101样本及其分布

第十章数理统计基础

第一节样本及其分布

从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工作.但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之外的推断.

到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科.

数理统计学是一门应用性很强的学科.它是研究怎样以有效的方式收集、整理和分析带有随机性的数据，以便对所考察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议.

数理统计不同于一般的资料统计，它更侧重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、整理和分析.

由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出来.

只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，也就是说,我们获得的只是局部观察资料.

数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理、分析所获得的有限的资料，对所研究的问题,尽可能地作出精确而可靠的结论.它们构成了统计推断的两种基本形式.这两种推断渗透到了数理统计的每个分支.

现实世界中存在着形形色色的数据,分析这些数据需要多种多样的方法.

因此,数理统计中的方法和支持这些方法的相应理论是相当丰富的.概括起来可以归纳成两大类:参数估计──根据数据,用一些方法对分布的未知参数进行估计.假设检验──根据数据,用一些方法对分布的未知参数进行检验.总体:研究对象的某项数量指标的全部可能的观察值某学校男生的身高的全体一个总体，每个男生的身高是一个个体。某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每一个灯泡的寿命是一个个体；个体：每一个可能观察值为个体。容量：总体所包含的个体的个数称为总体的容量有限总体：容量有限的称为有限总体无限总体：容量无限的称为无限总体则称为从总体X中得到的容量为n的简单随机样本，简称为样本，其观察值称为样本值。简单随机样本：设X是具有分布函数F的随机变量，若是具有同一分布函数F的相互独立的随机变量，样本：被抽取的部分个体叫做总体的一个样本总体一般被看作随机变量

定理：若为X的一个样本，则的联合分布函数为：nXX,,1L若设X的概率密度为f，则的联合概率密度为：一.概念x1,x2,…,xn是相应于样本X1,X2,…,Xn的样本值,则称g(x1,x2,…,xn)是g(X1,X2,…,Xn)的观察值。

注：统计量是随机变量。是一统计量。若X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函数，不含任何未知参数，则称g(X1,X2,…,Xn)若g中1.设为来自总体的一个样本，

问下列随机变量中那些是统计量思考？2.常用统计量样本均值样本方差它反映了总体均值的信息它反映了总体方差的信息样本k阶原点矩样本k阶中心矩

k=1,2,…它反映了总体k阶矩的信息它反映了总体k阶中心矩的信息它们的观察值分别为：样本均值样本方差样本标准差样本k阶矩样本k阶中心矩依概率收敛的序列性质知道证由辛钦定理说明3.经验分布函数与总体分布函数F(x)相对应的统计量的观察值的观察值对于经验分布函数格里汶科在1933年证明了如下定理统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计量的分布称为抽样分布。

X1,X2,…Xn

是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量二.来自正态总体的几个常用统计量的分布服从自由度为n的

2分布.(一)

2分布记为2

～2(n).分布是由正态分布派生出来的一种分布.1.定义及概率密度分布的密度函数为来定义.其中伽玛函数通过积分

2分布的密度函数的图形如右图.(1)

设相互独立,都服从正态分布则(2)设且X1,X2相互独立，则分布的可加性2.3.期望和方差4.上分位点(二)t分布设X

～N(0,1),Y～2(n),

且X,Y相互独立,称统计量

服从自由度为n的t分布.记为t～t(n).T的密度函数为：1.定义及概率密度当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形.t分布的密度函数关于x=0对称，且

当n充分大时，t分布近似N

(0,1)分布.但对于较小的n，t分布与N(0,1)分布相差很大.2.上分位点(三)F分布设U～2(n1),V～2(n2),

且U,V相互独立,服从自由度为(n1,n2)的F分布.记为F～F(n1,n2).~1.定义称统计量2.上分位点特别地,若X

～N(,2),有(四)正态总体的样本均值与样本方差的分布设总体X的均值为

,方差为2,X1,X2,…Xn是X的一个样本.n取不同值时样本均值的分布

对于正态总体的样本方差S2,有以下定理:定理1X1,X2,…Xn是总体N(,2)

的一个样本.(1)(n-1)S2/

2

～2(n-1)(2)n取不同值时的分布

设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有定理2证明定理2:由定理1,(n-1)S2/

2

～2(n-1)即XY由t分布的定义，

定理3(两总体样本均值差的分布)分别是这两个样本的样本均值,且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,则有Y1,Y2,…,是

定理4(两总体样本方差比的分布)分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值，则有Y1,Y2,…,是样本

假设某物体的实际重量为

,但它是未知的.现在用一架天平去称它,共称了n次,得到X1,X2,

,Xn.根据基本定理,例1通常我们用样本均值:假设每次称量过程彼此独立且没有系统误差,则可以认为这些测量值都服从正态分布N(,2),方差

2反映了天平及测量过程的总精度.如

=0.1时,若取n=10.则:“3σ规则”于是根据第二章讲过:随着称量次数n的增加,这个偏差界限还是

=0.1时,若取n=100.则:

在设计导弹发射装置时,重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.

对于一类导弹发射装置,弹着点偏离目标中心的距离服