2024届河北省衡水市部分示范性高中高三下学期三模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省衡水市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，又，故，故选：B．2.已知函数，则“”是“函数是奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗若函数是奇函数，则恒成立，即，而，得．故“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件．故选：B．3.已知是单位向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故．，设与的夹角为，则，又，故，故选：A．4.艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设圆锥的底面圆的半径为，则底面圆的面积为，侧面面积为，由题意知，所以，解得，因此该圆锥的高，故该圆锥的体积．故选：C．5.已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（）A.2 B.3 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗因为数列均为等差数列，可得，且，又由，可得．因此.故选：A．6.已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（）A. B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以两圆方程相减可得，由题意知的一条渐近线为，即，双曲线的离心率．故选：C．7.已知，则m，n的关系为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，，，则，即，即.故选：D.8.已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件，每人各射击一次，在三人中恰有两人命中为事件，则，，则.故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.复数，其中，设在复平面内的对应点为，则下列说法正确的是（）A.当时， B.当时，C.对任意，点均在第一象限 D.存在，使得点在第二象限〖答案〗AC〖解析〗当时，，故，故选项正确；，B选项错误；当时，，，故对任意，点均在第一象限，故C选项正确；不存在，使得点在第二象限，D选项错误．故选：AC．10.已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（）A. B.函数在区间上单调递减C.过点能作两条不同直线与相切 D.函数有5个零点〖答案〗AD〖解析〗对于A中，由函数，可得，因为是函数的一个极值点，可得，解得，经检验适合题意，所以A正确；对于B中，由，令，解得或，当时，；当时，；当时，，故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B错误；对于C中，设过点且与函数相切的切点为，则该切线方程为，由于切点满足直线方程，则，整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误；对于D中，令，则的根有三个，如图所示，，所以方程有3个不同根，方程和均有1个根，故有5个零点，所以D正确．故选：AD．11.已知在正方体中，，点为的中点，点为正方形内一点（包含边界），且平面，球为正方体的内切球，下列说法正确的是（）A.球的体积为 B.点的轨迹长度为C.异面直线与BP所成角的余弦值取值范围为 D.三棱锥外接球与球内切〖答案〗ACD〖解析〗由题意知球的半径为1，故其体积为，故A选项正确；取的中点为，连结，易知，平面，平面，故平面，连接MN，，即四边形为平行四边形，则，平面，平面，所以平面．又因为，平面，故平面平面，平面平面，结合平面，故点的轨迹为线段，故B选项错误；因为，故异面直线与BP所成角等于或其补角，当P位于N点时，得取得最小，;当P位于点时，取得最大，，故选项正确；由正方体几何性质易知，故BM为三棱锥外接球的直径，取为BM的中点，即为三棱锥外接球的球心，由题意知为的中点，故，因为球的半径为，球的半径为，故三棱锥外接球与球内切，D正确故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数为______（用数字作答）〖答案〗〖解析〗由题意，多项式展开式中含有的项为：，所以的系数为．13.已知是函数的一条对称轴，在区间内恰好存在3个对称中心，则的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗由题意知是函数的一条对称轴，故，解得，，因为，故，故，令，解得，原点附近的6个对称中心分别为，若3个对称中心恰好是，则，则t不存在，不合题意；若3个对称中心恰好是，则，则；故当时，符合题意．故t的取值范围为.14.已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为______．〖答案〗〖解析〗由题意知，设A，B两点坐标分别为，两式相减得，由题意为AB中点，则，代入整理得．即由题意知，因此，所以，由焦距为6，解得．由椭圆定义知的周长为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某企业为调研旗下公司职工对加班宵夜的满意度情况，在该企业旗下一个某地子公司进行小范围调研试验，该试验从该小公司随机抽取50名男职工、30名女职工进行调研得到如下列联表：性别满意情况合计满意不满意男职工252550女职工25530合计503080（1）根据表中数据，依据小概率值独立性检验，分析该子公司职工对加班宵夜的满意度是否与性别有关；（2）若该企业有员工10000人，本次调研情况近似作为企业整体职工情况，频率近似概率．若该企业为加班宵夜满意的员工分发20元的打车补助，给不满意的员工分发30元的打车补助，求企业本次发放总费用数学期望．附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假设为：满意度与性别无关．经计算得，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005；（2）根据题意，全企业职工每人满意概率为，设满意的人数为，则不满意的为，由题意知，，则16.如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值．（1）证明：在平行四边形中，因为，所以四边形为菱形，故，又因为，故为等边三角形，故．在中，，,所以，故又因为，平面，所以平面，因为平面，因此．又因为，平面，所以平面；（2）解：取的中点，连结BM，因为为等边三角形，所以，因为∥，所以，因为平面，平面，所以，故两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，得；设平面的法向量为，则,令，得．设平面与平面所成角为，则．17.已知数列满足：．（1）请写出的值，给出一个你的猜想，并证明；（2）设，求数列前项和．解：（1）因为，可得，，，因此猜想是以1为首项，为公比的等比数列；下面证明：因为，即，又因为，故是以1为首项，为公比的等比数列，所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，当时，，累加得，所以，当时，满足题意，所以对成立；故，可得其中，设，则，两式相减得，即，综上可得，数列的前项和．18.已知．（1）求的单调区间和最值；（2）定理：若函数在上可导，在上连续，则存在，使得．该定理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题：若，求证：．（1）解：，令，解得，当时，单调递减；当时，单调递增．当时，取得最小值1，无最大值；（2）证明：要证，只需证，因为，故只需证．令，显然在上可导，在上连续，故由拉格朗日中值定理知存在，使得，而在上单调递增，因为，故，即，故只需证即可，因为，故只需证．由（1）知恒成立，因此原命题得证．19.已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与交于，两点．直线，与相切，切点分别为，，，与轴的交点分别为，两点，且．（1）求的方程；（2）若点为上一动点（与，及坐标原点均不重合），直线与相切，切点为，与，的交点分别为，．记，的面积分别为，．①请问：以，为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；②证明：为定值．（1）解：设，，，联立，消去得，显然，所以，．由，，故的方程为，令得，解得，即，同理，则．由，知，由，得，解得或（舍去），故的方程为；（2）①解：由（1）不妨设，由，解得，，所以，．设，则．联立，解得，所以，同理，以、为直径的圆的方程为，整理得，令，解得或，故该圆恒过两个点．②证明：由于，，，，，所以，，，，直线的斜率为，显然直线与垂直，故为直角三角形，同理也是直角三角形，故，，故（或）．河北省衡水市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，又，故，故选：B．2.已知函数，则“”是“函数是奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗若函数是奇函数，则恒成立，即，而，得．故“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件．故选：B．3.已知是单位向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故．，设与的夹角为，则，又，故，故选：A．4.艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设圆锥的底面圆的半径为，则底面圆的面积为，侧面面积为，由题意知，所以，解得，因此该圆锥的高，故该圆锥的体积．故选：C．5.已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（）A.2 B.3 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗因为数列均为等差数列，可得，且，又由，可得．因此.故选：A．6.已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（）A. B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以两圆方程相减可得，由题意知的一条渐近线为，即，双曲线的离心率．故选：C．7.已知，则m，n的关系为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，，，则，即，即.故选：D.8.已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件，每人各射击一次，在三人中恰有两人命中为事件，则，，则.故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.复数，其中，设在复平面内的对应点为，则下列说法正确的是（）A.当时， B.当时，C.对任意，点均在第一象限 D.存在，使得点在第二象限〖答案〗AC〖解析〗当时，，故，故选项正确；，B选项错误；当时，，，故对任意，点均在第一象限，故C选项正确；不存在，使得点在第二象限，D选项错误．故选：AC．10.已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（）A. B.函数在区间上单调递减C.过点能作两条不同直线与相切 D.函数有5个零点〖答案〗AD〖解析〗对于A中，由函数，可得，因为是函数的一个极值点，可得，解得，经检验适合题意，所以A正确；对于B中，由，令，解得或，当时，；当时，；当时，，故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B错误；对于C中，设过点且与函数相切的切点为，则该切线方程为，由于切点满足直线方程，则，整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误；对于D中，令，则的根有三个，如图所示，，所以方程有3个不同根，方程和均有1个根，故有5个零点，所以D正确．故选：AD．11.已知在正方体中，，点为的中点，点为正方形内一点（包含边界），且平面，球为正方体的内切球，下列说法正确的是（）A.球的体积为 B.点的轨迹长度为C.异面直线与BP所成角的余弦值取值范围为 D.三棱锥外接球与球内切〖答案〗ACD〖解析〗由题意知球的半径为1，故其体积为，故A选项正确；取的中点为，连结，易知，平面，平面，故平面，连接MN，，即四边形为平行四边形，则，平面，平面，所以平面．又因为，平面，故平面平面，平面平面，结合平面，故点的轨迹为线段，故B选项错误；因为，故异面直线与BP所成角等于或其补角，当P位于N点时，得取得最小，;当P位于点时，取得最大，，故选项正确；由正方体几何性质易知，故BM为三棱锥外接球的直径，取为BM的中点，即为三棱锥外接球的球心，由题意知为的中点，故，因为球的半径为，球的半径为，故三棱锥外接球与球内切，D正确故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数为______（用数字作答）〖答案〗〖解析〗由题意，多项式展开式中含有的项为：，所以的系数为．13.已知是函数的一条对称轴，在区间内恰好存在3个对称中心，则的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗由题意知是函数的一条对称轴，故，解得，，因为，故，故，令，解得，原点附近的6个对称中心分别为，若3个对称中心恰好是，则，则t不存在，不合题意；若3个对称中心恰好是，则，则；故当时，符合题意．故t的取值范围为.14.已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为______．〖答案〗〖解析〗由题意知，设A，B两点坐标分别为，两式相减得，由题意为AB中点，则，代入整理得．即由题意知，因此，所以，由焦距为6，解得．由椭圆定义知的周长为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某企业为调研旗下公司职工对加班宵夜的满意度情况，在该企业旗下一个某地子公司进行小范围调研试验，该试验从该小公司随机抽取50名男职工、30名女职工进行调研得到如下列联表：性别满意情况合计满意不满意男职工252550女职工25530合计503080（1）根据表中数据，依据小概率值独立性检验，分析该子公司职工对加班宵夜的满意度是否与性别有关；（2）若该企业有员工10000人，本次调研情况近似作为企业整体职工情况，频率近似概率．若该企业为加班宵夜满意的员工分发20元的打车补助，给不满意的员工分发30元的打车补助，求企业本次发放总费用数学期望．附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假设为：满意度与性别无关．经计算得，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005；（2）根据题意，全企业职工每人满意概率为，设满意的人数为，则不满意的为，由题意知，，则16.如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值．（1）证明：在平行四边形中，因为，所以四边形为菱形，故，又因为，故为等边三角形，故．在中，，,所以，故又因为，平面，所以平面，因为平面，因此．又因为，平面，所以平面；（2）解：取的中点，连结BM，因为为等边三角形，所以，因为∥，所以，因为平面，平面，所以，故两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，得；设平面的法向量为，则,令，得．设平面与平面所成角为，则．17.已知数列满足：．（1）请写出的值，给出一个你的猜想，并证明；（2）