探索三角形全等的条件课件

3探索三角形全等的条件第1课时“SSS”

根据“SSS”说明三角形全等三边分别相等的两个三角形全等,简写为“

”或“

”.

边边边SSS[例1-1]如图所示,有一个三角形钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.试说明△ABD≌△ACD.解:因为D是BC的中点,所以BD=CD.在△ABD和△ACD中,因为AB=AC,BD=CD,AD=AD,所以△ABD≌△ACD.[例1-2]如图所示,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,BE=CF.说明:AB∥DF.解:因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC=FE.在△ABC和△DFE中,因为AB=DF,AC=DE,BC=FE,所以△ABC≌△DFE(SSS).所以∠B=∠F.所以AB∥DF.新知应用1.如图所示,已知AD=BC,根据“SSS”,说明△ABC≌△BAD,还需要添加的条件是()A.OD=OC B.OA=OBC.AC=BD D.AB=ABC 2.如图所示,AB=DE,AC=DF,BE=CF,试说明△ABC≌△DEF.解:因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC=EF.在△ABC和△DEF中,因为AB=DE,BC=EF,AC=DF,所以△ABC≌△DEF.3.如图所示,已知AD=CE,BD=BE,点B是AC的中点,∠ABD=60°.求∠DBE的度数.解:因为点B是AC的中点,所以AB=CB.在△ABD和△CBE中,因为AD=CE,BD=BE,AB=CB,所以△ABD≌△CBE(SSS).所以∠ABD=∠CBE=60°.所以∠DBE=180°-∠ABD-∠CBE=180°-60°-60°=60°.三角形的稳定性三角形具有

.

[例2]有一个人用四根木条钉了一个四边形的模具,两根木条连接处钉一颗钉子,但他发现这个模具老是走形,为什么?如果想把这个模具固定,再给你一根木条,你怎么把它固定下来,画出示意图,并说出理由.稳定性解:因为多边形ABCD是四边形,四边形具有不稳定性,所以这个模具老是走形.如图所示,把木条放在BD处,在B,D处各钉一颗钉子,则四边形ABCD就固定下来了.理由如下:钉上木条BD后,四边形ABCD被分成2个三角形,三角形具有稳定性.新知应用1.如图所示,为使人字梯更为稳固,在梯子中间安装一个横向“拉杆”,所根据的数学原理是

.

三角形具有稳定性2.如图所示,图形中哪些具有稳定性?解:根据三角形具有稳定性,知具有稳定性的图形是(1),(4),(6).1.下列生活实物中,没有用到三角形的稳定性的是()B 2.如图所示,AC=BD,AO=BO,CO=DO,∠D=30°,∠A=95°,则∠AOC的度数为()A.60° B.55° C.50° D.45°3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD=DC,则下列结论错误的是(

)A.∠BAC=∠B B.∠BAD=∠CADC.AD⊥BC D.∠B=∠CB A4.如图所示,PN=QN,若想用三角形判定条件“边边边”来说明△MNP≌△MNQ,则需要添加的条件是

.

MP=MQ5.如图所示,D是BC上一点,AB=AD,BC=DE,AC=AE.说明:∠BAD=∠CAE.解:在△ABC和△ADE中,因为AB=AD,BC=DE,AC=AE,所以△ABC≌△ADE(SSS).所以∠BAC=∠DAE.所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.所以∠BAD=∠CAE.6.如图所示,在四边形ABCD中,已知AB=CD,AD=CB,判断∠A与∠C的关系,并说明理由.解:∠A=∠C.理由如下:如图所示,连接BD.在△BAD和△DCB中,因为AB=CD,AD=CB,BD=DB,所以△BAD≌△DCB.所以∠A=∠C.第2课时“ASA”“AAS”

根据“ASA”说明三角形全等两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写为“

”或“

”.角边角ASA[例1-1]如图所示,已知点B,F,C,E在一条直线上,AB=DE,AB∥DE,∠A=∠D,试说明△ACB≌△DFE.解:因为AB∥DE,所以∠B=∠E.在△ACB和△DFE中,因为∠B=∠E,AB=DE,∠A=∠D,所以△ACB≌△DFE.[例1-2]如图所示,点E,F在直线BC上,AB=DF,∠A=∠D,∠B=∠F.说明:BC+BE=BF.解:在△ABC和△DFE中,因为∠A=∠D,AB=DF,∠B=∠F,所以△ABC≌△DFE(ASA).所以BC=FE.所以BC-EC=FE-EC,即BE=CF.所以BF=BC+CF=BC+BE,即BC+BE=BF.新知应用1.如图所示,∠B=∠E,∠1=∠2,若根据“ASA”说明△ABC≌△DEF,那么需要补充的条件是()A.AC=DF B.AB=DEC.BF=CF D.BF=CED 2.如图所示,在△ABC和△EDC中,∠ABC=∠EDC=90°,B是EC的中点,BC=DC.(1)说明:△ABC≌△EDC;(2)若DC=2,求AC的长.解:(1)在△ABC和△EDC中,因为∠ABC=∠EDC=90°,BC=DC,∠C=∠C,所以△ABC≌△EDC(ASA).(2)因为DC=2,所以BC=DC=2.因为B是EC的中点,所以EC=2BC=4.因为△ABC≌△EDC,所以AC=EC=4.根据“AAS”说明三角形全等两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写为“

”或“

”.

[例2-1]如图所示,已知∠B=∠C,AE=AD,试说明AB=AC.角角边AAS解:在△AEB和△ADC中,因为∠B=∠C,∠A=∠A,AE=AD,所以△AEB≌△ADC.所以AB=AC.[例2-2]如图所示,∠1=∠2,∠A=∠B,EC=ED,点D在边AC上,试说明AC=BD.解:因为∠1=∠2,所以∠1+∠AED=∠2+∠AED,即∠AEC=∠BED.在△AEC和△BED中,因为∠A=∠B,∠AEC=∠BED,EC=ED,所以△AEC≌△BED.所以AC=BD.新知应用1.如图所示,点E在△ABC的边AC上,AE=BC,BC∥AD,∠D=∠BAC.试说明:AB=DE.解:因为BC∥AD,所以∠C=∠DAE.在△ABC和△DEA中,因为∠BAC=∠D,∠C=∠DAE,BC=EA,所以△ABC≌△DEA(AAS).所以AB=DE.2.如图所示,AE∥DF,EC∥BF,AE=DF,其中点A,B,C,D在一条直线上.若AD=14,BC=6,求线段BD的长.解:因为AE∥DF,EC∥BF,所以∠A=∠D,∠ACE=∠DBF.在△ACE和△DBF中,因为∠ACE=∠DBF,∠A=∠D,AE=DF,所以△ACE≌△DBF.所以CA=BD.所以AB+BC=BC+DC.所以AB=DC.因为AD=14,BC=6,所以AB+DC=2DC=AD-BC=14-6=8.所以DC=4.所以BD=BC+DC=6+4=10,即线段BD的长为10.1.如图所示,已知AB=CD,∠B=∠C,AC和BD相交于点O,则能直接运用“AAS”判定全等的三角形是()A.△AOD≌△AOB B.△AOD≌△CODC.△ADC≌△DAB D.△AOB≌△DOCD 2.如图所示,AD∥BC,AD=CB.试说明E为AC的中点.解:因为AD∥BC,所以∠A=∠C,∠D=∠B.在△ADE和△CBE中,因为∠A=∠C,AD=CB,∠D=∠B,所以△ADE≌△CBE.所以AE=CE.所以E为AC的中点.3.如图所示,AB=BD,DE∥AB,∠C=∠E.(1)说明:△ABC≌△BDE;解:(1)因为DE∥AB,所以∠BDE=∠ABC.在△ABC和△BDE中,因为∠C=∠E,∠ABC=∠BDE,AB=BD,所以△ABC≌BDE(AAS).(2)当∠A=80°,∠ABE=120°时,求∠BDE的度数.解:(2)因为∠A=80°,△ABC≌△BDE,所以∠A=∠DBE=80°.因为∠ABE=120°,所以∠ABC=∠ABE-∠DBE=120°-80°=40°.所以∠BDE=40°.第3课时“SAS”

根据“SAS”说明两个三角形全等两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写成

或“

”.

“边角边”SAS[例1-1](2023泸州)如图所示,点B在线段AC上,BD∥CE,AB=EC,DB=BC.说明:AD=EB.解:因为BD∥CE,所以∠ABD=∠C.在△ABD和△ECB中,因为AB=EC,∠ABD=∠C,DB=BC,所以△ABD≌△ECB(SAS),所以AD=EB.[例1-2]如图所示,点C,F,E,B在一条直线上,∠CFD=∠BEA,CE=BF,DF=AE,试说明CD∥AB.解:因为CE=BF,所以CE-EF=BF-EF,即CF=BE.在△CDF和△BAE中,因为CF=BE,∠CFD=∠BEA,DF=AE,所以△CDF≌△BAE.所以∠C=∠B.所以CD∥AB.新知应用1.如图所示,已知AB=AC,AD=AE,下列结论错误的是()A.∠B=∠CB.BD=CEC.BE⊥CDD.△ABE≌△ACDC 2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,∠EAB=∠FAC,且AE=AF,说明:∠EDB=∠FDC.解:因为D是BC的中点,所以BD=CD.在△ABD和△ACD中,因为AB=AC,BD=CD,AD=AD,所以△ABD≌△ACD(SSS).所以∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC.因为∠EAB=∠FAC,所以∠EAB+∠BAD=∠FAC+∠CAD,即∠DAE=∠DAF.在△AED和△AFD中,因为AE=AF,∠DAE=∠DAF,AD=AD,所以△AED≌△AFD(SAS).所以∠ADE=∠ADF.所以∠ADB-∠ADE=∠ADC-∠ADF,即∠EDB=∠FDC.三角形全等条件的综合应用[例2]如图所示,已知点D在射线AE上,BD=CD,AE平分∠BAC与∠BDC,说明:AB=AC.解:因为AE平分∠BDC,所以∠BDE=∠CDE.因为∠BDA=180°-∠BDE,∠CDA=180°-∠CDE,所以∠BDA=∠CDA.在△BDA和△CDA中,因为AD=AD,∠BDA=∠CDA,BD=CD,所以△BDA≌△CDA(SAS).所以AB=AC.判定三角形全等时,若已知两边分别相等,则找它们的夹角或第三边相等;若已知两角分别相等,则找它们的夹边或一组等角的对边相等;若已知一边一角分别相等,则找另一组角或已知角的另一组邻边相等.新知应用1.下列条件不能判断△ABC与△DEF全等的是()A.AC=DF,BC=EF,∠C=∠FB.AB=EF,∠B=∠F,∠A=∠EC.AC=DE,∠B=∠E,∠A=∠FD.AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠FC 2.如图所示,已知AD=AE,BD与CE相交于点O,BD=CE,∠B=∠C.说明:AB=AC.解:在△ABD和△ACE中,∠A=∠