山东省青岛市青岛第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页山东省青岛市青岛第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线关于x轴对称的直线方程为（

）A． B．C． D．2．两条平行直线：与：之间的距离是（

）A．0 B．2 C．1 D．3．若椭圆的长轴端点与双曲线的焦点重合，则的值为（

）A．4 B． C． D．24．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．5．如果直线与曲线有两个不同的公共点，那么实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝17．已知直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（

）A．2 B． C． D．8．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为(

)A． B． C． D．二、多选题9．已知方程，则下列说法中正确的有（

）A．方程可表示圆B．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆C．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为1010．已知圆与圆，下列说法正确的是（

）A．与的公切线恰有4条B．与相交弦的方程为C．与相交弦的弦长为D．若，分别是圆，上的动点，则11．已知双曲线的左右顶点为，，左右焦点为，，直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则（

）A．若，则的面积为B．直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则C．若的斜率的范围为，则的斜率的范围为D．存在直线的方程为，使得弦的中点坐标为12．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点作直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，过点作抛物线的切线与准线交于点，连接，若，则（

）A． B．C．为钝角 D．三、填空题13．抛物线的准线方程为.14．若直线与圆相交于，两点，且（其中为原点），则的值为.15．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为.16．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为.

四、解答题17．已知的三个顶点的坐标为，，，求(1)求的面积；(2)求的外接圆的标准方程.18．已知直线和圆，且直线和圆交于两点.(1)当为何值时，截得的弦长为4；(2)若，求的取值范围.19．已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.(1)求的方程；(2)直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求.20．已知动圆过定点，且截轴所得弦长为4.(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)过点的直线与轨迹交于A，两点，若为轨迹的焦点，且满足，求的值.21．椭圆与双曲线有相同的焦点，且过.

(1)求椭圆的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，.（i）证明：点B在以为直径的圆内；（ii）求四边形面积的最大值.22．已知点在双曲线上．(1)双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：的面积是定值；(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足，证明：点恒在一条定直线上．答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．D 2．D 3．D 4．D 5．B 6．D 8．A9．BCD 10．BCD 11．ABC 12．ABD13． 14． 15． 16．17．【详解】（1），，，由于,所以为以为斜边的等腰直角三角形，可得中点，所以，故的面积为20.（2）由（1）知.所以外接圆圆心恰好为中点，半径,所以三角形外接圆标准方程为.18．【详解】（1）设直线与圆心距离为，则，所以有解得；（2）当时，，此时，因为，所以，有，即，解得.19．【详解】（1）设点的坐标为，因为，，所以，化简得：.所以的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；设，，直线方程为，与联立得：，由且，解得且，由韦达定理得，因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，所以，解得或（舍去），所以直线为，所以，所以.20．【详解】（1）如图，设动圆圆心，设圆截y轴所得弦为，则有，当不在y轴上时，过作交于，则是的中点，于是，化简得；当在y轴上时，动圆过定点，且在y轴上截得弦的长为4，则与原点重合，即点也满足方程，所以动圆圆心的轨迹的方程为.（2）显然直线斜率存在，不妨设直线，与联立可得，，得，韦达定理可知，已知，解得或1，因为，所以.所以.21．【详解】（1）由题知，椭圆的焦点为，，故可设椭圆的方程为，将点代入可得，解得，所以椭圆得方程为.

（2）（i）易知，由椭圆对称性可知，不妨设，；根据题意可知直线斜率均存在，且，；所以直线的方程为，的方程为；联立直线和椭圆方程，消去可得；由韦达定理可得，解得，则；联立直线和椭圆方程，消去可得；由韦达定理可得，解得，则；则，；所以；即可知为钝角，所以点B在以为直径的圆内；（ii）易知四边形的面积为，设，则，当且仅当时等号成立；由对勾函数性质可知在上单调递增，所以，可得，所以时，四边形的面积最大为6，此时点的坐标为，由对称性可知，即当点的坐标为或时，四边形的面积最大，最大值为6.22．【详解】（1）将代入双曲线中，，解得，故双曲线方程为，下面证明上一点的切线方程为，理由如下：当切线方程的斜率存在时，设过点的切线方程为，与联立得，，由化简得，因为，代入上式得，整理得，同除以得，，即，因为，，所以，联立，两式相乘得，，从而，故，即，令，则，即，解得，即，当切线斜率不存在时，此时切点为，切线方程为，满足，综上：上一点的切线方程为，设，则过点的切线方程为，故为过点的切线方程，双曲线的两条渐近线方程为，联立与，解得,联立与，解得,直线方程为，即，故点到直线的