上海市杨浦区2023-2024学年高二下学期6月期末模拟考试数学

杨浦区2023学年度第二学期高二年级模拟质量调研数学学科试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.抛物线的焦点坐标是______.2.直线的倾斜角大小是________．3.已知圆的方程是，则圆心的坐标是________．4.平行直线及之间的距离是________．5.某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：命中环数678910频率0.10.150.250302如果这名运动员只射击一次，命中的环数大于8环的概率是________．6.如图，一个圆锥形杯子，杯口半径和杯子深度都是4厘米，如果将该杯子装满饮料，则可以装________立方厘米．7.已知，，若，则________．8.同时掷两颗骰子，则所得点数相等的概率为______．9.学校开展国防知识竞赛，对100名学生的竞赛成绩进行统计，发现这100名同学的成绩都在[50，100]的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，图中x的值是________．10.在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，分别在棱B1B和D1D上，且BE，DF．若，则x+y+z＝__．11.已知数列是首项是1，公比为的等比数列，数列的通项公式是．设双曲线的离心率为且，则当________时，最大．12.早在公元5世纪，我国数学家祖暅就提出：“幂势既同，则积不容异”．如图，抛物线C的方程为，过点（1，0）作抛物线C的切线l（l的斜率不为0），将抛物线C、直线l及x轴围成的阴影部分绕y轴旋转一周，所得的几何体记作，利用祖暅原理，可得出几何体的体积为________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第1516题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.“”是“直线与直线互相垂直”（）．A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件14.设a、b是两条不同的直线，是一个平面，若且，则a、b的位置关系是（）．A.相交 B.平行 C.异面 D.不能确定15.已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，则（）．A. B. C. D.16.如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论：①存在点满足；②存在点满足与平面所成角的大小为；③存在点满足；其中正确个数是（）．A0 B.1 C.2 D.3三、解答题17.设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为．（1）已知，，求及d；（2）已知，，求．18.如图，三棱柱中，，，垂直于平面．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求点到平面的距离．19.某篮球特色学校调查学生投篮技能情况，请每个学生投篮5次并记录进球数，随机抽取高一年级和高二年级各100名学生的进球数作为样本，结果统计如下（其中，）；进球数012345高一人数42b4212高二人数311244337（1）请写出高二年级样本的中位数；（2）若高一年级样本的平均数为，求的值；（3）在这200名学生中，高一高二年级各选取1人，若“至少有一个人的进球数为2”的概率是，求的值；20.端午节吃粽子，用箬竹叶包裹而成的三角粽是上海地区常见的一种粽子，假设其形状是一个正四面体，如图记作正四面体ABCD，设棱长为a．（1）求证：（2）求箬竹叶折出的二面角的大小；（3）用绳子捆扎三角粽，要求绳子经过正四面体的每一个面、不经过顶点，并且绳子的起点和终点重合．请设计一种捆扎三角粽的方案，使绳子长度最短（不计打结用的绳子），请在图中作出绳子捆扎的路径，并说明理由．21.如图，已知椭圆的方程为，点、分别是椭圆的左、右顶点，点的坐标是，过点的动直线交椭圆于点、（点的横坐标小于点的横坐标）．（1）求椭圆焦点的坐标；（2）是否存在常数，使为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（3）当设直线的斜率不为时，设直线与交于点．请提出一个与点有关的问题，并求解该问题．（备注：本小题将根据提出问题的质量及其解答情况进行分层计分．）

杨浦区2023学年度第二学期高二年级模拟质量调研数学学科试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.抛物线的焦点坐标是______.【答案】【解析】【分析】根据抛物线的标准方程直接求出焦点坐标即可.【详解】因抛物线标准方程为，所以焦点坐标为，故答案为：.2.直线的倾斜角大小是________．【答案】【解析】【分析】根据倾斜角和斜率关系求解即可.【详解】设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故答案为:.3.已知圆的方程是，则圆心的坐标是________．【答案】【解析】【分析】将方程配成标准式，即可得到圆心坐标.【详解】圆的方程是，即，所以圆心的坐标为.故答案为：4.平行直线及之间的距离是________．【答案】【解析】【分析】直接由两平行线间的距离公式计算可得.【详解】平行直线及之间的距离.故答案为：5.某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：命中环数678910频率0.10.150.250.30.2如果这名运动员只射击一次，命中的环数大于8环的概率是________．【答案】##【解析】【分析】利用互斥事件概率加法公式计算可得．【详解】用频率估计概率，可知这名运动员只射击一次，命中的环数大于8环的概率.故答案为：6.如图，一个圆锥形杯子，杯口半径和杯子深度都是4厘米，如果将该杯子装满饮料，则可以装________立方厘米．【答案】##【解析】【分析】根据圆锥的体积公式计算可得.【详解】依题意该圆锥的高厘米，底面半径厘米，所以其体积立方厘米，即杯子的容积为立方厘米．故答案为：．7.已知，，若，则________．【答案】【解析】【分析】依题意可得，即可得到方程组，求出、的值，即可得解.【详解】因为，且，所以，即，所以，解得，所以.故答案为：8.同时掷两颗骰子，则所得点数相等的概率为______．【答案】【解析】【分析】求出同时掷两颗骰子的基本事件数、及两颗骰子的点数相等的基本事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】同时掷两颗骰子包括的基本事件共种，掷两颗骰子的点数相等包括的基本事件为种，故所求的概率；故答案为：9.学校开展国防知识竞赛，对100名学生的竞赛成绩进行统计，发现这100名同学的成绩都在[50，100]的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，图中x的值是________．【答案】0.030【解析】【分析】利用面积之和等于1即能解.【详解】因为每个小矩形的面积就是频率，所以面积之和等于1，即，解出.故答案为：0.030.10.在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，分别在棱B1B和D1D上，且BE，DF．若，则x+y+z＝__．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的加法、减法和数乘运算法则，以为基底表示出，由此求得，进而求得.【详解】平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，BE，DF，所以．由，所以x＝﹣1，y＝1，z，x+y+z＝﹣1+1．故答案为：．11.已知数列是首项是1，公比为的等比数列，数列的通项公式是．设双曲线的离心率为且，则当________时，最大．【答案】或【解析】【分析】依题意可得，，即可得到，再由求出，从而得到，令，利用作差法判断的单调性，即可求出的最大项，从而得解.【详解】依题意，，则，，所以，又，解得，所以，令，则，所以当时，当时，即，所以当或时取得最大值，则当或时最大.

故答案为：或12.早在公元5世纪，我国数学家祖暅就提出：“幂势既同，则积不容异”．如图，抛物线C的方程为，过点（1，0）作抛物线C的切线l（l的斜率不为0），将抛物线C、直线l及x轴围成的阴影部分绕y轴旋转一周，所得的几何体记作，利用祖暅原理，可得出几何体的体积为________．【答案】##【解析】【分析】根据题意，切线方程为，Ω的水平截面为圆环，外半径为，内半径为，故截面面积，利用祖暅原理，可以构造一个下底面半径为1，高为4的圆锥．Ω与圆锥的体积相等，直接用圆锥的体积公式求V．【详解】设切线方程为x＝ky+1，代入y＝x2，得kx2﹣x+1＝0，由＝1﹣4k＝0，得，故切线方程为，且切点坐标为过点（0，t）（0≤t≤1）作Ω的水平截面，截面为圆环，当y＝t时，代入得截面圆环外半径，当y＝t时，代入y＝x2得截面圆环内半径，截面圆环面积为．为了截出面积为的图形，可以构造一个下底面半径为1，高为4的圆锥PO，圆锥及其轴截面如下图：其中,，在距离底面为t的处作底面的平行截面，设此时截面半径为r0，，即，解得，此截面的面积为，与截面圆环面积相同，圆锥体积为，所以的体积为.故答案为：.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第1516题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.“”是“直线与直线互相垂直”的（）．A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】由两直线互相垂直可得，求解可得结论.【详解】由直线与直线互相垂直，可得，解得或，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.14.设a、b是两条不同的直线，是一个平面，若且，则a、b的位置关系是（）．A相交 B.平行 C.异面 D.不能确定【答案】D【解析】【分析】由正方体模型即线面平行的性质易判断a、b的位置关系.【详解】由正方体的模型可得若且，则a、b的位置关系可能平行，也可能相交，也可能异面，故a、b的位置关系不能确定.故选：D.15.已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据互斥事件及所给条件求出，即可求出，从而得解.【详解】因为事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，，解得，，则．故选：C．16.如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论：①存在点满足；②存在点满足与平面所成角的大小为；③存在点满足；其中正确的个数是（）．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法一一计算可得.【详解】如图建立平面直角坐标系，则，，，，设，，则，若，则，解得，所以存在点满足，故①正确；因为，，设平面的法向量为，则，取，设与平面所成角为，，则，令，，则，所以，令，，则，所以，所以存在点满足与平面所成角的大小为，故②正确；因为，，所以，所以，所以存在点满足，故③正确.故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是建立空间直角坐标系，将几何关系转化为代数计算.三、解答题17.设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为．（1）已知，，求及d；（2）已知，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解.【小问1详解】解得：【小问2详解】解得：18.如图，三棱柱中，，，垂直于平面．（1）求异面直线与所成角大小；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值，即可得解；（2）求出平面的法向量，由距离公式计算可得.【小问1详解】因为，垂直于平面，如建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，设异面直线与所成角为，则，又，所以，即异面直线与所成角为；【小问2详解】因为，，，设平面的法向量为，则，取，则点到平面的距离.19.某篮球特色学校调查学生投篮技能情况，请每个学生投篮5次并记录进球数，随机抽取高一年级和高二年级各100名学生的进球数作为样本，结果统计如下（其中，）；进球数012345高一人数42b4212高二人数311244337（1）请写出高二年级样本的中位数；（2）若高一年级样本的平均数为，求的值；（3）在这200名学生中，高一高二年级各选取1人，若“至少有一个人的进球数为2”的概率是，求的值；【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据中位数的定义求解；（2）利用平均数的定义得到关于、的方程组，解得即可；（3）利用独立事件的概率乘法公式求解．【小问1详解】因为高二年级进球数不超过个的人数为人，不超过个的人数为人，所以高二年级样本的中位数为个；【小问2详解】因为高一年级样本的平均数为3.2，所以，即，又因为，所以，联立方程，解得，即的值为；【小问3详解】由题意可知，高一人中进球数为的有人，则随机抽一人进球数为的概率为；高二人中进球数为的有12人，则随机抽一人进球数为的概率为，所以“至少有一个人的进球数为”的概率，解得．20.端午节吃粽子，用箬竹叶包裹而成的三角粽是上海地区常见的一种粽子，假设其形状是一个正四面体，如图记作正四面体ABCD，设棱长为a．（1）求证：（2）求箬竹叶折出的二面角的大小；（3）用绳子捆扎三角粽，要求绳子经过正四面体的每一个面、不经过顶点，并且绳子的起点和终点重合．请设计一种捆扎三角粽的方案，使绳子长度最短（不计打结用的绳子），请在图中作出绳子捆扎的路径，并说明理由．【答案】（1）证明见详解.（2）（3）路径、理由见详解.【解析】【分析】（1）设中点为，连接、，通过线面垂直判定定理证明面，即可证明；（2）由二面角定义知即为所求二面角，利用余弦定理进行求解即可；（3）将四面体展开，即可判断过四个面的最短距离.【小问1详解】设中点，连接、,如下图所示：为正四面体，，交于点，平面，面，面，.【小问2详解】，即为二平面的夹角.为等边三角形，，，.【小问3详解】正四面体展开图如下图所示：题意要求绳子经过正四面体的每一个面、不经过顶点，并且绳子的起点和终点重合，使绳子长度最短，如图可知取两边中点连线即可达成要求，此时绳子最短.具体路径如下图所示：21.如图，已知椭圆的方程为，点、分别是椭圆的左、右顶点，点的坐标是，过点的动直线交椭圆于点、（点的横坐标小于点的横坐标）．（1）求椭圆焦点的坐标；