江苏省部分学校新高三暑期效果联合测评数学试题

2025届新高三暑期效果联合测评高三数学试卷满分150分，考试用时120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据并集的含义即可.【详解】由题意得.故选：D.2.若复数，则（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】对复数化简后，再求其模.【详解】因为，所以.故选：C3.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角余弦公式和差角余弦公式可得，求解即可.【详解】由题，所以.故选：A4.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数及正切函数的单调性比较大小即得.【详解】依题意，，，，而，所以.故选：D5.在等差数列中，，，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等差数列性质可知，，仍为等差数列，代入即可求解.【详解】由等差数列的性质可知，在等差数列中，，仍为等差数列，所以，所以．故选：C．6.已知函数，则（

）A.有三个极值点 B.有三个零点C.点是曲线对称中心 D.直线是曲线的切线【答案】C【解析】【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B；令，得到是奇函数，是的对称中心，再结合图象的平移规律即可判断C；由导数的几何意义求得切线方程即可判断D.【详解】对于A，由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A不正确；对应B，因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；对于C，令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；对于D，令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：C7.若的展开式中二项式系数和为64，则（）A3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】根据二项式系数和求解即可.【详解】在二项式展开式中，二项式系数的和为，所以.故选：D.8.已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，则三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正棱锥的性质，先过顶点作底面的垂线，由线面角的定义和题干数据进行求解.【详解】如图，为等边三角形，为中点，作面垂足为，设，则，根据正棱锥性质，则，根据线面角的定义，三棱锥的侧棱与底面所成角为，则.故选：B二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（）A.存在点，使得直线与直线所成的角为B.存在点，使得直线与直线所成的角为C.存在点，使得三棱锥的体积为D.存在点，使得平面【答案】CD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量的坐标运算判断AB；求出三棱锥的体积判断C；利用空间位置关系的向量证明判断D.【详解】在棱长为1的正方体中，建立以为坐标原点，以所在直线分别为轴的空间直角坐标系，如图：则，，设，即点，且，对于AB，，则，即，因此不存在点，使得直线与直线所成的角为或，AB错误；对于C，假设存在点，使得三棱锥的体积为，而，且点到平面的距离为，则，解得，当点为线段的靠近的三等分点，即时，三棱锥的体积为，C正确；对于D，假设存在点，使得平面，而，则，解得，当点为线段的中点，即时，使得平面，D正确.故选：CD10.已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（）A. B.为偶函数C.的周期为4 D.【答案】ABD【解析】【分析】根据及得，通过赋值，结合判断A；根据题意结合偶函数判断B；通过赋值根据周期函数的定义判断C；根据函数的周期为6，并且结合及赋值法求得，进而求和判断D.【详解】对于A：，故A正确；对于B：根据及得，令，，可得，且，可得，令，则，则，即，可知为偶函数，故B正确；对于C：令，则，可知，，可得，则，所以，可知周期为6，故C错误；对于D：因为，且，，令，，可得，所以，则，，，，所以，又周期为6，所以，故D正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.11.已知圆，则（）A.圆与直线必有两个交点B.圆上存在4个点到直线的距离都等于1C.圆与圆恰有三条公切线，则D.动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2【答案】AC【解析】【分析】根据直线切过定点切该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线的距离可判断B；将圆化成标准形式为，转化为两圆外切可判断C；由，且当最小时最小时可判断D.【详解】对于A，将直线整理得，由，知，所以直线过定点，因为，所以该定点在圆内，故A正确；对于B，圆的圆心到直线的距离为，所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1，与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1，所以只有三个点满足题意，故B错误；对于C，将圆化成标准形式为，因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以，解得，故C正确；对于D，连接，因为为切点，所以，所以，且当最小时，最小，所以当与直线垂直时，，又因为半径为2，所以，所以，故D错误.故选：AC.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在4道四选一的单选题中，有3道有思路，有1道完全没有思路，有思路的题每道做对的概率均为，没有思路的题只好任意猜一个答案．若从这4道题中任选2题作答，则该同学2道题都做对的概率为________．【答案】【解析】【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式，再分两个题目都有思路和一个有思路一个没有思路讨论即可求解.【详解】设事件A表示“两道题全做对”，若两个题目都有思路，则；若两个题目中一个有思路一个没有思路，则；故.故答案为：.13.在中，，点D在线段上，，，，点M是外接圆上任意一点，则最大值为_______.【答案】【解析】【分析】根据题中条件，结合勾股定理、余弦定理，可得，，由正弦定理，可得外接圆半径，根据向量的线性运算法则，结合数量积公式，可得的最大值，即可得答案.【详解】由题意可得：，，所以，解得，则，设的外心为，外接圆的半径为，由正弦定理得：，解得，可得．由平面向量的线性运算知，，所以，由图可知：．当且同向时，，所以最大值为．故答案为：．【点睛】方法点睛：平面向量解题方法1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向．14.O为坐标原点，双曲线的左焦点为，点P在E上，直线与直线相交于点M，若，则E的离心率为____________．【答案】【解析】【分析】作出辅助线，得到，根据双曲线定义得到，，设，列出方程，解得，这里取，则，由列出方程，求出，得到离心率.【详解】由题意得为双曲线的一条渐近线，设双曲线的右焦点为，连接，因为，所以，故，，由双曲线定义得，即，故，设，则，解得，这里取，则，，则，又，故，化简得，故.故答案为：四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知正项数列中，，且.（1）求数列的通项公式；（2），证明：.【答案】（1），；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知得，得到是以为公比的等比数列，求出通项公式；（2）求出，利用裂项相消法即可求证.【小问1详解】由，，得，又，则是以为首项，为公比的等比数列，所以，.【小问2详解】证明：因为，所以.16.已知函数.（1）当时，求曲线在点处切线方程.（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案；（2）转化为的图象有2个交点，令，利用导数求出值域，结合图象可得答案.【小问1详解】当时，，所以,，，所以曲线在点处的切线方程为，即；【小问2详解】，由得，的图象有2个交点，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，且时，，，所以时，，所以的大致图象如下，所以若函数有两个零点，则，所以实数的取值范围为.17.如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．（1）若，证明：平面；（2）若二面角的正切值为5，求BQ的长．【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）取的中点M，连接MP，MB，利用平行四边形证明，由判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，设，根据向量法求出二面角的正切值，解出，即可得解.【小问1详解】取的中点M，连接MP，MB，如图，在四棱台中，四边形是梯形，，又点M，P分别是棱的中点，所以，且．在正方形ABCD中，，又，所以．从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面；【小问2详解】在平面中，作于O．因为平面平面ABCD，平面平面，，平面，所以平面ABCD．在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则．以为正交基底，建立空间直角坐标系．因为四边形是等腰梯形，，所以又，所以．易得，所以．设，所以．设平面PDQ的法向量为，由，得，令，可得，另取平面DCQ的一个法向量为．设二面角平面角为，由题意得．又，所以，解得（舍负），因此．所以当二面角的正切值为5时，BQ的长为1．18.为了研究美国人用餐消费与小费支出的关系，随机抽取了7位用餐顾客进行调查，得样本数据如下：消费（单元：美元）3240508663100133小费（单位：美元）56798912相关公式：，．参考数据：，．（1）求小费（单位：美元）关于消费（单位：美元）的线性回归方程（其中的值精确到0.001）；（2）试用（1）中的回归方程估计当消费200美元时，要付多少美元的小费（结果精确到整数）？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据表中数据，计算、，求出、，写出回归方程；（2）用（1）中的回归方程，计算时的值．【小问1详解】依题意可得，，，；，，关于的线性回归方程为；【小问2详解】由（1）可得当时，；估计消费200美元时，要付美元的小费．19.已知抛物线：，圆：，为坐标原点.（1）若直线：分别与抛物线相交于点A，（在B的左侧）、与圆相交于点S，（S在的左侧），且与的面积相等，求出的取值范围；（2）已知，，是抛物线上的三个点，且任意两点连线斜率都存在.其中，均与圆相切，请判断此时圆心到直线的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）（2）是，定值为1.【解析】【分析】（1）根据题意，将三角形面积相等转化为，再利用设而不求分别求得，，从而得到，再由判别式即可得解.（2）充分利用，得到直线与的方程，利用与圆相切的性质同构出直线的方程，从而得解.【小问1详解】因为与的面积相等，且与的高均为原点到直线的距离，所以，则，设，，，，则，即，直线：代入抛物线，得，因为直线与抛物线交于，两点，所以，则，直线：代入圆：，得，因为直线与圆于S，T两点，所以，即，即，所以，由，得，又，则，将其代入得，解得；将其代入得，解得.综上，的取值范围为.【小问2详解】由题，易知直线，，