2024广东省广州市天河区中考一模数学试题含答案解析

2024届初三毕业班综合测试数学本试卷共三大越25小题，共4页，满分120分．考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑．2.选择题每小题选出答案后，用B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题有个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中．只有一个是正确的）1.如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（）1313−3−A.B.3C.D.【答案】A【解析】【分析】通过识图可得点A所表示的数为，然后结合相反数的概念求解．【详解】解：由图可得，点A所表示的数为3，∴数轴上点A所表示的数的相反数为，故选：A．【点睛】本题考查了数轴上的点击相反数的概念，准确识图，理解相反数的定义是解题关键．2.据国家统计局公布，年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表示为（）A.1.087×104B.10.87×104C.×3D.×3【答案】A【解析】≤a<【分析】用科学记数法表示较大的数的一般形式为a10n，其中1×，等于原数的整数位数减n1，即可得到答案．【详解】解：用科学记数法表示较大的数的一般形式为a10n，其中×1≤a<，等于原数的整数位n数减，∴108701.087104，=×故答案选：A．【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．3.下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了常见的几何体的三视图，熟知常见几何体的三视图是解题的关键．【详解】解：A、俯视图是三角形，主视图是长方形，左视图是长方形，中间有一条竖直实线，不符合题意；B、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是等腰三角形，不符合题意；C、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是长方形，不符合题意；D、主视图，俯视图，左视图都是圆，符合题意；故选：D．4.下列运算正确的是（）(−)A.m12=m2−(2mB.)3=m÷m=m16m3C.734D.m+m=m257【答案】C【解析】【分析】根据幂的运算法则，完全平方公式处理．(−)【详解】解：A.m12=m2−2m+1，原运算错误，本选项不合题意；()3=8m3，原运算错误，本选项不合题意；=m4，符合运算法则，本选项符合题意；B.2mC.m÷mD.m732+m5，不能进一步运算化简，原运算错误，本选项不合题意；故选：．【点睛】本题考查乘法公式在整式乘法中的运用，幂的运算法则，掌握相关法则和公式是解题的关键．5.一组数据：，，4，5，若去掉一个数据，则下列统计量中发生变化的是（）A.众数B.中位数C.平均数D.方差【答案】D【解析】【分析】根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得：3+4+4+4+5x==4，原方差为原中位数为4，原众数为，原平均数为5()2()2()2()2()23−4+4−4+4−4+4−4+5−42；5S2==54+43+4+4+5=44x==4，方差为去掉一个数据4后的中位数为，众数为，平均数为24()2()2()2()23−4+4−4+4−4+5−412S==；24∴统计量发生变化的是方差；故选D．【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数、众数及方差是解题的关键．6.某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输吨货物所用车辆数与小货车运输吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（）75x−5507550x−575x+5507550x+5A.=B.=C.=D.=xxxx【答案】B【解析】【分析】根据大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．(−)x5【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输吨，7550x−5=则．x故选B【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．7.下列四个函数图象中，当x时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】A、根据函数的图象可知y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；B、根据函数的图象可知在第二象限内y随x的增大而减增大，故本选项不符合题意；C、根据函数的图象可知，当x0时，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧y随x大而增大，故本选项不符合题意；D、根据函数的图象可知，当＜0时，y随x的增大而减小；故本选项符合题意．故选D．【点睛】本题考查了函数的图象，函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键.8.如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183m1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30()的地面上，若测角仪的高度为，则教学楼的高度是A.55.5m【答案】C【解析】B.mC.19.5mD.18mAED作DEAB交⊥ABAB于于EE到DERt△ADE中，tan30=oAEAB【详解】过D作DEAB交⊥，==183AE在Rt△ADEtan30=o中，DE3∴=183×=18m3∴=18+1.5=19.5m故选C【点睛】本题主要考查解直角三角形，能够构造出直角三角形是本题解题关键9.如图，O是的外接圆，且+∠ABD的度数是（AB=，BAC=30°，在上取点D（不与点AB合，连接BD，AD，则BAD∠）A.°B.105°C.°°D.【答案】C【解析】BAD=∠BCD,ABD∠=∠ACD=∠BAC30°，=【分析】连接CD，根据题意，得，结合，180°−BAC得到ACB==75°，计算BAD+∠ABD即可，本题考查了圆周角定理，等腰三角形的∠2性质，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质是解题的关键．∠BAD=∠BCD,ABD∠=∠ACD【详解】连接CD，根据题意，得，=，BAC=30°180°−BAC∵∴，ACB==75°，2∴BAD∠+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=°,故选C．．AC于点D、两点，10.如图，M是三条角平分线的交点，过M作DEAM，分别交⊥AB、Eax+b+)x+c=0的根的情况是（2=b，=cx设a，=，关于的方程）A.一定有两个相等的实数根B.一定有两个不相等的实数根D.没有实数根C.有两个实数根，但无法确定是否相等【答案】B【解析】【分析】M是M作DE⊥AM=∠=∠1MBCDBMEMC=可得出DBMacb24平分∠，，DE⊥AM11∴∠ADM=∠AEM，===b，221∴∠=∠=90°+∠BAC，21∴∠=90°+∠BAC，2∴∠BDM=∠=∠，M是的内角平分线的交点，MBC，∴DBM同理可得出：EMC，，∴DBM∴=，CE∴BD⋅=⋅，1ac=b2即：，4∴∆=b+2−4ac=b2+b+1−b=b+1>02，∴xax+b+x+c=0的根的情况是：一定有两个不相等的实数根．2关于的方程故选：．【点睛】∠==∠是解题关键．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）方程42x0的解为______．+=【答案】x=2【解析】【分析】根据解方程的基本步骤解答即可，本题考查了解方程的基本步骤，熟练掌握步骤是解题的关键．【详解】42x0，+=2x=4，解得x=2，故答案为：x=2．12.因式分解：x2﹣3x=_____．【答案】（x3）【解析】【详解】试题分析：提取公因式x即可，即x﹣3x=x（x3考点：因式分解.13.张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》人物卡片,正面朝下放置在桌面上从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回洗匀后再抽通过多次试验后发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为____.【答案】15【解析】【详解】因为通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3，则这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数=0.3×50=15(张).所以估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为故答案为()()2+=Px,1Qx,1y=x2−3x+1上，那么1214.，两点都在抛物线________．1【答案】3【解析】【分析】根据题意可得点PQ关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答．b332x=−=−=【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线：，2a2()()2Px,1Qx,1∵∴∴，，11+23=，22x+x=3．12故答案为：3．【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到PQ两点关于对称轴对称求解．2015.如图，平面直角坐标系中，A与x轴相切于点，作直径，函数y=(>)x0的图象经过点xCD为y轴上任意一点，则ACD的面积为_______．【答案】5【解析】【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，切线的性质；根据反比例函数系数k的几何意义可得OB⋅BC=20，由切线的性质可得⊥x轴，再根据三角形的面积公式列式求解即可．20(>)x0的图象上，【详解】解：∵点C在函数y=x∴OBBC20，⋅=Ax与轴相切于点B，∵∴x轴，⊥BC∥y∴∴轴，1141S=ACBC?205，24故答案为：5．16.如图，在矩形ABCD中，6，==8，点EF分别是边CD，上的动点，且AFE=90°．（15时，==______；（2∠【答案】【解析】AED最大时，的长为_______．613.②.##353）证明∠AFB=90°−∠EFC=∠FEC，利用tanAFB=tanFEC计算即可；O∠AED也最大，利用三角形相似计算即可．（2与相切时，∠AFD的值最大，此时，）∵矩形ABCD中，=6，=8，∠ABF=90,∠FCE=90°∴∵AFE90，∠=°∠AFB=90°−∠EFC=∠FEC∴，ABBF6tanAFB=tanFEC==∴，56故答案为：．5（2）如图，取AE的中点O，连接OD,OF,．ABCD=6，=8，∵矩形中，∴ADE90，∠=°∵AFE90，∠=°∴、D、F∴∠∴当AEDAFD，=O∠AFD∠AED的值最大，此时，也最大，与相切时，∴，⊥ABCD中，=6，=8，∵矩形∴ADE∠=∠ABF90，=°∴ABEC，EOCF=∴∴，OABF1=CF==4，2∵AFE90，∠=°ABCD中，=6，=8，∵矩形∠ABF=90,∠FCE=90°∴∵AFE90，∠=°∠AFB=90°−∠EFC=∠FEC∴，∴△AFB△FEC，BFAB=∴，ECFC46=∴，，48EC=∴3810=CD−EC=6−=∴，333故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，正切函数，三角形相似的判定和性质，切线的性质，四点共圆，圆周角定理，熟练掌握正切函数，切线性质，四点共圆是解题的关键．三、解答题（本大题有9小题，共7分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）17.解不等式：6x−3>2x−7．【答案】＞−1【解析】【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可．本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键．【详解】6x−2x7，−移项，得6x23−7−合并同类项，得4＞−，4系数化为，得＞−．118.如图，四边形ABCD中，，=ABDC，，F是对角线AC=CF上两点，且．求证：△CDF．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．ABDC得=根据，证明即可．ABDC【详解】∵，∴∠=，在和中===CF∴△CDF．19.为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建设图书角，并开展主题为我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E根据图中信息，请回答下列问题：（1）填空：参与本次问卷调查活动的学生人数是______；（2）甲同学从ABC三类书籍中随机选择一种，乙同学从，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．2【答案】（）50（）9【解析】）根据样本容量频数所占百分数，求得样本容量后，计算解答．（2）利用画树状图计算即可．本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键．【小问1详解】4÷%=50(∵人)，故答案为：50．【小问2详解】画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中抽到相同类有2种可能的结果，2∴相同的概率为：．9mm+1m+1m+1=x+(≠−)m1图象经过点A(m−n)．20.已知关于x的函数y（1）用含m的代数式表示n；ky=Ak（2m=5时，若反比例函数的图象也经过点，求的值．x【答案】（）nm1=+（2）4【解析】）把点的坐标代入解析式，化简计算即可；A(55)−+（2m=5时，点，代入解析式，计算即可．本题本题考查了反比例函数与点的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．【小问1详解】(+)m+1m12mm+1解：根据题意，得n=×(−)+m1==m+1．m+1m+1【小问2详解】A(55)−+解：当m=5时，此时点，(5−)k=5+1=5−1=4．故21.如图，在中，ABC90°，∠=A=°，=3．（1）尺规作图：在上找一点，作PP与AC，ABAC都相切，与的切点为QBQ，求sin∠CBQ（2）在（）所作的图中，连接的值．1【答案】（）见解析（2）sinCBQ=2【解析】1）结合切线的判定与性质，作∠的平分线，交于点，以点为圆心，PB的长为半PP径画圆即可．Rt△≌Rt△AQP==°（2∠CBQ=30°，进而可得答案．【小问1详解】解：如图，作∠的平分线，交于点，以点为圆心，PPPBAC于点Q的长为半径画圆，交，P则即为所求．；【小问2详解】=PQAC⊥解：由（）可得，∴∠AQP=90°，AP=AP，，，∴≌()RtABPRt，∴AB=AQ，∠=60°，为等边三角形，∴∠ABQ=60°，，∴∠CBQ=30°12∴sin∠CBQ=sin30°=．熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．22.如图是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日08时气温随着时间变化情况，其中0时y=+by=−x+16x−602至5时的图象满足一次函数关系式，时至时的图象满足函数关系式58．请根据图中信息，解答下列问题：（1）填空：次日08时的最低气温是______；y=+b（2）求一次函数的解析式；（3）某种植物在气温℃以下持续时间超过4小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施．请判断次日是否需要采取防霜措施，并说明理由．℃【答案】（）8y=−x+3（2）5（3）需要采取防霜措施，见解析【解析】）根据题意，当x5时，函数最小值，代入解析式=y=−x+16x−602计算即可．()(−)0,3,5y=+b中，计算即可；（2（3分别代入y=+b=0，y=−x2+16x−60=0，计算交点坐标的横坐标的差，对照标准判断即可．本题考查了待定系数法，图象信息识读，图象与x轴交点坐标的计算，熟练掌握待定系数法，交点坐标的计算是解题的关键．【小问1详解】根据题意，当x5时，函数有最小值，代入解析式=y=−x+16x−602得，y=−25+80−60=5，故答案为：℃．【小问2详解】()(−)0,3,5y=+b中，把得分别代入5k+b=5，b=38k=−5，解得b=38y=−x+3∴．5【小问3详解】8令y=−x+3=0，58x=解得；y=−x+16x−60=0，2令x=x=10解得12158()4.125h，6−=故∵4∴遭到霜冻灾害，故需要采取防霜措施．23.在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB，透过透镜后呈的像为CD．光路图如图所示：经过焦点的光线AE，通汇聚于C点．过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线（1）若焦距OF=4，物距OB6．小蜡烛的高度AB1，求蜡烛的像CD的长度；==x=y=（2，，求yx的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小CD的像．y=x−1，说明见解析【答案】（2米（）【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，平行四边形的性质与判定；（1）先证明ABF，利用相似三角形的性质得到=2，再证明四边形OECD是平行四边形，可得CD2米；==ABOB−OF，CD==2=（2）由（）得，则，据此可得y=x−1，当OFOB>2，即x2时，y=x−1>1，据此可得结论．>OF【小问1详解】解：由题意得，，，∴16−4==∴，即，4∴2，=∵∥CD，∥OD，∴四边形OECD是平行四边形，∴CD2米，==∴蜡烛的像CD的长度为2【小问2详解】，CD==2解：由（）得ABOB−OF==∴∴当，即，OFy=x−1，OB>2x>2时，y=x−1>1，，即OF>1，即>CD，∴∴物高大于像高，即呈缩小的像．24.ABCD中，AB4，BC8．==（1）如图1，矩形的对角线AC，相交于点O．①求证：ABD四个点在以O为圆心的同一个圆上；OAE=AB△，连接，求②在的劣弧AD上取一点，使得的面积．（2）如图2P是该矩形的边AD上一动点，若四边形与四边形GHCP关于直线对称，连接，，求面积的最小值．48【答案】（）①见解析；②5（2）8【解析】）①根据矩形的性质，得到ABC=90°，得到点A，CO为圆心，为半径的圆上，根据矩形的性质，得，判定点D在以O为圆心的同一个圆上，继而得到四点共===圆；EG⊥AD∠ADE=ADB，结合AE=AB=4，BC=8②过点E于点D，根据AE=AB，得到，，ABEG1tan∠=tan∠=====2xAG=AD−GD=8−2x，则得到，设BC2利用勾股定理计算，利用面积公式解答即可．（2）根据折叠的性质，得到CB=CH=BA==∠CHG=90°，根据CH≤CD+DH≥CH−CD=4，当点DH三点共线时，DH=4最小，此时面积的为，得到11×=×4×4=8，最小．22【小问1详解】ABCD①∵矩形，∴ABC=90°，，===∴点ACO为圆心，为半径的圆上，∵，===∴点D在以O为圆心的同一个圆上，故ABCD四个点在以O为圆心的同一个圆上；EG⊥AD②如图，过点E作在∵AE=AB，于点D，∴ADE∠=∠ADB，∵AEAB4，BC8，===ABEG12tan∠=tan∠===∴，BC设=2x，则=AG=AD−GD=8−2x，(−)∴82x2+x2=16，12x=,x=4解得5121248∴△的面积×8×=．55【小问2详解】根据折叠的性质，得到CB=CH=BA==∠CHG=90°，∵CHCD，≤+∴DHCHCD=4，−≥∴当点DH三点共线时，DH4最小，=121×=×4×4=8此时面积的为，最小．2【点睛】本题考查了矩形的性质，构造辅助圆，正切函数，勾股定理，三角形不等式，熟练掌握正切函数，辅助圆，勾股定理，三角形不等式是解题的关键．21＜=(−)−，直线l:y=k(x−h)−1，其中0