCE，则可根据“AAS”判定△ACB≌△DCE，得到AB=CE，BC=DE；由勾股定理得AC2=A【详解】解：如图，

∵a、b、c都是正方形，∴AC=CD，∠ACD=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∵∠ACB+∠BAC=90°，∴∠BAC=∠DCE，在△ACB和△DCE中，∠ABC=∠CED∠BAC=∠DCE∴△ACB≌△DCESAS∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：A即Sb∴S故答案为：5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理和正方形的性质．解决本题的关键是结合全等三角形的性质证明线段相等．9．（2023上·辽宁本溪·八年级统考期中）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、

【答案】4【分析】根据正方形的面积的计算方法，勾股定理的运用，可得c2+e【详解】解：设正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，中间正方形E的边长为e∴SA=a2，SB=b根据所有三角形都是直角三角形，∴c2+e2=∵a2∴a2=e2-故答案为：4．【考试题型3】已知两点坐标求两点距离10．（上海市徐汇区部分学校20232024学年八年级上学期月考数学试题）若点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(-3,0)，则线段AB的长为．【答案】2【分析】本题主要考查了两点间距离公式，解题的关键是熟练掌握点Ax1,y1【详解】解：∵点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(-3,0)，∴线段AB的长为-3-1211．（2019下·河南许昌·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点P5,-12到原点O0,0的距离是【答案】13【分析】本题主要考查求两点之间的距离，利用勾股定理直接计算即可．【详解】解：由勾股定理得，点P5,-12到原点O0,0的距离为故答案为：13．【考试题型4】勾股树问题12．（2023上·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期中）下面各组a、b、c，是勾股数的是．（填序号）（1）a=7，b=24，c=25（2）a=5，b=13，c=12（3）a=4，b=5，c=6（4）a=0.5，b=0.3，c=0.4【答案】（1）（2）【分析】此题考查的知识点是勾股数．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形，据此逐项判定即可．【详解】解：（1）72（2）53（3）22（4）a=0.5，b=0.3，c=0.4均不是整数，故不符合题意；故答案为：（1）（2）．13．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足a2+n2=n+12，这样的三个整数a,n,n+1（如：3，4，5或5，12，【答案】7【分析】根据a2+n2=n+12，得到a2=2n+1【详解】解：∵a2∴a2∴a2∵n<115，∴2n+1<231，∴a2为231以内的数，有：9,25,49,81,121,169,225，共7∴共有7组这样的“完美勾股数”；故答案为：7．【点睛】本题考查勾股数，理解并掌握“完美勾股数”的定义，是解题的关键．【考试题型5】勾股定理与折叠问题14．（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则AE的长为cm，BF的长为【答案】45【分析】由折叠的对称性知BE=DE,AE=9-BE，在Rt△ABE中利用勾股定理可求得AE、BE；再由折叠性可证∠BEF=∠DEF结合内错角∠BFE=∠DEF，可证∠BEF=∠BFE【详解】解：∵EF是四边形EFCD与EFC∴BE=DE,AE+BE=AE+DE=AD=9cm又∵AB=3设BE=xcm，则在Rt△ABE中，A∴3解得：x=5则BE=DE=5cmAE=9-5=4cm由折叠的性质知∠BEF=∠DEF，再由AD∥BC知∠BFE=∠DEF∴∠BEF=∠BFE，则BF=BE=5故答案为：4；515．（2023上·贵州六盘水·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．E为线段BD上一点，连接CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上．若AB=5，BC=4，则△B'

【答案】12【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形面积的计算，由勾股定理求得AC的长，由面积关系可求得CD的长，再由勾股定理可求得BD的长；由折叠的性质可得BC=B'C=4，S△BCE=S△【详解】解：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=A∵CD⊥AB，∴S△ABC=∴CD=12∴BD=B由折叠的性质可得BC=B'C=4∴12BE⋅CD=∴BE=5∵DE+BE=BD=16∴DE=6∴S故答案为：12516．（2023上·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）如图，长方形ABCD中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上，则BE【答案】3【分析】利用勾股定理求出AC=10，利用折叠的性质得到∠AFE=∠CFE=∠B=90°，BE=EF，AF=AB=6，则CF=AC-AF=4，设BE=x，则EF=x，CE=8-x，利用勾股定理得到x2+4【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°∴AC=8∵把∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上，∴∠AFE=∠CFE=∠B=90°，BE=EF，AF=AB=6，∴CF=AC-AF=10-6=4，设BE=x，则EF=x，CE=8-x，在Rt△CEF∵EF∴x解得x=3，∴BE=3．故答案为：3．17．（2023上·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校考期中）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是．

【答案】13【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，根据折叠的性质证明AD=AB=2，∠B=∠ADB，【详解】解：由折叠的性质可得AD=AB=2，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴∠ADE=90°，设AE=x，CE=DE=AC-AE=3-x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：A∴22解得x=13∴AE=13故答案为：13618．（2023上·河南驻马店·八年级驻马店市第二初级中学校考期中）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E是线段BC上的动点，将△ABE沿直线AE翻折，得到△AB'E，点F是DC上一点，且DF=2，连接AF，B'F，则当BE

【答案】3或6【分析】本题考查了勾股定理，翻折变换，全等三角形的判定和性质；分两种情况讨论，利用直角三角形全等的判定和性质以及勾股定理求解即可．【详解】①当点B'在直线AF下方，且∠A

又∵∠AB∴点E，B'，F三点共线在Rt△AB'AB∴Rt∴B设BE=x，则B'E=x，在Rt△FEC中，由勾股定理，得F即(x+2)2解得x=3，故BE=3．②当点B'在直线AF上方，且∠AB'F=90°时，点此时点E与点C重合，故BE=6．故答案为：3或6．【考试题型6】勾股定理与网格问题19．（2023上·浙江温州·七年级统考期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，以数1表示的点为圆心，阴影正方形边长为半径，画圆弧交数轴于点A（点A位于原点右侧），则点A表示的数为．

【答案】5【分析】本题考查了实数与数轴和勾股定理．先根据勾股定理求出圆弧的半径，再求出点A到原点的距离，然后结合点A在数轴上的位置即可得出答案．【详解】解：∵正方形网格中每个小正方形的边长为1，∴阴影正方形的边长即圆弧半径为12∴点A到原点的距离是5+1∴点A表示的数是5+1故答案为：5+120．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，△ABC的面积是，点A到BC边的距离为．

【答案】72【分析】本题主要考查了根据网格求三角形面积，勾股定理，解题的关键是熟练掌握“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”．用割补法即可求出△ABC的面积，根据勾股定理得出BC=12+32【详解】解：根据题意可得：S△ABC根据勾股定理可得：BC=1设点A到BC边的距离为h，S△ABC则72解得：h=7故答案为：72，721．（2023上·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AB边上的高是．

【答案】3【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB的长，再利用三角形的面积求出三角形的高CD即可．【详解】作CD⊥AB于D,如图所示：

∵小正方形的边长为1，∴AB=1∵S△ABC∴S△ABC解得：CD=3故答案为：35【点睛】此题考查了勾股定理以及三角形的面积，根据题意得出△ABC的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积是解题的关键．【考试题型7】利用勾股定理证明线段的平方关系22．（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校联考期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC,BD交于点O．若AD=1,BC=4，则AB2

【答案】17【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可；【详解】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得，AA∴A∵AD=1,BC=4,∴A故答案为：17．【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．23．（2022下·河北石家庄·八年级石家庄外国语学校校考阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．（1）若AB=5，OA=3，OC=4，则BC=；（2）若AD=2，BC=5，则A（3）若AB=m，BC=n，CD=c，AD=d，则m，n，c，d之间的数量关系是．【答案】427【分析】（1）根据题意和勾股定理即可求出．（2）利用勾股定理，进行等量代换，可以得到AB（3）由（2）得求解过程可以得到AB【详解】（1）∵AC⊥BD，∴∠BOC=∠COD=∠DOA=∠AOB=90°，∴OB===4，∴CB===42故答案为42（2）由（1）得：∴OB2+OC2=BC2，∵AD=2，BC=∴A=7．故答案为7．（3）由（2）得：AB∴m故答案为m2【点睛】本题考查勾股定理的应用问题，熟练利用勾股定理和等量代换是解题的关键．24．（2022上·陕西西安·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD于点O，若AD＝2，BC＝6，则【答案】40【分析】AB、CD分别是两个直角三角形的斜边。在RtΔAOB中，AB在RtΔCOD中，CDAB进而求解．【详解】在RtΔAOB中和RtΔCOD中，AB2AB==A==40故答案为：40．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．25．（2022·北京海淀·八年级校考期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB=6，CD=10【答案】136【分析】在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD【详解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，BO2在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得，BO∴BO2+C∴AD故答案为：136．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．【考试题型8】勾股定理的证明方法26．（2023上·河南郑州·八年级校考期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请你从图1，图2，图3中任选一个图形来证明该定理；(2)①如图4，图5，图6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1,S2，直角三角形面积为【答案】(1)见解析(2)①3；②S1【分析】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；（1）根据面积法即可证明勾股定理；（2）①设面积为S1的正方形边长为a，面积为S2的正方形边长为b，面积为S3的正方形边长为c②结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、非阴影部分去除三角形后的面积，再根据阴影部分面积（S1+S2）=以a为直径的半圆面积+以b为直径的半圆面积【详解】（1）证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正形面积的和．即c2化简得：a2在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．大正方形面积为：a+b2小正方形面积为：c2四个直角三角形面积之和为：4×1∵大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积之和∴a+b∴a2在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即12化简得：a2（2）①三个图形中面积关系满足S1+S设面积为S1的正方形边长为a，面积为S2的正方形边长为b，面积为S3根据题意得：a如图4：S1=a2，∴S1如图5：S1=12π∵1∴S1如图6：S1=12×a×∵3∴S1∴三个图形中面积关系满足S1+S故答案为：3；②S1以a为直径的半圆面积为：12以b为直径的半圆面积为：12非阴影部分去除三角形后的面积为：12∵阴影部分面积(S1+S2)=以a为直径的半圆面积+以b为直径的半圆面积∴S1结合（1）的结论：a∴1∴S127．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图1所示，有若干张正方形和长方形卡片，其中A型卡片、B型卡片分别是边长为a、b的正方形，C型卡片是长为a、宽为b的长方形，且它的一条对角线长为c（如图1中的虚线）．(1)【操作一】若用若干张图1中的卡片拼成一个边长为a+3b的正方形，则需要A型卡片__________张，B型卡片__________张，C型卡片__________张；(2)【操作二】将两张C型卡片沿如图1所示虚线剪开后，拼成如图2所示的正方形，请借助于图2中阴影部分面积的两种表达方式，探索a、b、c满足的数量关系，写出你的结论并证明；(3)【操作三】如图3，将2张A型卡片和2张B型卡片无叠合的置于长为2a+b，宽为a+2b的长方形中．若图2中阴影部分的面积为4，图3中阴影的部分面积为15，记每张A型、B型、C型卡片的面积分别为SA、SB、SC【答案】(1)1；9；6(2)a2(3)13【分析】本题主要考查了完全平方公式应用，关键能够分割图形，了解各个部分组成，便可表示各个类型的数量，善用整体代入法，表示出相应部分面积，利用整体代入法求解．（1）根据完全平方公式把a+3b2（2）求出阴影部分图形的面积即可；（3）利用图2中阴影部分的面积为4，图3中阴影的部分面积为15，得到a-b=2，ab=3，利用整体代入法进而求得答案．【详解】（1）解：∵a+3b2故需要A型卡片1张，B型卡片9张，C型卡片6张；故答案为：1；9；6；（2）解：a2图②阴影部分图形的面积可表示为：a-b2或c∴a-b∴a∴a（3）解：∵图2中阴影部分的面积为4，∴a-b∵图3中阴影的部分面积为15，∴2a+b∴ab=3，∴SA【考试题型9】分类讨论思想在直角三角的应用28．（2024上·广东佛山·八年级校考阶段练习）若一直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长为（

）A．13 B．119 C．13或15 D．15【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，直接根据勾股定理解答即可，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【详解】∵一直角三角形两直角边长分别为5和12，∴由勾股定理得，斜边长=5故选：A．29．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，已知其两边长分别为a，b，且满足a-32+A．25 B．7 C．25或7 D．25或16【答案】C【分析】根据非负数可得a=3,b=4，然后分两种情况：当两直角边长为3,4时，当斜边长为4时，结合勾股定理，即可求解．【详解】解：∵a-32∴a-3=0，解得：a=3，当两直角边长为3，4时，第三边长的平方为32当斜边长为4时，第三边长的平方为42综上所述，第三边长的平方为25或7．故选：C【点睛】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理，熟练掌握非负数的性质，勾股定理是解题的关键．30．（2022上·陕西榆林·八年级校考期中）直角三角形的两直角边的长分别为6，10，第三边长为（

）A．8 B．234 C．8或234 D．8【答案】B【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，即可求解．【详解】解：∵直角三角形两直角边长为6和10，∴斜边==6故选：B．【点睛】此题主要考查勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．【考试题型10】利用勾股定理解决动点问题31．（2023上·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，在等腰△ABC中，∠CAB=∠CBA，作射线BC，AD是腰BC的高线，E是△ABC外射线BC上一动点，连结AE．

(1)当AD=4，BC=5时，求CD的长；(2)当BC=CE时；求证：AE⊥AB；(3)设△ACD的面积为S1，△ACE的面积为S2，且S1S2=18【答案】(1)3；(2)见解析；(3)2或116【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）证明CA=CE=CB，推出∠CEA=∠CAE，∠CAB=∠B，利用三角形内角和定理，可得结论；（3）由S△ACD：S△ACE=18：25，推出CD：CE=18：25，设CD=18k，CE=25k，则【详解】（1）解：∵∠CAB=∠B，∴AC=BC=5，∵AD⊥BE，∴∠ADC=90°，∴CD=A（2）∵BC=CE，AC=CB，∴AC=CE=CB，∴∠CEA=∠CAE，∠CAB=∠B，∵∠AEC+∠B+∠EAB=180°，∴2∠AEB+2∠B=180°，∴∠AEB+∠B=90°，∴∠EAB=90°，∴AE⊥AB；（3）∵S△ACD：S△ACE∴CD：CE=18：25，设CD=18k，CE=25k，则DE=7k，∵AD⊥EC，DE≠CD，∴AC≠AE，当CE=CA=25k时，BC=CA=25k，∴BE=BC+CE=50k，BEBC当AE=EC=25k时，AD=A∴AC=A∴BC=AC=30k，∴BE=BC+CE=55k，∴BE综上所述，满足条件的BEBC的值为2或11【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积计算、等腰三角形的性质和判定，勾股定理,三角形的内角和定理的应用等知识，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．32．（2023上·江西·八年级期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，AB=15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm(1)如图（1），当t=时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；(2)如图（2），在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌【答案】(1)112或(2)154cm【分析】本题主要考查直角三角形性质和全等三角形的性质，（1）分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可；（2）由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P在AC上；②当点P在AB上，AP=4，AQ=5，分别求出P移动的距离和时间，进而求出【详解】（1）解：①当点P在BC上时，如图①-1若△APC的面积等于△ABC面积的一半，则CP=1此时，点P移动的距离为AC+CP=12+9移动的时间为：332②当点P在BA上时，如图①若△APC的面积等于△ABC面积的一半，则PD=12AB，即点P此时，点P移动的距离为AC+CB+BP=12+9+15移动的时间为：572故答案为：112或19（2）△APQ≌△DEF，即对应顶点为A与D，P与E，Q与①当点P在AC上，如图②-1此时，AP=4，AQ=5，∴点Q移动的速度为5÷4÷3②当点P在AB上，如图②-2此时，AP=4，AQ=5，即，点P移动的距离为9+12+15-4=32cm，点Q移动的距离为9+12+15-5=31∴点Q移动的速度为31÷32÷3综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速度为15433．（2023上·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，动点P从点A出发沿线段AB以每秒2个单位长的速度运动至点B，过点P作PQ⊥AB，交射线AC于点Q．设点P的运动时间为t秒t>0

(1)线段AB的长为_____．(2)连接CP，当△ACP是等腰三角形时，求t的值．(3)当直线PQ把△ABC分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t的值．【答案】(1)13(2)t的值为52或1013或(3)t的值为12或5【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可得；（2）分如图21所示，当AC=AP时；如图22所示，当AP=CP时，过点P作PD⊥AC于D，过点C作CE⊥AB于E，利用面积法求出CE=125，进而利用面积法求出PD=45AP=125（3）分图31和图32两种情况讨论计算，由轴对称图形的性质，用相等的线段建立方程求解即可．【详解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12∴AB=A故答案为：13；（2）解：如图21所示，当AC=AP时，∴2t=5，∴t=5

如图22所示，当AP=CP时，过点P作PD⊥AC于D，过点C作CE⊥AB于E，

∴AD=CD=1∵S△ABC∴CE=AC⋅BC∵S△ACP∴PD=AP⋅CE∵AP=2t，∴PD=24在Rt△ADP中，由勾股定理得：A∴2t2解得t=10当AC=CP时，过点C作CE⊥AB于E，∵CE=60∴AE=A∴AP=2AE=50∴t=综上所述，t的值为52或1013或（3）解：由题意，分以下两种情况：①如图31所示，当点Q在线段AC上，且CQ=PQ时，连接BQ，

在Rt△BCQ和RtBQ=BQCQ=PQRt△BCQ≌∴四边形PBCQ是轴对称图形，符合题意，∵PB=BC=12，∴13-2t=12，解得t=1②如图，当点Q在AC延长线上，且AP=AC时，设PQ交BC于点D，连接AD，

同理可证：Rt△ACD≌∴四边形ACDP是轴对称图形，符合题意，∵AP=AC=5，∴2t=5，解得t=5综上，当直线PQ把△ABC分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，t的值为12或5【点睛】本题考主要查了勾股定理、等腰三角形三线合一、轴对称图形的性质，全等三角形的性质与判定等知识点，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．【考试题型11】利用勾股定理解决规律问题34．（2023上·广西南宁·九年级南宁市第四十七中学校考期中）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2023【答案】1【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“Sn=4×12n-1”是解题的关键．根据题意求出面积标记为S【详解】解：∵△CDE是等腰直角三角形，∴DE=CE,∠CED=90°，∴CD∴DE=2即等腰直角三角形的直角边为斜边的22∵正方形ABCD的边长为2，S1∴面积标记为S2的正方形边长为2则S2面积标记为S3的正方形边长为2则S3面积标记为S4的正方形的边长为2则S4……，∴S则S2023的值为：4×故答案为：1235．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2，那么正整数a、babc345861015817………………xy122A．142 B．143 C．144 D．145【答案】A【分析】本题主要考查了勾股数，满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．依据每列数的规律，即可得到a=【详解】解：由题可得，3=22-1，4=2×2，∴a=n2-1，b=2n，c=n2∴当c=n解得：n=11，∴x=120，y=22，∴x+y=142，故选：A．36．（2023上·河北保定·八年级保定十三中校考期中）图1是第七届国际数学教育大会（ICME7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．若图2中的OA1

（1）线段OA12的长为（2）若S1代表△A1OA2的面积；S2代表△A2【答案】23【分析】本题考查了勾股定理的应用，数字的规律探究，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握勾股定理，推导一般性规律是解题的关键．（1）由勾股定理得，OA2=OA1+A1A2（2）由题意知，S1=S△A1OA2=1【详解】（1）解：由勾股定理得，OAOAOA……∴可推导一般性规律为OA∴OA故答案为：23（2）解：由题意知，S1S2S3……∴可推导一般性规律为Sn∴S===33故答案为：33237．（2023上·四川成都·九年级校联考期中）如图，等腰Rt△OA1A2，OA1=A1A2=1，以O

【答案】64【分析】本题主要考查了等腰直角三角形和勾股定理结合，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理的性质分别求出OA1、OA2、……、【详解】∵OA1=∴OA又∵Rt△O∴OA∴OA同理可得：OA4=2OA3=22根据题意可得：OA∴S△O故答案为：64．【考试题型12】利用勾股定理解决新定义问题38．（2023上·上海黄浦·九年级统考期中）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是．【答案】4+42或【分析】分两种情况，结合勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，△ABC是等腰直角三角形，AD=AC=4，

∴AB∴AB=22∴梯形ABCD的面积为12如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，△ABC是等腰直角三角形，CD=AC=4，

∴∠BAD=∠B=90°，∠BAC=45°，∴∠CAD=∠D=45°，∴∠ACD=90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD=2∴梯形ABCD的面积为12如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，△ABC是等腰直角三角形，CD=AC=4；综上所述，它的面积为4+42或12故答案为：4+42或【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，梯形，利用分类讨论思想解答是解题的关键．39．（2020上·山西太原·八年级太原师范学院附属中学校考阶段练习）我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据奇异三角形的定义，请你判断：若某三角形的三边长分别为1、2、7，则该三角形（填“是”或者“不是”）奇异三角形．【答案】是【分析】根据奇异三角形的定义，即可求解．【详解】解∵12∴该三角形是奇异三角形．故答案是：是．【点睛】本题主要考查了新定义的理解，明确题意，理解新定义是解题的关键．40．（2022上·四川成都·八年级校考期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P1a,b，P2c,b，P3c,d，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P例如：点P1-1,2，P21,2，P31,3的（1）理解：点Q10,1，Q24,1，Q34,4的（2）探究：已知点O0,0，A-4,0，B-4,y．则点O，A，B的“最佳间距”【答案】34【分析】（1）求出Q1Q2、Q1Q3、Q2Q3的值即可得到点Q（2）求出AB=y，OA=4，并得到结论△OAB是以点A为直角顶点的直角三角形，所以“最佳间距”等于AB或BC的长度，即4或y【详解】解：（1）∵Q1Q2=4-0∴点Q10,1，Q24,1，Q34,4的故答案为：3；（2）∵点A-4,0，B∴AB⊥x轴，AB=y∵点O0,0，A∴点O，A是x轴上两点，且OA=4；∴△OAB是以点A为直角顶点的直角三角形，所以“最佳间距”等于AB或OA的长度，即4或y．当AB>OA，即y>4时，“最佳间距”等于4当AB=OA，即y=±4时，“最佳间距”等于4；当AB<OA，即y<4时，“最佳间距”等于y所以点A，B，C的“最佳间距”的最大值为4．故答案为：4【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，勾股定理求两点间的距离等知识，提炼出新定义的规则，根据规则，分类讨论是解决问题的关键．41．（2023下·广东广州·八年级统考期末）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD是AB边上的高，则△ABC中AB边的“中偏度值”为．

【答案】24【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出△ACB中AB边上的高和该边上的中点到CD的距离，再求它们的比值即可．【详解】解：作CE为△ACB的中线，

∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=A∵1∴1∴CD=12∴BD=∵CE为Rt△ABC斜边AB上的中线，AB=5∴BE=∴ED=BE-BD=即点E到CD的距离为710则△ABC中AB边的“中偏度值”为125【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出AB边上的高和该边上的中点到高的距离．【考试题型13】判断三边能否构成直角三角形42．（2023上·江苏连云港·八年级校考期中）三角形的三边长分别是7,24,25，可以判断这是三角形．【答案】直角【分析】本题考查勾股定理的逆定理；由勾股定理的逆定理可知，该三角形为直角三角形．【详解】解：∵72∴该三角形是直角三角形，故答案为：直角．43．（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）一个三角形的三边长为5、5、25，则该三角形的面积为【答案】5【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，根据勾股定理的逆定理得出三角形的直角三角形，再求出三角形的面积即可．【详解】解：∵52+2∴52∴三角形的直角三角形，直角边是5和25∴三角形的面积是12故答案为：5．44．（2023上·江苏常州·八年级统考期中）若n>1，△ABC三边长分别是n2-1，2n，n2+1，则【答案】直角【分析】此题考查勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，利用较短两边的平方和等于较长边的平方即可得到三角形是直角三角形．【详解】∵n∴△ABC是直角三角形，故答案为：直角．45．（2023上·山东威海·八年级威海经济技术开发区皇冠中学校联考期中）已知△ABC三边长分别为a，b，c，且满足a2c2-b【答案】等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定．把已知等式移项分解因式，根据两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到关系式，即可做出判断．【详解】解：∵a2∴a2∴c2∴a2∴a+ba-b∵△ABC三边长分别为a，b，c，∴a+b≠0，∴a-b=0,c∴a=b,c∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．故答案为：等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形【考试题型14】图形上与已知两点构成直角三角形的点46．（2023下·浙江台州·八年级校考期中）在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，故选D．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．47．（2019·福建·校联考一模）点A（2，m），B（2，m5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（

）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，进而可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论．【详解】解：分三种情况考虑（如图所示）：当∠OAB＝90°时，m＝0；当∠OBA＝90°时，m−5＝0，解得：m＝5；当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2−10m＋25，解得：m1＝1，m2＝4．综上所述：m的值可以为0，5，1，4．故选B．【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况求出m的值是解题的关键．【考试题型15】在网格上判断直角三角形48．（2023上·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，图中小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC是（

）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断【答案】A【分析】先根据勾股定理求出△ABC各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状即可．【详解】解：由图形可知：AB2=42∴AB∴△ABC是直角三角形．故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a249．（2023上·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）如图是由6个边长相等的正方形组成的网格，则∠1+∠2=（）

A．80° B．85°C．90° D．95°【答案】C【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理逆定理得到∠A=90°，再由三角形内角和定理进行计算即可．【详解】解：如图，设小正方形的边长为1，

则AB=12+22∴AB∴∠A=90°，∵∠1+∠2+∠A=180°，∴∠1+∠2=180°-∠A=180°-90°=90°，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．50．（2021上·广东深圳·八年级统考期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是（

A．△ABC的面积为10 B．∠BAC=90°C．AB=25 D．点A到直线BC的距离是【答案】A【分析】求出AC、BC，根据三角形的面积公式可以判断A；根据勾股定理逆定理可以判断B；根据勾股定理可以判断C；根据三角形的面积结合点到直线的距离的意义可以判断【详解】解：∵AC=12+22∴AC∴∠BAC=90°，故B、C正确，不符合题意；∴S△ABC=设点A到直线BC的距离是h，∵S∴1∴h=2∴点A到直线BC的距离是2，故D正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积公式、点到直线的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键．【考试题型16】利用勾股定理逆定理求解51．（2023上·山东青岛·八年级校考期中）若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件能判断△ABC是直角三角形的是（

）A．∠A=∠B=2∠C B．∠A:∠B:∠C=3:4:5C．a=1，b=2，c=3 D．a=1，b=2，【答案】D【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，利用三角形内角和定理求出△ABC中最大的内角度数即可判断A、B；利用勾股定理的逆定理：三角形中两较小边的平方和等于最大边的平方，那么该三角形是直角三角形，即可判定C、D．【详解】解：A、∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=72°，∴不能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；B、∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°×5∴不能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；C、∵12∴不能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；D、∵12∴能判断△ABC是直角三角形，符合题意；故选D．52．（上海市徐汇区部分学校20232024学年八年级上学期月考数学试题）如图，在四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，DA=24，且∠B=90°，下列结论中：①∠D=90°；②∠A+∠C=180°；③∠C=120°；④S四边形ABCD=204A．② B．①② C．①④ D．①③④【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，四边形内角和定理，先根据勾股定理得到AC2=AB2+BC2=625，进而证明CD2+AD2=AC2【详解】解：如图所示，连接AC，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=20，BC=15∴AC∵CD=7，DA=24，∴CD∴CD∴△ACD是直角三角形，且∠D=90°，故①正确；∴∠BAD+∠BCD=360°-∠D-∠B=180°，故②正确；S四边形ABCD=根据现有条件无法得到∠C=120°，故③错误；故选B．53．（2023下·河南许昌·八年级统考期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a+ca-cA．∠A为直角 B．∠B为直角 C．∠C为直角 D．∠A是锐角【答案】A【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．【详解】解：∵a+ca-c∴a∴a∴△ABC是直角三角形，∴∠A为直角，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．【考试题型17】利用勾股定理逆定理证明54．（2023上·河南周口·八年级统考期中）如图，已知等腰△ABC的腰AB=13cm，D是腰AB上一点，且CD=12cm，(1)求证：△BDC是直角三角形．(2)求△ABC的周长．【答案】(1)证明过程见详解(2)△ABC的周长为26+4【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理逆定理判定直角三角形的运用，掌握勾股定理的运用是解题的关键．（1）根据题意，分类讨论，①当AB=AC=13cm时；②当AB=BC=13（2）根据（1）中可知△BDC是直角三角形，运用勾股定理可求出BC的值，由此即可求解．【详解】（1）证明：已知等腰△ABC的腰AB=13cm①当AB=AC=13cm时，在△ACD中，CD=12cm，∴AD2=52∴AD∴△ACD是直角三角形，即∠ADC=90°，∴CD⊥AB，∴△BCD是直角三角形；②当AB=BC=13时，在△BCD中，BD=AB-AD=13-5=8，∴BD2=82∵BD∴△BCD不是直角三角形，与上述证明矛盾，∴△ABC是以AB=AC的等腰三角形；∴△BDC是直角三角形．（2）解：由（1）可知，△ABC是以AB=AC=13cm的等腰三角形，△BDC∴BC=B∴△ABC的周长为AB+AC+BC=13+13+413即△ABC的周长为26+41355．（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，AD为BC边上的中线，且AD＝12，过点

(1)求证：AD⊥BC；(2)求DE的长．【答案】(1)见解析；(2)6013【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握勾