山东省泰安市新泰市紫光实验中学2024-2025学年高三上学期开学检测数学试题

新泰市紫光实验中学2024年开学检测高三数学试题

一、选择题(共40分)1．(5分)曲线与直线有两个交点,则实数k的取值范围是()A. B. C. D.2．(5分)直线与曲线恰有1个公共点，则实数b的取值范围是()A. B.C. D.或3．(5分)如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，,，则()A. B. C. D.4．(5分)已知数列满足,则()A. B. C. D.5．(5分)若数列的前n项和为,且,则()A. B. C. D.6．(5分)圆关于直线对称，则实数()A.1 B.-3 C.1或-3 D.-1或37．(5分)在等差数列中,已知,,,则()A.7 B.8 C.9 D.108．(5分)已知函数的图像如图所示,,是的极值点,则等于()A. B. C. D.二、多项选择题(共18分)9．(6分)下列各对事件中,M、N是相互独立事件的有()A.掷枚质地均匀的骰子一次,事件“出现的点数为奇数”,事件“出现的点数为偶数”B.袋中有个红球,个黄球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,事件“第次摸到红球”,事件“第次摸到红球”C.分别抛掷枚相同的硬币,事件“第枚为正面”,事件“两枚结果相同”D.一枚硬币掷两次,事件“第一次为正面”,事件“第二次为反面”10．(6分)下列说法正确的是()A．圆的圆心为，半径为B．圆的圆心为，半径为bC．圆的圆心为，半径为D．圆的圆心为，半径为11．(6分)下列结论正确的是()A.已知点在圆上，则的最大值是4B.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为C.已知是圆外一点，直线l的方程是，则直线与圆相离D.若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是三、填空题(共10分)12．(5分)已知，两点到直线的距离相等，则______．13．(5分)若对一切恒成立,则的最大值为___________.四、双空题(共5分)14．(5分)用表示不超过x的最大整数，已知数列满足：，，.若，，则________；若，则________.五、解答题（共77分）15．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生.为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自A中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自A中学的人数，求的分布列和数学期望.（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答2道题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.16．已知直线l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由.17．为了庆祝新中国成立75周年，在国庆期间我市某社区举办了一次有奖答题活动.给出10个问题，要求参赛者依次作答10道试题，每答对一题得1分，答错一题或放弃作答扣1分，获得6分（含6分）以上可得奖品.某居民参加了此次答题活动，若该人已经完成了前5道题的作答，且都答对.剩下的每道题他做对的概率均为.(1)当时，求该居民最终恰好得到8分的概率.(2)记该居民答对n道题且获得奖品的概率为，求.18．已知椭圆的右焦点为F，斜率不为0的直线l与C交于A,B两点.(1)若是线段的中点，求直线l的方程；(2)若直线l经过点（点A在点B,Q之间），直线与直线的斜率分别为,，求证：为定值.19．已知函数.（1）讨论的单调性;（2）若,且,求k的取值范围.

参考答案1．答案：D解析：根据题意画出图形,如图所示:由题意可得:直线l过,,又曲线图象为以为圆心,2为半径的半圆,当直线l与半圆相切,C为切点时,圆心到直线l的距离,即,解得:;当直线l过B点时,直线l的斜率为,则直线l与半圆有两个不同的交点时,实数k的范围为.故选:D.2．答案：D解析：曲线，整理得，画出直线与曲线的图象，当直线与曲线相切时，则圆心到直线的距离为，可得（正根舍去），当直线过,时，，如图，直线与曲线恰有1个公共点，则或.故选：D.3．答案：A解析：由题意可得.4．答案：D解析：因为,当,两式做差得:,故,当,,符合;故.故选:D5．答案：D解析：当时,,可得,当时,由可得,上述两个等式作差可得,可得,所以,数列是首项为,公比也为的等比数列,则,因此,.故选:D.6．答案：B解析：的圆心坐标为，因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，也即，解得：或.当时，可得：，符合圆的方程；当时，可得：，配方可得：，舍去.故选：B7．答案：A解析：由,可得,公差,故,解得,故选:A8．答案：B解析：由函数的图象可知:,,解得,,所以,可得,由韦达定理及极值点的定义得,,所以.故选:B.9．答案：CD解析：对于A选项,掷枚质地均匀的骰子一次,事件“出现的点数为奇数”,事件“出现的点数为偶数”,则事件“出现的点数为奇数且为偶数”,所以,,又因为,所以,,所以,M、N不相互独立,A不满足;对于B选项,袋中有5个红球,5个黄球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,事件“第1次摸到红球”,事件“第2次摸到红球”,由题意可知,事件M的发生影响事件N的发生,故M、N不相互独立,B不满足;对于C选项,分别抛掷枚相同的硬币,事件“第1枚为正面”,事件“两枚结果相同”,则事件“两枚硬币都正面向上”,则,又因为,,则,所以,M、N相互独立,C满足;对于D选项,一枚硬币掷两次,事件“第一次为正面”,事件“第二次为反面”,第一次为正面对第二次的结果不影响,因此,M、N相互独立,D满足.故选：CD.10．答案：AC解析：圆的圆心为，半径为，A正确；圆的圆心为，半径为，B错误；圆的圆心为，半径为，C正确；圆的圆心为，半径为，D错误．故选：AC11．答案：AD解析：A选项，因为点在圆上，所以，当时，取得最大值4，故A正确；B选项，由，所以，即直线过点，因为直线和线段相交，故只需或，故B错误；C选项，圆的圆心到直线的距离，而点是圆外一点，所以，所以，所以直线与圆相交，故C错误；D选项，与点的距离为1的点在圆上，由题意知圆与圆相交，所以圆心距，满足，解得，故D正确.故选：AD12．答案：1或2解析：由题意可得：，即，可得或，解得或.故答案为：1或213．答案：解析：由题意可得对一切恒成立,令,则,当时,,故在上单调递减,此时在上无最小值,不符合题意,当时,令,有,令,有,故在上单调递减,在上单调递增,故,即,则恒成立,令,则,故当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增,故,即,即的最大值为.故答案为：.14．答案：，2解析：当，时，，即，则数列是以为首项，2为公比的等比数列.所以，即.当时，，即，且，故，故，故，，，所以，所以.因为，所以由，可得：，，.因为，所以，，则.故答案为：；2.15．答案：（1）分布列见解析，数学期望为（2）解析：（1）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，，，，.所以的分布列为0123P.（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，设乙答对题数为，则.设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”，则.由，及，得，则.又，所以.设，则，.易知当时，取得最大值.所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为.16．答案：存在，，解析：假设直线l上存在一点，使得取得最小值，如图，则，因为，所以当，即点P的坐标为时，取得最小值，且最小值为.17．答案：(1)；(2)解析：（1）根据题意，该人已经完成了前5道题的作答，且都答对，若该居民最终恰好得到8分，则参赛者共答对9道，答错或放弃1题，所以概率为.（2）根据题意，该人要获得奖品，则他获得6分（含6分）以上，当10道试题都答对时，得分为10分，概率为，当答对9道，答错或放弃1道时，得分为8分，概率为，当答对8道，答错或放弃2道时，得分为6分，概率为，综上可得：.18．答案：(1)；(2)证明见解析解析：（1）设，，则有，且，作差可得，所以，由点斜式得，，整理得即为直线l的方程.（2）不妨设的直线方程为，，，联立，消去x整理得，由韦达定理得，,,所以，因为，所以为定值.19．答案：（