（人教A版）2021年新高一数学暑假讲义-第六讲 集合的运算（交集）

第六讲：集合的运算（交集）

韩【学习目标】

1.理解两个集合的交集的含义.会求两个简单集合的交集:

2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

【基础知识】

一、交集

学【考点剖析】

考点一：交集的运算（基础）

0^例1.己知集合4={1,2},8={x[0<x<3,xwN},则4口3=()

A.{1}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{1,3}

【答案】A

【详解】

集合A={1,3},B={x|0<x<3,xeN}={1,2},

所以405={1}.

故选：A.

变式训练1：已知集合人={-1,0,1,2,3,4},B={2,3,45,6,7},则Ap|B=()

A.{-l,0,l,2,3,4,5,6,7)B.{-1,0,1)

C.{2,3,4)D.{5,6,7)

【答案】c

【详解】

A=(-1,0,1,2,3,4},B={2,3,4,5,6,7),

.♦.Ac8={2,3,4}.

故选：C

变式训练2：已知集合4=卜小一1)(%+2)<0},5={-3,-2,-1,0,1,2,3),则408=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0}C.{-1,0,1,2}D.{0,1}

【答案】A

【详解】

•:A.—{x|—2<x<1},B={-3,—2,—1,0,1,2,3},

AAnB={-2,-l,0,l}.

故选：A

变式训练3：设集合A={x|5<x<16},B={3,4,6,7,9,12,13,16},则AQB中元素的个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【详解】

因为集合4=何5<%<16},B={3,4,6,7,9,12,13,16},

所以则4n8中元素的个数为5个.

故选：C.

考点二：交集的运算(提升)

\、例2.已知集合人=卜|0«*<4},B={X|X2-2X-3<0},则4口8=()

A.{x|-l<x<4!B.|x|-l<x<0}

C.1x|-l<x<3|D.{x|0<x<3|

【答案】D

【详解】

A=1x|0<x<41,B=1x|-l<x<3j,/.An5=[0,3],

故选：D

变式训练1：已知集合p={却<x<3},。={率<%<4},则PCIQ=（）

A.{x|l<x<2}B.{可2<%<3}C.{x|3<x<4}D.{x|l<x<4}

【答案】B

【详解】

因为集合〃=何1<%<3},。={目2<%<4},所以PDQ={x[2<x<3},

故选:B.

变式训练2：已知集合人={%,2—2x<o},8={X|1<X〈2},则AD8=（）

A.{x|l<x<2}B.{x|l<x<2}C.{x|0<x<2}D.{X|0<%<1}

【答案】A

【详解】

因为4=卜,2-2%<0}={川0«%42},B=所以AflB={x[l<2}.

故选：A.

变式训练3：已知集合4={*卜>2},8=卜,2-4*+340},则Ap|8=（）

A.1x|2<x<31B.1x|2<x<3j

C.{x|2vx<3}D.1x|2<x<3|

【答案】B

【详解】

集合8={尤,2-4x+34o}={x|lWx<3},A={x|x>2},故Ac3={x[2vx<3}.

故选：B.

考点三：交集的运算（拓展）

例3.已知集合4={%假一3|<1,%£2},8=-5X+6〈0,XEZ},则4口8=（

A.{2,3}B.{3}C.{x|2<x<3}D.{2,3,4}

【答案】B

【详解】

由Ix-3|<1知2cx<4,又xeZ,

所以A={3}.

由彳2-5》+6=。一2)(》一3)40得24》<3，又xeZ,

所以3={2,3}.

于是4门3={3},

故选:B.

变式训练1：己知集合4=,卜—1]<3},B={x|x2>l,xeZ},则4口8=()

A.{-1,0,1,2,3}B.{2,3}C.{1,2,3}D.{-1,0}

【答案】B

【详解】

A=(-2,4),8={xeZ|x<—1或x>l},所以AcB={2,3}.

故选：B.

变式训练2：已知集合A={R(X_3)(X+2)V0},8={中—2>0},则4r|5=()

A.何一3Vx<—2}B.{x|x>3}C.{x|x<-4}D.1x|2<x<3}

【答案】D

【详解】

A={x|(x-3)(x+2)VO}=(-2,3),8={中-2X)}=(2,+8),

.•.408=(2,3)

故选：D

变式训练3：已知集合A={.(—x+3)(x+2)vO},B={x|(x+4)(x-2)>0},则()

A.{x|x<-4或x>3}B.{x|x>3}

C.{x|x<-4}D.{.-3<x<-2}

【答案】A

【详解】

由题意A={x|x<-2或x>3},B={x[x<-4或x>2},

所以AnB={x|x<-4或x>3}.

故选：A.

考点四：交集的运算（探究）

例4.集合4={（工,可仅=奴+1,丘/?},5=［伍），）9+;/=2卜则4nB的元素个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【详解】

直线丁=丘+1恒过定点/（0,1）,点/（0,1）在圆f+y2=2内,

所以直线y="+1与圆Y+V=2有两个交点，集合ADB有两个元素.

故选：B

变式训练1：已知集合A={(x,y)|x=l},8={(x,y)|y=x+l},则4口8=()

A.{x\l<x<2}B.{(1,2)}C.{x\x>l}D.{1}

【答案】B

【详解】

X=]x—1

由《，得C，所以AnB={(l,2)}.

y=x+l[y=2

故选：B.

变式训练2：已知集合A={(x,y)|x-y=0},8={(x,y)|x-y=1},则AC|8=()

A.{(-1,-1),(U)}B.{(1,1)}C.1,-1)|D.0

【答案】A

【详解】

x-y=0x=-lX=1

解:解〈，得，《,或，

x-y=1U=Tg

故选：A.

变式训练3：已知集合4={(x,y)|x,yeN,y<x},B={(x,y)|x+y=6},则4口8中的元素个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【详解】

•••中的元素必满足且x+y=6,

，A08中的元素必在这七个元素中(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0),

(4,2),(5,1),(6,0)为4。5中的元素,

故选：B.

考点五：交集求参

例5.已知集合4={%€双*,2-2x_3<0},3={x|ox+2=0},若403=8,则实数4的取

值集合为()

A.{-1,-2)B.{-1,0}C.{-2,0,1}D.{-2,—1,01

【答案】D

【详解】

A={xeN*|x2_2x—3<0}={l,2},因为AC|8=B,所以6=

当a=0时，集合3={x|ar+2=0}=0,满足8=A：

2

当a#0时,集合8={讣a+2=0}=x=——

a

22

由B=A={1,2}得一—=1或——=2,解得。=一2或a=—l,

aa

综上，实数a的取值集合为{—2,—1,0}.

故选：D.

变式训练1：已知集合4={1,2},B={a,a2+3],若AD8={1},则实数。的值为（)

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【详解】

由AC13={1},而〃+323,故a=l，

故选：B.

变式训练2：（多选）设4={幻炉-8X+15=0},B={x\ax+l=0],若408=8,则实数。的值可

以为（）

11

A.——B.0C.3D.——

53

【答案】AB1)

【详解】

\-A^B=B,

B

A={X|X2-8X+15=0}={3,5},

当a=0时，3=0,符合题意;

当时，B=

要使8=4,则—工=3或—』=5,

aa

解得a=-1或。=--.

35

综上，a=0或a=—或。=—.

35

故选：ABD.

变式训练3：设集合4={x,2—940上B={x|3x+a20},且4口8={犬|1Wx<3},则。=()

A.-1B.-3C.1D.3

【答案】B

【详解】

A=|x|x2-9<o1={+3<x<31,B='xx>-三’,

由Ac8={x|l«x«3},所以一■|=1,即q=-3.

故选：B.

考点六：交集求参取值范围（一）

例6.设集合A={xez|0<x<5},5={x[a<x<5},若403={2,3,4},则°的取值范围是

()

A.(1,2)B.(1,2]C.[1,2)D.[1,2]

【答案】C

【详解】

由题意，集合A={xwz[0<x<5}={1,2,3,4},8={x[a<x<5},

因为Ap|3={2,3,4},则。的取值范围是[1,2).

故选：C.

变式训练1:已知集合D=①尸一2%-34()},。={加}.若PcQ=Q,则实数机的取值范围是()

A.(-1,3)B.(—oo,3]

C.S，T]U[3,*o）D.[-1,3]

【答案】D

【详解】

■：Pr>Q=Q,：.Q^P,

又集合尸={1,2-21—3«()}={1|-1Vx«3},Q={m},

,实数机的取值范围是

故选：D

变式训练2：已知集合4=卜,2一以+34()},B={x|x>a},若408=0,则实数°的取值范围是()

A.[3,+co)B.(3,+℃)C.(—co/]D.(—8,1)

【答案】A

【详解】

集合A={x,2-4x+3<o1=|x|l<x<31,8={x|x>a},

因为Afl8=0，所以“N3,

B

故选：A.

考点五：交集求参取值范围（二）

例5.已知集合4="|——%一1240},B={x\2m-\<x<m+\],且4口3=8,则实数机的

取值范围为（）

A.{m|-1<m<2}B.{m|-1<m<3}C.{m\m>2}D.{m\m>-\}

【答案】D

【详解】

因为X2—X—12W0,所以一3WXW4,所以A=[—3,4],

乂因为403=8,所以BqA,

当8=0时，B1A满足，所以2〃?一12加+1,解得加22；

m<2

当8/0时，若6=则有「加—12—3,解得-14加<2,

m-1<4

综上可知：{加|加2-1},故选：D.

变式训练1：设集合A={x,2—x—2K。},集合8={x|2m<x<l},且8/0.

(1)若=求实数加的取值范围;

【答案】(1)—<m<—

22

【详解】

(1)A-^x|x2-x—2<0^={%|-1<%<2},

因为An8=B,所以乂B/0,

2m<1

所以《解得---W〃2<一.

2m>-122

变式训练2：设集合A={x|x>2},8={x[(x—a-l)(x—a+l)<0},aeR.

(1)当。=2时，求AU8；

(2)若=求实数”的取值范围.

【答案】(1){目％>1}；(2)a>3.

【详解】

解：(1)8={x[(x-a-l)(x-a+1)<0}

当a=2时，有4={乂尤>2},B={x[l<x<3},

所以ADB={X|X>1}；

(2)由=得8=

因为A={x|x>2},3={x|a—1<x<a+l},

所以。一122,即。23；

变式训练3：己知集合A={x|2a-l<x<a+l},B=1x|0<x<l|.

(1)若a=l,求AIJ8；

(2)若Ap|B=。，求实数。的取值范围.

【答案】(1){x|0<x<2}；(2)

【详解】

(1)当。=1时，A={x|2a-1vxva+1}=何1vxv2},

所以Au3={x|0«xv2}.

(2)因为AcB=。，

(i)当2。-12。+1,即时，A=。，符合题意；

2a—1<a+1

(ii)当AH。时，〈八，解得lWa<2或。<一1

或a+140

综上所述，实数〃的取值范围是(Tq-f|U[l,+8).

图【当堂小结】

1.知识清单：

(1)交集的概念及运算.

(2)交集运算的性质.

(3)求参数值或范围.

2.方法归纳：数形结合、分类讨论.

3.常见误区：由交集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论.

L^J【过关检测】

1>已知集合A={-2,—1,0,1},B-{%|—1<x<2|,则4口8=()

A.{-1,0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1}

【答案】D

【详解】

AAB={O,1}.

故选:D.

2

2、已知集合4={-2,-1,0,1,2},B={X\X>1}9则AC3=()

A.{—1,0,1}B.{-2,—1,1,2)

C.{x|-l<x<l}D.{x\x<-l或xNl}

【答案】B

【详解】

因为VNI，所以XNI或—1,所以5="%忖4-1或xil},

所以4口3={—2,—1,1,2},

故选:B.

3、已知集合A={x|x<2},3={犬€2,2-3x44},则4nB=()

A.{x|-l<x<2}B.{x\x<4}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

【答案】C

【详解】

因为集合A={x|x<2},B={xeZ,2-3x44}={xeZ卜1W4}=(-1,0,1,2,3,4),

所以Ac8={-1,0,1}.

故选：c.

4、已知集合P={x|x<3},Q={x|—2<x<2},贝!!()

A.P^QB.QjPC.PC\Q=PD.P<JQ=Q

【答案】B

【详解】

因为P={x|x<3},<2={x|-2<x<2},

所以QqP,PcQ=Q,PUQ=P.

故选：B.

5、己知集合A={x|x<0或x>2},B={x|l<x<4},则人口8=()

A.1x|0<x<4jB.{x[l<x〈2}C.{x[l<x<4}D.{x|2cx<4}

【答案】D

【详解】

4口3={%|2<%<4}.

故选：D.

6、已知集合A={x|—3<x<l},B=1x|x2-3x-4<0},则4门台=()

A.{x|-3<x<l}B.{x|-l<x<l}

C.{x[l<x<2}D.{x|-3<x<2}

【答案】B

【详解】

由集合5={XX2-3X-4<0}={X|-1<X<4},

又由A={x|-3<x<l},所以Ac3={x|-l<x<l}.

故选:B.

7、设集合A={2,3,4},集合B={x|d—3x+机=0}.若ADB={2},则8=()

A.{1,-2}B.{1,0}C.{1,2}D.{1,3}

【答案】C

【详解】

由Ap|5={2}得2e8,即x=2是方程％2—3x+m=0的根，4一6+加=0

所以m=2,B=[1,2},

故选：C.

8、设集合A={x|xNl},3=卜,2+如+14()},且An3={x|lVxW2},则实数m=()

5533

A.--B.-C.--D.一

2222

【答案】A

【详解】

若〃吠+]=0的两个根分别为/，〃且/v〃，

B=[x\l<x<n]且/+〃=—〃?，ln=l,

Vy4nB=^x|l<x<21,且从={%,21},

7<1

九二2'

综上，口J得：-.

2

故选：A.

9、设集合A={x,2一%一6W。},B={x|2x+tz<0},且4口3={1|一2<%<2},则。=()

A.2B.-2C.-4D.4

【答案】C

【详解】

x2-x-6<0.解得：-2<x<3,即4=例-2，处3},

B=<xx<-—I,

I2]

AnB={x\-2<x<2],.-.-|=2,解得：a=T.

故选：C

10、已知集合A={X%2一21一3V。},5={X|X>Q},若An3={x|avxva+“，则。=()

A.2B.1C.0D.-1

【答案】A

【详解】

・；A={乂-1<x<3},8={x|x>a},AcB={x|avxva+1},

，〃+l=3,解得a=2.

故选：A.

11、设4={削-1<%<2},B={x|2x—aW0},且4门3={削一1«》41},则a的值为()

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】B

【详解】

由2x—aW()解得：x<p所以8=

又A={H-lWxW2},ADB={x[—

所以@=1,r.a=2,

2

故选：B.

12、设集合A={3,5},B={x|x2-5%+m=0},满足AU8={2,3,5}.

(1)求集合5;

(2)若集合。={刀|6—1=0},且满足8nC=C，求所有满足条件的”的集合.

【答案】⑴5={2,3}；⑵{0,g,；}.

【详解】

解：⑴：AU§={2,3,5},

：・2eB,m=6»

二8={2,3}.

(2)BC\C=C,：.CjB,

••.C的可能情形为C=0,C={2},C=⑶，C={2,3},

若C#0,则。=0，

若C={2},则a=；,

若。={3},则a=；,

若。={2,3},显然不满足题意.

.•.0的取值集合为]。，；，：}.

13、已知集合A=L-4x+3=。},8=卜,2一点+3=0}.

(1)若AU8=8,求实数。的值；

(2)若An8=8,求实数”的取值范围.

【答案】(1)4；(2)-26<a<2百或a=4.

【详解】

A=1x|x2—4x+3=oj—{1,3},

(1)因为Au8=B，所以A=8,

所以1和3是x?—5+3=0的两个实根，

所以1+3=。，即。=4.

(2)因为4口3=8,所以所以3=0或8={1}或3={3}或8={1,3},

当3=0时，/一⑪+3=0无解，所以△=。2一12<0，即一2若<”2出，

1—Q+3=0

当3={l}时，/一原+3=()有且只有一个实根％=i,所以,A21C八无解，

△二。2-12=0

9—3。+3=0

当3={3}时,X?-公+3=0有且只有一个实根x=3,所以《无解,

△=4—12=0

当8={1,3}时，/一⑪+3=0有2个实根x=l和无=3,所以1+3=。，即。=4.

综上所述：实数4的取值范围是一26<“<2坏或。=4.

14、已知集合4=卜|%2-3%+2=()},5={x|x2-2(«+l)x+(a2-5)=0}.

(1)若AD8={2},求实数。的值；

(2)若4口8=8,求实数。的取值范围.

【答案】(1)ci——1或。=5；(2)ci<—3.

【详解】

(1)：AcB={2},2eB，即2?—2(。+1>2+/一5=0,解得a=—l或a=5.

当”=一1时，B={x|x2-4=0}={2,-2},A={1,2},满足Ac8={2}

当a=5时，5={X|X2-12X+20=0}={2,10},满足AC3={2}

.二所求实数。的值是〃=一1或a=5.

(2)'：A[}B=B,：.B^A,即3可能为0,{1},{2},{1,2}

当8=0时，△=4(a+l)2—4(1—5)＜0,解得。＜一3

当集合8中只有一个元素时，A=4(«+l)2-4(«2-5)=0,解得。=一3，此时

B={X\X2+4X+4=0]={-2},即集合8不可能为{1}或{2}

当3={1,2}时，由根与系数的关系可知5—2方程组无解，则8不可能为。，2}

二所求实数a的取值范围是。＜-3.

15、已知集合4={.(3-》)(2犬+1)>()},B=a+1<x<3a-21.

(1)若4U3={x[—g<xW4},求实数”的值；

(2)若=求实数a的取值范围.

【答案】(1)2；(2)a<~.

3

【详解】

(1)由题意知不等式(3-x)(l+2x)>0,

解得：—<x<3,

2

即A={x|_g<x<3}.

•e,A\jB=[x\-^<x<4}.

，3a—2=4,

解得a=2，

此时，B={x|3<x<4},满足题意，

实数a的值是2.

(2)由Afl8=B知6=

①当8=0时，

3a—2<a+1,

3

解得〃<一,满足题意；

2

3。—22Q+1

②当时，(3。一2<3,

।1

a+1〉—

2

35

解得大工〃<；；.

23

综上，实数。的取值范围是〃<?.

3

16、已知集合A={x|TVxW2