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文档简介
重庆市第四十二中学2025届高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在抛物线上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为()A. B.2C.1 D.42.已知数列{}满足,则()A. B.C. D.3.已知等差数列的公差,是与的等比中项,则()A. B.C. D.4.命题“存在,使得”为真命题的一个充分不必要条件是()A. B.C. D.5.如图,A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,且平面ABC中的小方格均为单位正方形,,,则()A.1 B.C.2 D.6.已知,为椭圆上关于短轴对称的两点,、分别为椭圆的上、下顶点,设,、分别为直线,的斜率,则的最小值为()A. B.C. D.7.中心在原点的双曲线C的右焦点为,实轴长为2,则双曲线C的方程为()A. B.C. D.8.在圆内,过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A. B.C. D.9.已知数列满足,则()A.2 B.C.1 D.10.空气质量指数大小分为五级指数越大说明污染的情况越严重,对人体危害越大,指数范围在:,,,,分别对应“优”、“良”、“轻中度污染”、“中度重污染”、“重污染”五个等级,如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图,下面说法错误的是().A.这14天中有4天空气质量指数为“良”B.从2日到5日空气质量越来越差C.这14天中空气质量的中位数是103D.连续三天中空气质量指数方差最小是9日到11日11.从直线上动点作圆的两条切线,切点分别为、,则最大时,四边形(为坐标原点)面积是()A. B.C. D.12.已知“”的必要不充分条件是“或”,则实数的最小值为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线,则圆的圆心C到双曲线渐近线的距离为______14.如图,在四棱锥中,是边长为4的等边三角形,四边形ABCD是等腰梯形,,,,若四棱锥的体积为24,则四棱锥外接球的表面积是___________.15.以点为圆心,且与直线相切的圆的方程是____________16.若平面内两条直线,平行,则实数______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等差数列前n项和为,,,若对任意的正整数n成立,求实数的取值范围.18.(12分)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的存在,求实数的取值范围;若问题中的不存在,请说明理由设等差数列的前n项和为,数列的前n项和为,___________,,,是否存在实数,对任意都有?19.(12分)已知数列{}满足a1=1,a3+a7=18,且(n≥2)(1)求数列{}的通项公式;(2)若=·,求数列的前n项和20.(12分)已知公差不为0的等差数列的前项和为,且,,成等比数列,且.(1)求的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.21.(12分)如图,已知椭圆:经过点,离心率(1)求椭圆的标准方程;(2)设是经过右焦点的任一弦(不经过点),直线与直线:相交于点,记,,的斜率分别为,,,求证:,,成等差数列22.(10分)已知圆:,定点,A是圆上的一动点,线段的垂直平分线交半径于P点(1)求P点的轨迹C的方程;(2)设直线过点且与曲线C相交于M,N两点,不经过点.证明:直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由方程可得抛物线的焦点和准线,进而由抛物线的定义可得,解之可得值【详解】解:由题意可得抛物线开口向右,焦点坐标,,准线方程,由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5,即,解之可得.故选:B.2、B【解析】先将通项公式化简然后用裂项相消法求解即可.【详解】因为,.故选:B3、C【解析】由等比中项的性质及等差数列通项公式可得即可求.【详解】由,则,可得.故选:C.4、B【解析】“存在,使得”为真命题,可得,利用二次函数的单调性即可得出.再利用充要条件的判定方法即可得出.【详解】解:因为“存在,使得”为真命题,所以,因此上述命题得个充分不必要条件是.故选:B.【点睛】本题考查了二次函数的单调性、充要条件的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.5、B【解析】根据向量的线性运算,将向量表示为,再根据向量的数量积的运算进行计算可得答案,【详解】因为,所以=,故选:B.6、A【解析】设出点,的坐标,并表示出两个斜率、,把代数式转化成与点的坐标相关的代数式,再与椭圆有公共点解决即可.【详解】椭圆中:,设则,则,,令,则它对应直线由整理得由判别式解得即,则的最小值为故选:A7、D【解析】根据条件,求出,的值,结合双曲线的方程进行求解即可【详解】解:设双曲线的方程为由已知得:,,再由,,双曲线的方程为:故选:D8、D【解析】由题,求得圆的圆心和半径,易知最长弦,最短弦为过点与垂直的弦,再求得BD的长,可得面积.【详解】圆化简为可得圆心为易知过点的最长弦为直径,即而最短弦为过与垂直的弦,圆心到的距离:所以弦所以四边形ABCD的面积:故选:D9、D【解析】首先得到数列的周期,再计算的值.【详解】由条件,可知,两式相加可得,即,所以数列是以周期为的周期数列,.故选:D10、C【解析】根据题图分析数据,对选项逐一判断【详解】对于A,14天中有1,3,12,13共4日空气质量指数为“良”,故A正确对于B,从2日到5日空气质量指数越来越高,故空气质量越来越差,故B正确对于C,14个数据中位数为:,故C错误对于D,观察折线图可知D正确故选:C11、B【解析】分析可知当时,最大,计算出、,进而可计算得出四边形(为坐标原点)面积.【详解】圆的圆心为坐标原点,连接、、,则,设,则,,则,当取最小值时,,此时,,,,故,此时,.故选:B.12、A【解析】首先解不等式得到或,根据题意得到,再解不等式组即可.【详解】,解得或,因为“”的必要不充分条件是“或”,所以.实数的最小值为.故选:A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解析】求出圆心和双曲线的渐近线方程,即得解.【详解】解:由题得圆的圆心为,双曲线的渐近线方程为,即.所以圆心到双曲线渐近线的距离为.故答案为:214、##【解析】根据球的截面圆圆心与球心的连线垂直截面可确定垂直平面ABCD,构造直角三角形求解球的半径即可得解.【详解】如图,分别取BC,AD的中点,E,连接PE,,,.因为是边长为4的等边三角形,所以.因为四边形ABCD是等腰梯形,,,,所以,.因为四棱锥的体积为24,所以,所以.因为E是AD的中点,所以.因为,所以平面ABCD.因为,所以四边形ABCD外接圆的圆心为,半径.设四棱锥外接球的球心为O,连接,OP,OB,过点О作,垂足为F.易证四边形是矩形,则,.设四棱锥外接球的半径为R,则,即,解得,故四棱锥外接球的表面积是.故答案为:15、【解析】根据直线与圆相切,圆心到直线距离等于半径,由点到直线的距离公式求出半径,然后可得.【详解】圆心到直线的距离,又圆与直线相切,所以,所以圆的方程为.故答案为:16、-1或2【解析】根据两直线平行,利用直线平行的条件列出方程解得答案.【详解】∵,∴,解得或,经验证都符合题意,故答案为:-1或2三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】设等差数列的公差为,根据题意得,解方程得,,进而得,故恒成立,再结合二次函数的性质得当或4时,取得最小值,进而得答案.【详解】解:设等差数列的公差为,由已知,.联立方程组,解得,.所以,,由题意,即.令,其图象为开口向上的抛物线,对称轴为,所以当或4时,取得最小值,所以实数的取值范围是.18、答案见解析【解析】由已知条件可得,假设时,取最小值,则,若补充条件是①,则可求得,代入化简可求出的取值范围,从而可求得答案,若补充条件是②,则可得,该数列是递减数列,所以不存在k,使得取最小值,若补充条件是③,则可得,代入化简可求出的取值范围,从而可求得答案,【详解】解:等差数列的公差为d,当时,,得,从而,当时,得,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以,由对任意,都有,当等差数列的前n项和存在最小值时,假设时,取最小值,所以;若补充条件是①,因为,,从而,由得,所以,由等差数列的前n项和存在最小值,则,得,又,所以.所以,故实数的取值范围为若补充条件是②,由,即,又,所以.所以,由于该数列是递减数列,所以不存在k,使得取最小值,故实数不存在以下为严格的证明:由等差数列的前n项和存在最小值,则,得,所以,所以不存在k,使得取最小值,故实数不存在若补充条件是③,由,得,又,所以,所以由等差数列的前n项和存在最小值,则,得,又,所以.所以存在,使得取最小值,所以,故实数的取值范围为19、(1);(2)【解析】(1)由等差中项可知数列是等差数列,根据已知可求得其公差,从而可得其通项公式;(2)分析可知应用错位相减法求数列的和【详解】(1)由知,数列是等差数列,设其公差为,则,所以,,即数列的通项公式为(2),,,两式相减得:,整理得:,所以20、(1)(2)【解析】(1)根据等差数列的通项公式和等比中项,可得,再根据等差数列的前项和公式,即可求出,,进而求出结果;(2)由(1)得,结合等比数列前项和公式和对数运算性质,利用分组求和,即可求出结果.【小问1详解】解:设的公差为,由,,成等比数列可知,即,化简得.由可得,所以.将代入,得,,所以.小问2详解】解:由(1)得,所以.21、(1);(2)证明见解析【解析】(1)由点在椭圆上得到,再由,得到,联立方程组,求得的值,即可得到椭圆的标准方程;(2)由(1)得椭圆右焦点坐标,设直线的方程为,联立方程组,求得,及,结合斜率公式得到,结合,求得,即可得到,,成等差数列【详解】(1)由题意,点在椭圆上得,可得①又由,所以②由①②联立且,可得,,,故椭圆的标准方程为(2)由(1)知,椭圆的方程为,可得椭圆右焦点坐标,显然直线斜率存在,设的斜率为,则直线的方程为,联立方程组,整理得,设,,则有,,由直线的方程为,令,可得,即,从而,,,又因为共线,则有,即有,所以,将,代入得,又由,所以,即,,成等差数列【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略:对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题,通常联立直线方程与圆锥曲线方程,应用一元二次方程根与系数的关系,以及弦长公式等进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力22、(1);(2)证明见解析,定值为-1.【解析】(1)根据给定条件探求出,再利用椭圆定义即可得轨迹C的方程.(2)由给定条件可得直线的斜率k存在且不为0,写出直线的方程,再联立轨迹C的方程,
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