广东省佛山市南海区2024-2025学年九年级上学期第一次调研数学试卷

2024-2025学年广东省佛山市南海区九年级（上）第一次调研数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.方程，一次项系数为(

)A. B. C. D.62.矩形、菱形、正方形都具有的性质是(

)A.对角线相等 B.对角线互相平分

C.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直且相等3.下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是(

)A. B. C. D.4.一元二次方程的左边配成完全平方后所得方程为(

)A. B. C. D.5.根据下列表格的对应值，判断方程为常数的一个解x的范围是(

)xA. B. C. D.6.如图，在菱形ABCD中，连接BD，若，，则菱形ABCD的面积为(

)A.4

B.6

C.

D.7.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点上，若，，折痕为EF，则FC的长为(

)A.5

B.4

C.3

D.8.如图，在菱形ABCD中，，，E是CD边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接FG，则FG的最小值为(

)A.4

B.

C.5

D.69.等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长是(

)A.11 B.10 C.11或10 D.不能确定10.随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了2256张照片，若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为(

)A. B.

C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.方程，化成一般形式是______.12.如图，在中，CD是斜边AB上的中线，若，则______.

13.若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围为______.14.如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按如图所示摆放，点，，分别位于正方形、、的对角线的交点，则重叠部分的阴影部分的面积之和是______.

15.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A的坐标为，点B为第二象限的点，则点B的坐标为______.

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.本小题7分

解方程：

17.本小题7分

如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作的平分线交BC于点尺规作图的痕迹保留在图中了，连接判断四边形ABEF的形状，并说明理由：18.本小题7分

如图，在矩形ABCD中，，AC是对角线.

尺规作图：作线段AC的垂直平分线EF，分别交AC，AB，CD于点O、E、不写作法，2B铅笔作图，保留清晰、规范的作图痕迹；

在的条件下，求证：19.本小题9分

已知关于x的一元二次方程

若是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；

证明：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根.20.本小题9分

2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展.某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.

求该品牌头盔销售量的月平均增长率；

若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？21.

22.本小题13分

综合与探究：

如图，直线：与直线交于点，直线与x轴交于点，点C从点O出发沿OB向终点B运动，速度为每秒1个单位，同时点D从点B出发以同样的速度沿BO向终点O运动，作轴，交折线于点M，作轴，交折线于点N，设运动时间为

求直线的表达式；

在点C，点D运动过程中．

①当点M，N分别在OA，AB上时，求证四边形CMND是矩形．

②在点C，点D的整个运动过程中，当四边形CMND是正方形时，请你直接写出t的值．

点P是平面内一点，在点C的运动过程中，问是否存在以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．23.本小题14分

定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”.如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”.

概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______平行四边形矩形菱形正方形

问题解决：如图2，以锐角的两边AB、AC为边长，分别向外侧正方形ABDE和正方形ACFG，连接BF、EG、求证：四边形BCGE是“中方四边形”：

性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条站论：①______；②______拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，

试探索AC与MN的数量关系，并说明理由.

若的最小值是4，则BD的长度为______不需要解答过程

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：方程，一次项系数为

故选：

根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．

本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是、b、c为常数，2.【答案】B

【解析】解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项不符合题意；

B、对角线互相平分是平行四边形具有的性质，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项符合题意；

C、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项不符合题意；

D、对角线互相垂直且相等，菱形不具有对角线相等的性质，矩形不具有对角线垂直，故本选项不符合题意；

故选：

根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质分别分析各个选项，从而得到答案．

本题考查正方形的性质、菱形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确矩形、菱形、正方形都是平行四边形．3.【答案】A

【解析】解：A、在▱ABCD，若，

则四边形ABCD还是平行四边形；故选项A符合题意；

B、在▱ABCD中，，

，

，

，

▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；

C、在▱ABCD中，，

则▱ABCD是矩形；故选项C不符合题意；

D、在▱ABCD中，，

，

▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意；

故选：

由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断，即可得出结论．

本题主要考查了矩形的判定以及平行四边形的性质；熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．4.【答案】B

【解析】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，

配方得

故选：

本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：

把常数项移到等号的右边；

把二次项的系数化为1；

等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5.【答案】C

【解析】解：，，

，，

时，，

即方程为常数的一个解x的范围是

故选：

利用，，而，，则可判断方程为常数的一个解x的范围是

本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．6.【答案】C

【解析】解：连接AC交BD于点O，如图所示：

四边形ABCD为菱形，且，

，，，

为等边三角形，

，，

在中，由勾股定理得：，

，

菱形ABCD的面积为：

故选：

连接AC交BD于点O，根据菱形的性质得为等边三角形，则，，，，由此可得，则，进而可得菱形ABCD的面积．

此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，理解菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的面积公式及勾股定理是解决问题的关键．7.【答案】A

【解析】解：根据折叠的性质可知，，

设，则，

，

，

解得：，

，

故选：

根据折叠的性质可知，，利用勾股定理求出BF，从而得出FC即可．

本题考查翻折变换，掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．8.【答案】B

【解析】解：如图所示：连接OE，

在菱形ABCD中，，，

，

，

四边形OGEF是矩形，

，

的最小值，

即OE最小值，

当时，OE最小，

，

，

，

最小为，

即FG的最小值为，

故选：

如图所示：连接OE，在菱形ABCD中，，，得，，由，，可得四边形OGEF是矩形，进而得出，当时，OE最小，即FG的最小值，即可得出．

本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握菱形的性质，证明四边形OGEF是矩形是解此题的关键．9.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．

利用因式分解法求出方程的解得到x的值，确定出底与腰，即可求出周长．

【解答】

解：方程分解得：，

解得：，，

若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，能构成三角形，周长为；

若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，能构成三角形，周长为

故选10.【答案】A

【解析】解：若该班有x名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片张，

则可列方程为

故选：

若该班有x名同学，那么每名学生送照片张，全班应该送照片，那么根据题意可列得方程．

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系是列出方程；弄清每名同学送出的照片是张是解决本题的关键．11.【答案】

【解析】解：，

整理得：，即

故答案为：

先展开，移项，即可得出的形式即可．

本题主要考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为为常数，且12.【答案】5

【解析】解：在中，CD是斜边AB上的中线，

则，

故答案为：

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求得

本题主要考查直角三角形的性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AB的长是解题的关键．13.【答案】

【解析】解：方程没有实数根，

，

解得：

故答案为：

根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可求出m的取值范围．

本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．14.【答案】14

【解析】解：设正方形、、中的面积分别为，，，

如图，设与交于点M，与交于点N，

G过分别作于E，于F，

连接，，

四边形是正方形，是对角线的交点，

平分，且是等腰直角三角形，

，，

，

，

四边形为正方形，

，

四边形是正方形，

，

，

在与中，

，

≌，

，

，

，

同理，，正方形，

阴影部分的面积和为：，

故答案为：

如图，因为四边形，是正方形，所以可以得到四边形是对角互补的四边形，过作，的垂线，垂足分别为E，F，先证≌，从而推得四边形的面积为正方形面积的四分之一，同样的方法，求得另外两个阴影部分面积，即可解决．

本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，发现四边形对角互补，且对角线是角平分线，从而实现全等的构造，是此题的突破口．15.【答案】

【解析】解：过点A作轴，于点H，过点C作轴，于点F，过点B作，交FC的延长线于点

，

点，

，，

四边形AOCB是正方形，

，，

，

，

≌，

同理可得：≌，

，，

点B的横坐标为，纵坐标为，

点B的坐标为

故答案为：

先作轴，作轴，于点F，点B作，根据正方形的性质证明≌≌，可得，，即可得出答案．

本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平面直角坐标系内点的坐标，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．16.【答案】解：，

，

，

或，

所以，；

，

，

或，

所以，

【解析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；

先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．17.【答案】解：四边形ABEF为菱形，理由如下：

四边形ABCD为平行四边形，

，

，

根据作图可知，AE平分，

，

，

，

，

，

四边形ABEF为平行四边形，

，

四边形ABEF为菱形．

【解析】根据作图得出，AE平分，证明，得出，证明，，得出四边形ABEF为平行四边形，根据，得出四边形ABEF为菱形．

本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．18.【答案】解：图形如图所示：

证明：四边形ABCD是矩形，

，，

，

，，

≌，

，

，即

【解析】根据要求作出图形即可；

证明四边形AECF是菱形即可．

本题考查作图-基本作图，矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19.【答案】解：设方程的另一根为t，

根据题意得，，

解得，，

即，方程的另一根为；

证明：，

因为对于任意实数m，，

所以，

所以对于任意的实数m，这个方程有两个不相等的实数根．

【解析】设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到，，然后解两个方程即可；

计算判别式的值得到，则利用非负数的性质可判断，然后根据判别式的意义可判断对于任意实数m，这个一元二次方程都有两个不相等的实数根．

本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，20.【答案】解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，

根据题意得：，

解得：，不符合题意，舍去

答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为；

设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为元，月销售量为个，

根据题意得：，

整理得：，

解得：，，

又要尽可能让顾客得到实惠，

答：该品牌头盔的售价应定为48元/个．

【解析】设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，利用6月份的销售量月份的销售量该品牌头盔销售量的月平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；

设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为元，月销售量为个，利用月销售利润=每个头盔的销售利润月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21.【答案】

【解析】

22.【答案】解：当时，，

，

设直线的表达式为：，

，

解得，

直线的表达式为：；

①，，

，

，

轴，轴，

，，

由点C，D的运动可知，，

≌，

，

四边形CMND是平行四边形，

，

平行四边形CMND是矩形；

②当点M，N分别在OA，AB上时，

若四边形CMND是正方形，则，

，

，

，

，

，解得，

当M，N分别在AB，OA上时，如图，

同理可证四边形CMND是矩形，

若四边形CMND是正方形，则，

，

，

，

，

，解得，

综上，t的值为或；

存在，理由如下：

若以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形，则只需是等腰三角形即可．

当时，，

且，

；

当时，点B与点C重合，，

此时点P与点A关于x轴对称，

；

当，则，

解得，

，

此时且，

，

综上，点P的坐标为或或

【解析】将点A的坐标代入直线，求出m的值，得到点A的坐标，设直线的解析式为：，再将A，B两点坐标代入直线的表达式中，组成一元二次方程组，求解即可；①根据题意可证明≌，由此得出，则四边形CMND是平行四边形，又，可得平行四边形CMND是矩形；

②若四边形CMND是正方形，则即可，根据题意，需要分两种情况：当点M，N分别在OA，AB上时，当M，N分别在AB，OA上时，分别列出方程即可；

若以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形，则只需三角形OAC是等腰三角形，根据题意分三种情况：，，，分别求出点C的坐标，再根据菱形的性质可得出点P的坐标．

本题属于一次函数综合题，主要考查一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质与判定，正方形的性质与判定，菱形的存在性等相关知识，解题过程中注意要分类讨论，找到分类标准是解题关键．23.【答案】

【解析】概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直，

一定是“中方四边形”的是正方形；

故答案为：D；

问题解决：证明：如图2，设四边形BCGE的边BC、CG、GE、BE的中点分别为M、N、R、L，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，

四