山东省泰安市新泰市紫光实验中学2024-2025学年高三上学期期中学情检测数学试题VIP

2024-2025学年度期中学情检测高三数学试题

一、选择题1．如图,圆O的半径为1,劣弧的长为,则阴影部分的面积为()A. B. C. D.2．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛,想求这些酒坛的总数,经过反复尝试,终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图,由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积,第一层有个小球,第二层有个小球,第三层有..........依此类推,最底层有个小球,共有n层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积,共7层,小球总个数为168,则该垛积的第一层的小球个数为()A.1 B.2 C.3 D.43．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为，则的值为（

）A．55 B．52 C．39 D．264．已知函数,将的图象向左平移个单位长度,所得图象关于原点对称,则的图象的对称轴可以为()A. B. C. D.5．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何.相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状.这就是著名的“心形线”故事.某同学利用几何画板，将函数，画在同一坐标系中，得到了如图曲线.观察图形，当时，的导函数的图像为()A. B.C. D.6．已知向量，满足，，则()A. B. C.3 D.47．已知点，抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若，则()A. B. C.2 D.48．记为数列的前n项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、多项选择题9．已知，是函数的两个零点，且的最小值是，则()A.在上单调递增B.的图象关于直线对称C.的图象可由的图象向右平移个单位长度得到D.在上仅有1个零点10．已知函数,则()A.B.C.在上为增函数D.函数在上有且只有2个零点11．下列选项正确的是()A.函数的最小正周期是B.若是第一象限角,则C.函数的对称中心是,D.在中,“”是“是钝角三角形”的充要条件三、填空题12．已知函数（），若存在，使得，则的最小值为________.13．设函数，已知,，且的最小值为，则________.14．已知向量,满足,与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为________.四、解答题15．记内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.(1)求的值;(2)若的面积为,求的周长.16．已知双曲线的左､右焦点分别为,,E的一条渐近线方程为,过且与x轴垂直的直线与E交于P,Q两点,且的周长为16.(1)求E的方程;(2)A,B为双曲线E右支上两个不同的点,线段的中垂线过点,求的取值范围.17．已知函数,.(1)求函数的单调区间;(2)若对于任意的,都有恒成立,求a的取值范围.18．设锐角的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.（1）求A;（2）若,且,求的面积.19．已知椭圆的焦距是短轴长的倍，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆C交于A、B两点，与y轴交于点P，线段的垂直平分线与交于点M，与y轴交于点N，O为坐标原点，如果，求k的值.

参考答案1．答案：B解析：因为劣弧的长为,所以.则,,所以阴影部分的面积为.故选:B2．答案：B解析：设各层的小球个数为数列,由题意得,,,,因为,可得,,,,则,因为前7层小球总个数为168,所以,即,解得或（舍去）,所以,可得,即该垛积的第一层的小球个数为2个.故选：B.3．答案：B解析：因为从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，所以该女子每天织的布构成一个等差数列，其中所以．故选：B4．答案：D解析：由题意可得的图象关于点对称,即对任意,有,取,可得,即.故,令,,可得的图象的对称轴为,,故选：D.5．答案：A解析：根据和的解析式可知和均为偶函数，图像关于y轴对称，当时，，设y，则，此时对应的图像是题干中图像在第一部分的半圆，时，对应题干中的图像在第四象限的部分，该部分图像单调递增，故的值恒为正，即图像始终在x轴上方，故排除选项BC；且该部分图像的切线斜率先减小后增大，故的值先减小后增大，由此对应的只有A图像满足.故选：A.6．答案：A解析：因为,所以,所以,故选:A.7．答案：C解析：如图，，过点M作准线的垂线MK，垂足为K，则，又，所以，则，即直线FA的斜率是，解得.故选C.8．答案：C解析：若为等差数列，设其公差为d，则，所以，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙；若为等差数列，设其公差为t，则，所以，所以当时，，当时，也满足上式，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙，所以甲是乙的充要条件，故选C.9．答案：ABD解析：由题意可知，函数的最小正周期，，.对于A，当时，，在上单调递增，故A正确；对于B，，的图象关于直线对称，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，当时，，仅当，即时，，故D正确.故选ABD.10．答案：ABD解析：由题意得函数的最小正周期为,所以成立,A项正确;因为,所以是的最小值,所以直线是图像的一条对称轴,所以成立,B项正确;当时,,当时,为减函数,C项错误;由题意知在有两个不等实根,设,由函数,的图像,易知与直线有两个不同的交点,D项正确.故选ABD项.11．答案：AB解析：对A：最小正周期是,故A正确;对B：若是第一象限角,则是第一或第三象限角,所以,故B正确;对C：令,故C错误;对D：在中,由知,又由,则有或,所以C或B为钝角,满足充分性,而是钝角三角形,A为钝角,则有,不满足必要性,故D错误.故选：AB.12．答案：/解析：.因为存在，，使得，所以，解得.故答案为：13．答案：1解析：由题意知图象可由，的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，故的周期为，又,，则的最小值为函数周期的二分之一，即,即,，故答案为：114．答案：解析：如图，设,，当时，取得最小值，过B作，即取得最小值为，因为与的夹角为，所以,,，所以.故答案为：15．答案：(1)(2)5解析：(1)根据题意由余弦定理可得,又可得,即可得,所以,可得,由正弦定理可得;(2)易知,解得,即;由(1)中可得,所以的周长为.16．答案：(1);(2).解析：(1)将代入,得,所以,所以,所以由题得,,所以双曲线E的方程为.(2)由题意可知直线斜率存在且,设,,,设的中点为M.由消去y并整理得,,则,即,,,,于是点为,,.由中垂线知,所以,解得：.所以由A,B在双曲线的右支上可得：,且,且或,综上即,又,所以.因为,所以,故,所以,所以.所以.17．答案：(1)答案见解析(2)解析：(1)对求导,可得,令,即,即,当时,恒成立,在R上单调递增;当时,,,,当时,,在上单调递减;当时,,在上单调递增;综上,当时,的单调递增区间为R;当时,的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)因为对于任意的,都有恒成立,对求导,可得,令,即,即,①当时,,则在单调递增,,符合题意;②当时,,则,则,在单调递增,,符合题意;③当时,,则,当时,,则在单调递减,当时,,则在单调递增,所以,令,,则,所以在上单调递减,所以,不合题意;综上所述,.18．答案：（1）（2）解析：（1）由