2025届高中数学统考第二轮专题复习第3讲导数的应用限时集训理含解析

第3讲导数的应用基础过关1.函数f(x)=f'(1)ex-x2+2的图像在点(0,f(0))处的切线的斜率等于 ()A.2e B.C.2ee-1 2.若直线x=a(a>0)分别与直线y=2x+1、曲线y=x+lnx相交于点A,B,则|AB|的最小值为 ()A.1 B.2 C.2 D.33.若对随意的x1,x2∈(0,a)且x1<x2,都有x2lnx1-x1lnx2A.2e B.e C.1 D.14.若曲线y=lnx-2x在x=1处的切线的倾斜角为α,则cosα+sinα的值为 (A.2105 BC.-105 D.±5.已知f(x)=2alnx+x2(a≠0),若对随意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)xA.(1,+∞) B.[1,+∞)C.(0,1) D.(0,1]6.若对随意的x1,x2∈[1,+∞),当x2>x1时,恒有alnx2x1<2(x2-x1)成立,则实数a的取值范围是 A.(-∞,0] B.(-∞,1]C.(-∞,2] D.(-∞,3]7.已知函数f(x)的导函数f'(x)=x4(x-1)3(x-2)2(x-3),则下列结论正确的是 ()A.f(x)在x=0处有极大值B.f(x)在x=2处有微小值C.f(x)在[1,3]上单调递减D.f(x)至少有3个零点8.已知变量x1,x2∈(0,m)(m>0),且x1<x2,若x1x2<x2x1恒成立,则A.e B.eC.1e D.9.已知直线y=a分别与曲线y=ex+2和y=x-1交于A,B两点,则A,B之间的最短距离是 (A.7-ln2B.5C.7+ln22D.5+ln210.已知曲线C1:y=xex(x>0)和C2:y=x-2ex-2,若直线l与C1,C2都相切,且与C2相切于点P,则A.3-5 B.5-1C.3-52 11.已知a∈R,若实数x,y满意y=-x2+3lnx,则(a-x)2+(a+2-y)2的最小值为 ()A.32 B.22C.8 D.1812.已知函数f(x)=(x-1)ex-a2e2x+ax只有一个极值点,则实数a的取值范围是 (A.a≤0或a≥1B.a≤0或a≥1C.a≤0D.a≥0或a≤-113.曲线y=lnx在点1e,-1处的切线在y轴上的截距为.

14.若函数f(x)=ex-lnx-mx在区间(1,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围为.

实力提升15.函数y=[f(x)]g(x)在求导时可运用对数法:在解析式两边同时取自然对数得到lny=g(x)·lnf(x),然后两边同时求导得y'y=g'(x)lnf(x)+g(x)f'(x)f(x),于是y'=[f(x)]g(x)g'(x)lnf(x)+g(x)f'(x)f(x),依据此方法可知A.(0,e) B.(0,e-1)C.(e-1,+∞) D.(e,+∞)16.已知函数f(x)的导函数为f'(x),记f1(x)=f'(x),f2(x)=f'1(x),…,fn+1(x)=f'n(x)(n∈N*).若f(x)=xsinx,则f2024(x)+f2024(x)=()A.-2cosx B.-2sinxC.2cosx D.2sinx17.已知定义在[-2,2]上的函数f(x)满意f'(x)<f(x),则不等式ex-1f(x)>f(2x-1)的解集为 ()A.(-∞,1) B.12,32C.[0,1] D.1,3218.记函数f(x)=ex-x-a,若曲线y=-cos2x+2cosx+1上存在点(x0,y0),使得f(y0)=y0,则实数a的取值范围是 ()A.(-∞,e2-4) B.[2-2ln2,e2-4]C.[2-2ln2,e-2+4] D.(-∞,e-2+4)19.已知函数f(x)=alnx-x+2(a为大于1的整数),若y=f(x)与y=f[f(x)]的值域相同,则a的最小值是(参考数据:ln2≈0.6931,ln3≈1.0986,ln5≈1.6094) ()A.5 B.6 C.7 D.820.已知函数f(x)=2x2,x<0,ex,x≥0,若f(x1)=f(x2)(x1A.-22B.2ln2-2C.3ln2-2 D.ln2-1限时集训(三)1.B[解析]由已知得f'(x)=f'(1)ex-2x,令x=1,则f'(1)=f'(1)e-2,解得f'(1)=2e-1,所以f'(x)=2e-1ex-2x,所以函数f(x)的图像在点(0,f(0))处的切线的斜率k=f'(0)2.B[解析]由题知A(a,2a+1),B(a,a+lna),则|AB|=|2a+1-(a+lna)|=|a+1-lna|.令f(x)=x+1-lnx,则f'(x)=1-1x,∴函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,当x=1时,函数f(x)取到最小值2,∴|AB|的最小值为2.故选B3.C[解析]由已知得x2lnx1-x1lnx2<x1-x2,两边同时除以x1x2,化简得lnx1+1x1<lnx2+1x2.构造函数f(x)=lnx+1x,则f'(x)=-lnxx2,令f'(x)>0,得0<x<1;令f'(x)<0,得x>1.所以函数f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数.因为lnx1+1x1<lnx2+1x2对随意的x1,x2∈(0,a)且x1<x2恒成立,4.A[解析]由y=lnx-2x,得y'=1x+2x2,∴tanα=y'|x=1=3,∵α∈[0,π由tanα=sinαcosα=3,sin2α5.B[解析]由f(x1)-f(x2设g(x)=f(x)-4x=2alnx+x2-4x(x>0),则g(x)为增函数,所以g'(x)=2a×1x+2x-4≥0,化简整理得a≥(2-x)x.当x>0时,(2-x)x的最大值为1,所以a≥1.故选B6.C[解析]对随意的x1,x2∈[1,+∞),当x2>x1时,恒有alnx2x1<2(x2-x1)成立,即恒有alnx2-2x2<alnx1-2x1成立.令f(x)=alnx-2x,∴f(x2)<f(x1),∴f(x)在[1,+∞)上单调递减,∴f'(x)=ax-2≤0在[1,+∞)上恒成立,∴a≤2x在[1,当x≥1时,2x≥2,∴实数a的取值范围为(-∞,2],故选C.7.C[解析]由题知,x<0时,f'(x)>0;x=0时,f'(0)=0;0<x<1时,f'(x)>0;x=1时,f'(1)=0;1<x<2时,f'(x)<0;x=2时,f'(2)=0;2<x<3时,f'(x)<0;x=3时,f'(3)=0;x>3时,f'(x)>0.故f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,故f(x)的极大值是f(1),微小值是f(3),f(x)至多有3个零点.故选C.8.A[解析]由x1x2<x2x1可得x2lnx1<x1lnx2,即lnx1x1<lnx2x2,又x1<x2,所以f(x)=lnxx在(0,m)上为增函数,则f'(x)=1-lnxx2≥09.C[解析]由题知a>0.依题意,设A(x1,a),B(x2,a),则ex1+2=a,x2-1=a,即x1=lna-2,x2=a2+1,结合图像(图略)可知x1<x2,∴|AB|=x2-x1=a2+3-lna.设f(a)=a2+3-lna,则f'(a)=易知函数f(a)在0,22上单调递减,在22,+∞上单调递增,∴f(a)min=f22=12+3-ln22=7+ln22,即A,B之间的最短距离是7+ln22.故选C10.C[解析]设P(x0,y0),l与C1相切于点M(x1,y1)(x1>0),则y0=x0-2ex0-2,y1=x1ex1.由y=xex(x>0)得y'=(x+1)ex,由y=x-2ex-2得y'=3-xex-2.因为l是C1和C2的公切线,所以3-x0ex0-2=(x1+1)ex1,即(2-x0+1)e又因为y1-y0x1-x0=(x1+1)ex1,即x1ex1-x0-2ex0-2x1-x0=(x1+1)ex1,所以x1ex1+x1ex1x11.C[解析]点(x,y)在曲线y=-x2+3lnx上,点(a,a+2)在直线y=x+2上,(a-x)2+(a+2-y)2的几何意义是曲线y=-x2+3lnx上的点(x,y)到直线y=x+2上的点(a,a+2)的距离的平方.令f(x)=-x2+3lnx,得f'(x)=-2x+3x,令f'(x)=0,得x=62,则f(x)在0,62上单调递增,在62,+∞上单调递减,f(x)在x=62处取得最大值-32+3ln62.作出曲线y=-x2+3lnx与直线y=x+2由图可知,曲线y=3lnx-x2(x>0)的平行于直线y=x+2的切线的切点到直线y=x+2的距离最小.令f'(x)=3x-2x=1,解得x=1或x=-32(舍去),当x=1时,f(1)=-所以切点为(1,-1),该切点到直线y=x+2的距离为|1+1+2|2=22,故(a-x)2+(a+2-y)2的最小值为(22)2=8,12.A[解析]由f(x)=(x-1)ex-a2e2x+ax,得f'(x)=xex-ae2x+a.当a=0时,f'(x)=xex,f'(0)=0.函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)有唯一的极值点,满意题意当a≠0时,由f'(x)=0得xa=ex-e-x,设g(x)=ex-e-x,则g'(x)=ex+e-x≥2恒成立,且g'(0)=2,画出函数g(x)的图像和直线y=xa,由图可知,当1a≤2时,即a<0或a≥12时,直线y=xa与函数g(x)的图像恰有一个交点,此时满意题意.综上所述,a≤0或a≥1213.-2[解析]由y=lnx,得y'=1x,当x=1e时,y'=e,∴曲线y=lnx在点1e,-1处的切线方程为y+1=ex-1e=ex-1,令x=0,得y=-2,即切线在y轴上的截距为-2.14.(-∞,e-1][解析]由题意可得f'(x)=ex-1x-m≥0在(1,+∞)上恒成立易知f'(x)在(1,+∞)上单调递增,故只需f'(1)=e-1-m≥0,解得m≤e-1.15.C[解析]由y=(x+1)1x+1得lny=1x+1ln(x+1),(lny)'=1x+1ln(x+1)',即1y·y'=1-ln(x+1)(x+1)2,故y'=[1-ln(x+1)]·(x+1)1x+1-2,令y'<16.D[解析]因为f(x)=xsinx,所以f1(x)=sinx+xcosx,f2(x)=2cosx-xsinx,f3(x)=-3sinx-xcosx,f4(x)=-4cosx+xsinx,f5(x)=5sinx+xcosx,…,猜想可知f4k-3(x)=(4k-3)sinx+xcosx,f4k-2(x)=(4k-2)cosx-xsinx,f4k-1(x)=-(4k-1)sinx-xcosx,f4k(x)=-4kcosx+xsinx,其中k∈N*.由2024=4×505-1,2024=4×506-3,得f2024(x)=-2025sinx-xcosx,f2024(x)=2024sinx+xcosx,所以f2024(x)+f2024(x)=2sinx,故选D.17.D[解析]令F(x)=f(x)ex(x∈[-2,2]),则F'(x)=f'(x)-f(x)ex.∵f'(x)<f(x),∴F'(x)<0,∴F∵ex-1f(x)>f(2x-1)⇔f(x)ex>f(2x-1)e2x-1⇔F(x)>F18.C[解析]y=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+2.因为-1≤cosx≤1,所以-2≤y≤2,所以-2≤y0≤2.f(y0)=y0有解等价于f(x)=x在[-2,2]上有解,即ex-x-a=x,也就是a=ex-2x在[-2,2]上有解.设h(x)=ex-2x,则h'(x)=ex-2,由h'(x)>0,得ln2<x≤2,此时h(x)单调递增,由h'(x)<0,得-2≤x<ln2,此时h(x)单调递减,则当x=ln2时,函数h(x)取得微小值,也是最小值,且h(ln2)=2-2ln2.又h(2)=e2-4,h(-2)=e-2+4,可得h(2)<h(-2),故2-2ln2≤h(x)≤e-2+4.要使a=ex-2x在[-2,2]上有解,只需2-2ln2≤a≤e-2+4,所以实数a的取值范围是[2-2ln2,e-2+4],故选C.19.A[解析]由f(x)=alnx-x+2得f'(x)=ax-1=a-xx,当x>a时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当0<x<a时,f'(x)>0,函数f(故f(x)max=f(a)=alna-a+2,又当x→0时,f(x)→-∞,所以函数f(x)的值域为(-∞,alna-a+2].令t(a)=alna-a+2,则t'(a)=lna+1-1=lna,因为a>1,a∈Z,所以t'(a)>0,所以t(a)单调递增,因此当a≥2,a∈Z时,t(a)≥t(2)=2ln2>0.令f(x)=alnx-x+2=n,则n≤alna-a+2,y=f[f(x)]=f(n),要使y=f[f(x)]=f(n)的值域为(-∞,alna-a+2],只需a≤alna-a+2,即alna-2a+2≥0.设g(a)=alna-2a+2,a≥2,a∈Z,则g'(a)=lna-1,所以当a≥3,a∈Z时,函数g(a)单调递增,又g(2)=2ln2-2<0,g(3)=3ln3-4<0,g(4)=4ln4-6<0,g(5)=5ln5-8>0,所以a的最小值是5,故选A.20