八年级下册数学教案总集

第/章二次根式

目录

1.2二次根式的性质（1）..........................................2

1.2二次根式的性质（2）.........................................4

1.3二次根式的运算（1）.........................................7

1.3二次根式的运算（2）........................................10

1.3二次根式的运算（3）..........................................13

-1-

初中激堂，，不被千

1.2二次根式的性质(1)

【教学目标】

i.经历二次根式的性质:卜=Q(a“)，4a"=\a|

=fa(a>0)的发现过程，体验归纳，猜想的思想方法

V

—a(aY0)

2.了解二次根式的上述两个性质.

3.会运用上述两个性质进行有关的计算.

【教学重点、难点】

A重点：本节的重点是二次根式性质：=a(a>0),

4^=a\=W-0)

[-a(aY0)

a难点：4a"=卜|①-0)

一a(aY0)

【教学过程】

一、引入新课

1)提问：2的平方根是什么？什么数的平方是2?(±V2)

得到：（J5）：=2（-V2）2=2

2

2)提问：(V7)、？=?(-721)=?

选三个中下游的学生回答，教师鼓励学生大胆发言。

二、新课讲授

1、由上面的提问得到什么样的结论？(JZ)=a

2、那么对于上面的性质，a能小于。吗？(不能，a必须大于等于0)

3、提问：VF=?|2|=?7（-5）2-?|-5|=?

Vo7=?|o|=?

请几个中游的学生回答。（2,2；5,5；0,0）

4、议一议：二与|。|有什么关系?当a>0时,病=?当a<0时,

-2-

初中W考，\年很千

4a"=?

经学生讨论后，指定一名学生（程度中下）回答，再指定一名学生（程度较好）点评。

教师总结：4a"=\a\=~°）

\-a{aY0）

5、提问：J（—7）2=?jz^=?-3）2=?

三、讲解例题

例1、计算

（1）7PW-G15）2

（2）[\/2-^/（-2）2]*72+272

按教师提问，学生回答，教师板书解题过程交替进行的方式教学，问题设计：

D应用哪一个性质？具体怎么算？

2）计算顺序应该怎样？

第一题选择中下游学生回答，第二题选择中上游学生回答。

教师总结：计算时应看清符合哪一个性质？a是大于。还是小于0?

22

练习：1）（-A/5）-7MF+VC-2004）

2=?:

2）（2A./3）-7（6）+7（V2-1）

例2计算«|一|）+£一|

对于此题，学生可能会先算括号里的，讲解时可以把两种方法作比较，以体现二次根式的性

质。=_」+2的优点。在这里应强调判断中a的符号。

由学生独立完成解题过程，指定一名中等水平的学生板演。老师点评板演结果。

完成课本“课内练习”

四、小结

师生共同完成：通过今天的学习，你有什么收获或困惑？

五、布置作业

课本作、也本

-3-

初中激堂，，不被千

1.2二次根式的性质(2)

【教学目标】

i.探索二次根式的性质的由来，体验归纳、类推的思想方法.

2.会用二次根式的性质进行简单的计算和化简.

【教学重点、难点】

A重点：二次根式的积和商的性质.

A难点：例3中(4)及探究活动涉及的较复杂的化简过程与技巧.

【教学过程】

一、引入新课

动手做一做：填空(可用计算器计算)：

(1)74x974x79=_;

(2)74x574x75=_;

叵一9_.

(3)

V16--1而一

3巫.

(4)\2~~,正-一.

比较每一组左右两边的等式，结果相等吗？多试几组类似的计算，想一想能否推广

到一般形式？如果能，请用字母表示你发现的规律。

二、新课讲解

1、一般地，二次根式的积与商的性质：

积的性质：4ab=4a-4b(a>0,b>0);

layfa

商的性质:(a>0,b>0)

2、性质深化：

练习：判断下列等式是否成立？若不成立，请说明理由并改正:

(1)J(-4)x(-9)=J-4xJ-9；

(2)(a为任意实数)

解：(1)不成立。因为被开方数不能为负，JN、Q无意义。

改正：J(-4)x(-9)=而=6.

(2)不成立。因为a作为分母不能为零，所以a不能为任意实数，即a的取

值范围是不等于零的任何实数。

-4-

初中激老，，不被千

3、讲解例题:

化简：(1)7121x225；(2)；(3)J|；(4)2

例3

(5)

解：（1）7121x225=V121><7225=11x15=165；

“2>7=">近=4疗；

(2)

'=好=立

(3)9一为一1-；

2

(4)

^3^2_V6

(5)

2^2-V

注：①一般地，二次根式化简的结果中分母中不含根号，而且根号内的数就是一

个自然数，且自然数的因数中，不含有除1以外的自然数的平方数。

②被开方数为带分数时，还要先化为假分数再利用性质化简

练习：

1、化简：⑴,25x4；(2)V0.01x0.49；(3)V32X52.

1|；⑶15

2、化简：⑴》⑵

例4先化筒，再求出下面算式的近似值（精确到0.01）

⑴(—18)x(—24)；⑵1—；(3)Jo.001x0.5

49

解：(1)J(-18)x(-24)=72x9x3x8=A/24X33=逝乂后=12班=20.78；

50_V50_5V2

---------------r^=-------I.UI;

⑵心49廊7

⑶

4

=VlO^xW'xS=V10-X5=J(1ON)*石=I。-?*亚=0.0175«

0.02

总结:

化筒的结果要求：①根号内不再含有可以开方的因式；②根号内不再含有分母

-5—

初中W考，\年很千

练习：先化简，再求出下面算式的近似值：

(1)5^|(结果保留4个有效数字);

(2),(精确到0.01).

V53

三、探究活动：

化简下列两组式子：

①哈=一，星—

你发现了什么规律？请用字母表示你所发现的规律，并与同伴交流。

请再任意先儿个数验正你发现的规律。

四、小结：

师生共同完成：通过今天的学习，你有那些收获或困惑？

五、布置作业

见作业本

-6—

1.3二次根式的运算（1）

【教学目标】

i.了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的.

2.会进行简单的二次根式的乘除运算.

【教学重点、难点】

A重点：本节教学的重点是二次根式的运算法则.

A难点：例1第（3）题和例2的计算过程中涉及多种运算和运算法则,

是本节教学的难点。

【教学过程】

设计学生

教师活动教学内容

意图活动

1、二进一自由

=a,(6f>0)

次根步梳口答

yl~a^=laI

式有理和默写

哪些y[ab=y[a-4b,(.a>0,/?>0)巩固

性4a-4h=>0,h>0)已生

质。成的

知

识。

2、怎化简下列二次根式：体验自愿

样化性质上来

屈>3A，>^/48

简二与公板演，

次根式的其他

回

式。准确自己

顾

运做。

用。

3、怎体验自愿

Vo^xVTo,

样计分别上来

板演

7003化筒

的复其他

是否~7F

有简杂。自己

便方观察做

法？是否

有简

便方

法。

教师书写二次根式的运算1（乘除运算）

课题

设计学生

教师活动教学内容

意图活动

-7-

4、引

导、

启发

把二

次根

式的体验

乘除4a又加=4ab{a>0,b>0）;二次

性质*E（aN0,b>0）根式

公式的乘

观察

左右除运

与思

交换Vo^9xVio=7o.9xlO=79=3算法

考

则的

下。等=愣=舸=0.1发现

概括过

新

二次程。

课

根式

讲

的乘

解

除运

算法

则。

例1计算

⑴虚X石⑵旧，府（3）^^

⑴，⑵

9

V3V10V1.3X10规范题两

5、出

（2）中被开方数是带分数要先化成假分，运算结果沙弓位学

示例

知道生板

1-夜不能写成J0或1.5企。

22运算演。领

解：⑶程序悟与

练习

的一|5.2xl07R21

原式寸TE而寸谟=历=二

会正学生

6、学

迁先做，

课生完

移，后挑

堂成解

课本12页课内练习第1、2题领悟选部

练题后

方法分屏

习出示

与步幕展

答案

骤示

-8-

初中W考，\年很千

对具

7、乘体的自由

除运计算回答

（1）运用法则，化归为根号内的实数运算；

算的题会问题，

（2）完成根号内相乘、相除（约分）等运算；

一般先设观察

（3）化简二次根式

步计计与总

骤。算程结

序

8、屏（1）作AO_LBC，则

幕显

BD=CD」BC==X2O=6

示例22

计算

2,帮（2）由勾股定理算出AD

正三

助学22讨论，

ADAC-CD=J（2痣>一（痣尸=J8-2=后角形

生审自由

的面

题。回答

枳得

（3）路标的面积问题。

先算

S=-xBCxAD=-x2V2xV6=V12=2V3（平方单位）高。

22

说明计算结果能化简的，则应化简。没有精确度要求，结果用

化筒的二次根式表示。

课9、学课本12页，课内练习3。形成自由

内牛.完整体到黑

练成解题板上

习后，思解题。

出示路。其他

答案自己

做。

课10、①二次根式的乘除运算法则。帮助自由

堂问：Vaxy[b=>[ab{ci>0,b>0）;学生回答。

小这一梳理

当书心0力>0）

结节课知识

学习理解

了什②被开方数是带分数要先化成假分。数学

么③规范书写。如3&不能写成或1.5"的应

22用价

④二次根式的简单应用——三角形面积算法。值

布置作业完成课本作业第13页（做在A本上）和作业本（1）

-9-

初中激堂，，不被千

1.3二次根式的运算（2）

【教学目标】

I.会进行简单的二次根式的四则混合运算.

2.通过整式运算的某些法则在二次根式四则运算中的应用，体验迁移、化归等数学思想.

【教学重点、难点】

A重点：本节教学的重点是二次根式的四则混合运算.

A难点：例3的计算思路的形成比较困难是本节的难点.

【教学过程】

一、课题引入

计算2a--a--a

33

并回答问题：

1.你是应用什么知识解决上面的计算？（学生回答后，教师板书解题过程

-12〃12、

2a——a—a=（2--------）a=a

3333

厂2A/2--V2--V2=（2----）V2=V2

2.上题中的a若用"2替代，即：3333你

认为运算是否正确？（答案是肯定的）

k教师归纳』我们发现整式中的合并同类项法则在二次根式的运算中也适用.

猜想：那么整式中的其它运算法则或运算律或运算次序是否也适用于二次根式的运算呢？

（教师作肯定回答后）导出课题：二次根式的四则运算.

二、进行新课

1.复习回忆：整式中的有关法则、运算律、运算次序.（通过复习对例3的计算思路的

形成有所帮助，一定程度上降低了例3的教学难度）

2.举例分析：

例1.先化简，再求出近似值（精确到0.01）

启发提问：⑴这是一题二次根式的什么运算？能否适用合并同类项的方法进行合

并?（学生会做出否定回答）

⑵上面的二次根式是否还可以化简？请同学们试一下.然后再回答提问

（1）（最后教师板书解题过程）

归纳：⑴二次根式加减之前,应先化简二次根式;再把所含二次根式完全相同的

合并成一项.

⑵在二次根式加减（或其它运算）时，把根号前的乘数看作它的系数.

如中2遍的2就看作、同的系数

牛刀小试：先化简，再求出近似值（精确到0.01）

-10―

祗一—一1匹

例2.计算：

⑴V27-3A/6X2V2

(J1-3也)•屈

(2)V8

(3)(V48-V27)-V3

启发提问：⑴第⑴题有哪些运算?次序怎样？系数-3和2如何处理?(可以仿照整式中的单

项式相乘法则，处理系数)

⑵第⑵、⑶题可否用运算律？

⑶第⑴、⑵题能否先做括号内的？(教师板书解题过程)

学以致用：计算：

-724-273x72

⑴2

V3(l—Vt5)—3./—

⑵V5.

例3.计算：

⑴(2V2-3V3)(3V3+2V2)_

⑵(2-收)(3+2及).

提问：⑴这两题的计算与整式中的什么运算相近？

⑵第⑴题又有什么特征？(教师板书解题过程)

巩固练习：计算：

(1)(1+V2)(2-V2)

⑵(3V5-5V2)2

三、课堂小结

1.整式中的各运算法则、运算律各运算次序在二次根式运算中

也能适用.

2.二次根的加减运算时，应先化简二次根式;然后合并二次根式完全相同的.

3.含有二次根式的代数相乘，可以把它看作多项式相乘，运用多项式乘法法则和乘法

公式.

4.适当运用运算律简便计算.

四、加深印象

1.计算下列各题：

-11-

初中激堂，，不被千

1

(3V27-6^)-(8<125-6拈)

⑴

9745

⑵

西-1)2-(2扬2

⑶

2.PM课内练习第4题（选用）

五、布置作业

见作业本1・・3・2节；回家作业课本中作业题1、2、3、6.

-12―

初中激堂，，不被千

1.3二次根式的运算（3）

【教学目标】

i.会应用二次根式解决简单的实际问题，掌握坡比的意义.

2.进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值.

【教学重点、难点】

A重点：本节教学的重点是二次根式及其运算的实际应用.

A难点：课本上的例7涉及多方面的知识和综合运用，思路比较复杂,是本节教学的难点.

【教学过程】

二次根式的知识在实际生活中有广泛的用途.

如图，我们规定斜坡的铅直高h与水平长度I的比叫做坡比（或坡度），即:

坡比i=y

已知斜坡的坡比为3:4,且其高CE=2dm,宽AB=1dm

一只蚂蚁从A点爬到C点，最短路程多少？

说明:设计本题有以下目的：

⑴介绍预备知识“坡比”；

⑵激发学生的兴趣；

⑶会用二次根式表示未知量.在Rt^BCE中,BC的长宜直接表示为:BCRBE-CEZ;

⑷建议用投影机播放此题目和图片，教师引导学生分析，解答过程宜板书而弃

PowerPoint.以下例题同.

K初步体验1（课本17页课内练习1）

二、应用举例

K例（课本15页例6）如图，扶梯AB的坡比为1:0.8,滑梯CD的坡比为

3-I

1:1.6,AE=1,Bc¥cD,一男孩从扶梯走到滑梯K（.r

的顶部，然后从滑梯滑下，他经过了多少路程（结

果要求先化简，再取近似值，精确到0.01米）？

,I

I-----------------------------------------------------1'3,L〃n

[㈠从已知看！已知什么？J

3

扶梯AB的坡比为1:018,且AE=j

______能得什丝______

可求得BE和AB

㈢已知滑梯CD的坡比

为1:1.6有何用？

-13―

初中激老，，不被千

缺CD,BC=5CD.怎样求CD?

I飞什么？

求AB+BC+CD

|㈡从族看!求不2?|

说明:以上的分析过程显示了求解问题的格式化的程序，学生必须养成这样的思维习

惯.

R练习一1（课本18页A组3）

K例22（课本16页例7）如图㈠是一张等腰直角三角形彩色纸,AC=BC=40cm.将斜边

上的高CD四等分，然后截出3张宽度相等的长方形纸条.

⑴分别求出3张长方形纸条的长度；

⑵若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图㈡,正方形美术作品的面

积最大不能超过多少err??

分析：

⑴①如图㊀，从已知能得什么？

在RtAABC中,CDLAC=BC=40,易求得AB和CD长（让学生求），则CE3=E3F3

=F3G3=G3D=-CD,纸条的宽度可求.

②怎样求纸条的长度？

纸条的总长度=EIE2+FF2+GIG2，如怎样求EIE2（让学生想一想）？E1E2=2CE3.,FF2

和G£2呢?同理,FF2=2CF3,G1G2=2CG3.

⑵如图㈡，由⑴得纸条的总长度为6球,它被四等分,每条长AC=15也，它们所围成的正

方形的边长AB多少？AB=AC—BC=lM.

K练习二】（课本18页B组4）

三、总结

四、布置作业

-14-

初中激老，，不被千

第2章一无二法方程

R录

2.1一元二次方程（1）..........................................16

2.1一元二次方程（2）..........................................18

2.2一元二次方程的解法（1）....................................20

2.2一元二次方程和解法（2）....................................22

2.2一元二次方程的解法（3）....................................24

2.3一元二次方程的应用（2）....................................28

一15-

2.1一元二次方程(1)

K教学目标】

♦1、经历一元二次方程概念的发生过程。

♦2、理解一元二次方程的概念.

♦3、了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数，-次项系数

及常数项。

K教学重点与难点》

♦教学重点：一元二次方程的概念，包括一般形式.

♦教学难点：例1第4题计算容易产生差错，是本节教学的难点。

K教学过程1

一、合作学习

1、列出下列问题中关于未知数x的方程

①正方形的面积为80,边长为X,则可列出方程。

②某村的粮食年产量，在两年内从60万千克增长到72万千克，问平均每年增长的百分

率是多少？设年平均增长率为x,则可列出方程。

二、引入新课

观察方程X2=80和60(1+%)2=72

两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程

叫做一元二次方程，能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或

根)

练一练：1、判断下列方程是否为一元二次方程：①2(3x+2)=-x2

3

②4+X+3=0③x2-2y-5=0④2x2=3x⑤5x2=0

X

2、判断未知数的值x=—1、x=。、x=2是否是方程Y—2=x的根。

一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax?+云+。=0(〃。0)的形式,

我们把形如a/+Ax+c=0(a、b、c为常数，aW0)称为•元二次方程的•般

形式，其中a/、以、。分别称为二次项、-次项和常数项。〃分别称为二次项

系数和一次项系数。

思考：为什么awO,b、c可以为零吗？

三、范例讲解：

例1：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数

和常数项。

@3x2=5x+2②(2x-l)(3x+2)=》2+2

③(x+3)(x-4)=—6®(X+1)2-2(X-1)2=6X-5

-16-

初中数学，'耳很下

解：①移项，整理，得3/_5x-2=0

这个二次项系数为3,一次项系数为—5,常数项为—2。

2

②移项，整理，得5%+x-4=0

这个二次项系数为5,一次项系数为1,常数项为-4。

③移项，整理，得x2-x-6=0

这个二次项系数为1,一次项系数为一1,常数项为-6。

④移项，整理，得一X2+4=0

这个二次项系数为-1,一次项系数为0,常数项为4。

我们在写一元二次方程的一般形式时，通常按未知数的系数从高到低排列，先写

二次项，再写一次项，最后是常数项。

四、练习巩固：

1、方程①7X2-8X=1②2/-5xy+6y=0③51----1=0

9x

④?=3y中是一元二次方程的为（填序号）。

2、关于x的一元二次方程/+。％+。=0的一个解是3,则。=

3、判断下列各方程后面的两个数是不是它的解。

①X2-6x-7=0(-1,7)()

②3x2+5x-2=0今告（）

(§)2/-3x+l=0(3,1)()

④x2-4x+l=0(-2+73,-2-73)()

五、小结：

1、记住一元二次方程的一般形式，并会判断方程是否为一元二次方程；

2、化成•元二次方程的一般形式后，能说出二次项系数，一次项系数和常数项;

3、能判断x的值是不是方程的解。

作业：见作业本

-17-

初中激堂，，不被千

2.1一元二次方程(2)

【教学目标】

♦i.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.

♦2.会用因式分解法解一元二次方程.

【教学重点与难点】

♦教学重点：用因式分解法解一元二次方程.

♦教学难点：例3方程中含有无理系数，需将常数项2看成(行)'，才能分解因式，是本

节教学的难点.

【教学过程】

一.复习引入

1、将下列各式分解因式：

(l)/-3y(2)4X2-9(3)(3%-4)2-(4x-3)2(4)x2-2V2x+2

教师指出：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解.

2、你能利用因式分解解下列方程吗？

(l)/-3y=0(2)4x2=9

请中等程度的学生上来板演，其余学生写在练习本上，教师巡视.

之后教师指出：像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。(板书课

题)

二.新课学习

1、归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：

教师首先指出：当方程的一边为0,另一边容易分解成两个一次因式的积时，用因式分

解法求解方程比较方便.然后归纳步骤：(板书)

①若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；

②将方程的左边分解因式；

③根据若M-N=0,则M=0或N=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。

2、讲解例2.

(1)解下列一元二次方程：

(l)(x-5)(3x-2)=10(2)x-2=x(x-2)(3)(3x-4)2=(4x-3)2

教师在讲解中不仅要突出整体的思想：把x-2及3x-4和4x-3看成整体，还要突出化归的思

想：通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演，示范

表述格式，强调两个一元一次方程之间的连结词要用“或”，而不能用且。

(2)想一想：将第(1),(2),(3)题的解分别代人原方程的左、右两边，等式成立吗？

(3)归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型：

①先变形成一般形式，再因式分解：

②移项后直接因式分解.

在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式，然后再考虑化简后能否分解因式。

2、讲解例3.

解方程=2夜》一2

-18―

在本例中出现无理系数，要注意引导学生将将常数项2看成另外对于方程中出现两

个相等的根，教