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文档简介

第十一章行列式与矩阵

第一节矩阵的概念及运算

定义1

由

m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)称为m×n

矩阵.排成的m行n列数表,记成某学校印刷厂印制甲、乙、丙三种类型的作业本，一、二月份的生产与销售情况如下表：的第一个下标称为行标，第二个下标称为列标。称作矩阵的元素。

矩阵，一．矩阵的概念１．行矩阵（行向量）——只有一行的矩阵。等……２．列矩阵（列向量）——只有一列的矩阵。等……二．几种特殊形式的矩阵等……４．零矩阵

——所有元素都为零的矩阵，简记作。

３．方阵——行数和列数相等的矩阵。如：等……二阶方阵三阶方阵n阶方阵如等……５．对角形矩阵——主对角线上的元素不全为零，其它的

元素都为0的方阵，简记作。６．单位矩阵——主对角线上的元素都是1的对角形矩阵，

简记作。如：等……７．上三角形矩阵——主对角线下方元素全为零、上方的

元素不全为0的方阵。如：等……８．下三角形矩阵——主对角线上方的元素全为零，下方

的元素不全为0的方阵。三、矩阵的相等定义2如果两个矩阵A，B的行数和列数分别相同，且各对应元素相等，则称矩阵A与矩阵B相等。即若，，且，，则A=B。且，例题：已知

求的值。，，关系式１．矩阵的加法

定义2

设A=(aij

),B=(bij

)都是m×n矩阵,矩阵A与B的和例1记成A+B,规定为四．矩阵的运算两个印刷厂：

矩阵的加法运算满足规律2.(A+B)+C=A+(B+C)(结合律)3.A+0=A4.设A=(aij

),记–A=(−aij

),规定A−B=A+(−

B)二数与矩阵的乘法

定义3

规定为

称–A

为A

的负矩阵,1.A+B=B+A(交换律)

易知

A+(−A)=0例2若那么3A=A3数乘矩阵的运算满足规律：A,B为矩阵.三矩阵与矩阵的乘法

定义4

设A=(aij)是一个m×s

矩阵,B=(bij

)是一个

s×nA

与B的乘积记成

AB，即C=AB.规定

A与B

的积为一个m×n

矩阵C=(cij

)，其中

AB=ABm×ss×nm×n

矩阵,例3

例4例5

例6一般来说，AB≠BA,

若矩阵

A、B

满足AB=0,n阶矩阵

称为单位矩阵.如果A为

m×n

矩阵，那么

即矩阵的乘法不满足交换律.未必有A=0或B=0

的结论.

n阶矩阵称为对角矩阵.两个对角矩阵的和是对角矩阵，两个对角矩阵的积也是对角矩阵.矩阵的乘法满足下述运算规律２．矩阵的减法设，则称矩阵为A的负矩阵，记作。若A、B为同型矩阵，则规定即，３．数乘矩阵如：若，则注意：数乘矩阵时，矩阵的每一元素都要乘以常数K。等……数量矩阵数乘矩阵的运算规律：４．矩阵的乘法设则其中行列

左矩阵右矩阵A的列数B的行数例如：无意义！

左边矩阵右边矩阵的列数的行数注意：AB存在，BA无意义，例题：计算下列各题（1）（2）（1）一般地，，即乘法不满足交换律。（2）当AB=BA时，称A、B为可交换矩阵，或称A、B可交换。此时，A、B必为同阶方阵。小结与特别地，有：，即可交

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