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文档简介
2024-2025学年度期中学情检测高三数学试题
一、选择题1.如图,圆O的半径为1,劣弧的长为,则阴影部分的面积为()A. B. C. D.2.北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛,想求这些酒坛的总数,经过反复尝试,终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图,由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积,第一层有个小球,第二层有个小球,第三层有..........依此类推,最底层有个小球,共有n层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积,共7层,小球总个数为168,则该垛积的第一层的小球个数为()A.1 B.2 C.3 D.43.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为:现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现在一月(按30天计算)共织390尺布,记该女子一月中的第n天所织布的尺数为,则的值为(
)A.55 B.52 C.39 D.264.已知函数,将的图象向左平移个单位长度,所得图象关于原点对称,则的图象的对称轴可以为()A. B. C. D.5.笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家,他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系,将几何与代数相结合,创立了解析几何.相传,52岁时,穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜,后遭驱逐,在寄给公主的最后一封信里,仅有短短的一个方程:,拿信的公主早已泪眼婆娑,原来该方程的图形是一颗爱心的形状.这就是著名的“心形线”故事.某同学利用几何画板,将函数,画在同一坐标系中,得到了如图曲线.观察图形,当时,的导函数的图像为()A. B.C. D.6.已知向量,满足,,则()A. B. C.3 D.47.已知点,抛物线的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N.若,则()A. B. C.2 D.48.记为数列的前n项和,设甲:为等差数列;乙:为等差数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、多项选择题9.已知,是函数的两个零点,且的最小值是,则()A.在上单调递增B.的图象关于直线对称C.的图象可由的图象向右平移个单位长度得到D.在上仅有1个零点10.已知函数,则()A.B.C.在上为增函数D.函数在上有且只有2个零点11.下列选项正确的是()A.函数的最小正周期是B.若是第一象限角,则C.函数的对称中心是,D.在中,“”是“是钝角三角形”的充要条件三、填空题12.已知函数(),若存在,使得,则的最小值为________.13.设函数,已知,,且的最小值为,则________.14.已知向量,满足,与的夹角为,则当实数变化时,的最小值为________.四、解答题15.记内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.(1)求的值;(2)若的面积为,求的周长.16.已知双曲线的左、右焦点分别为,,E的一条渐近线方程为,过且与x轴垂直的直线与E交于P,Q两点,且的周长为16.(1)求E的方程;(2)A,B为双曲线E右支上两个不同的点,线段的中垂线过点,求的取值范围.17.已知函数,.(1)求函数的单调区间;(2)若对于任意的,都有恒成立,求a的取值范围.18.设锐角的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求A;(2)若,且,求的面积.19.已知椭圆的焦距是短轴长的倍,以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.(1)求椭圆的方程;(2)直线与椭圆C交于A、B两点,与y轴交于点P,线段的垂直平分线与交于点M,与y轴交于点N,O为坐标原点,如果,求k的值.
参考答案1.答案:B解析:因为劣弧的长为,所以.则,,所以阴影部分的面积为.故选:B2.答案:B解析:设各层的小球个数为数列,由题意得,,,,因为,可得,,,,则,因为前7层小球总个数为168,所以,即,解得或(舍去),所以,可得,即该垛积的第一层的小球个数为2个.故选:B.3.答案:B解析:因为从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,所以该女子每天织的布构成一个等差数列,其中所以.故选:B4.答案:D解析:由题意可得的图象关于点对称,即对任意,有,取,可得,即.故,令,,可得的图象的对称轴为,,故选:D.5.答案:A解析:根据和的解析式可知和均为偶函数,图像关于y轴对称,当时,,设y,则,此时对应的图像是题干中图像在第一部分的半圆,时,对应题干中的图像在第四象限的部分,该部分图像单调递增,故的值恒为正,即图像始终在x轴上方,故排除选项BC;且该部分图像的切线斜率先减小后增大,故的值先减小后增大,由此对应的只有A图像满足.故选:A.6.答案:A解析:因为,所以,所以,故选:A.7.答案:C解析:如图,,过点M作准线的垂线MK,垂足为K,则,又,所以,则,即直线FA的斜率是,解得.故选C.8.答案:C解析:若为等差数列,设其公差为d,则,所以,所以,所以,为常数,所以为等差数列,即甲乙;若为等差数列,设其公差为t,则,所以,所以当时,,当时,也满足上式,所以,所以,为常数,所以为等差数列,即甲乙,所以甲是乙的充要条件,故选C.9.答案:ABD解析:由题意可知,函数的最小正周期,,.对于A,当时,,在上单调递增,故A正确;对于B,,的图象关于直线对称,故B正确;对于C,,故C错误;对于D,当时,,仅当,即时,,故D正确.故选ABD.10.答案:ABD解析:由题意得函数的最小正周期为,所以成立,A项正确;因为,所以是的最小值,所以直线是图像的一条对称轴,所以成立,B项正确;当时,,当时,为减函数,C项错误;由题意知在有两个不等实根,设,由函数,的图像,易知与直线有两个不同的交点,D项正确.故选ABD项.11.答案:AB解析:对A:最小正周期是,故A正确;对B:若是第一象限角,则是第一或第三象限角,所以,故B正确;对C:令,故C错误;对D:在中,由知,又由,则有或,所以C或B为钝角,满足充分性,而是钝角三角形,A为钝角,则有,不满足必要性,故D错误.故选:AB.12.答案:/解析:.因为存在,,使得,所以,解得.故答案为:13.答案:1解析:由题意知图象可由,的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方得到,故的周期为,又,,则的最小值为函数周期的二分之一,即,即,,故答案为:114.答案:解析:如图,设,,当时,取得最小值,过B作,即取得最小值为,因为与的夹角为,所以,,,所以.故答案为:15.答案:(1)(2)5解析:(1)根据题意由余弦定理可得,又可得,即可得,所以,可得,由正弦定理可得;(2)易知,解得,即;由(1)中可得,所以的周长为.16.答案:(1);(2).解析:(1)将代入,得,所以,所以,所以由题得,,所以双曲线E的方程为.(2)由题意可知直线斜率存在且,设,,,设的中点为M.由消去y并整理得,,则,即,,,,于是点为,,.由中垂线知,所以,解得:.所以由A,B在双曲线的右支上可得:,且,且或,综上即,又,所以.因为,所以,故,所以,所以.所以.17.答案:(1)答案见解析(2)解析:(1)对求导,可得,令,即,即,当时,恒成立,在R上单调递增;当时,,,,当时,,在上单调递减;当时,,在上单调递增;综上,当时,的单调递增区间为R;当时,的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)因为对于任意的,都有恒成立,对求导,可得,令,即,即,①当时,,则在单调递增,,符合题意;②当时,,则,则,在单调递增,,符合题意;③当时,,则,当时,,则在单调递减,当时,,则在单调递增,所以,令,,则,所以在上单调递减,所以,不合题意;综上所述,.18.答案:(1)(2)解析:(1)由
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