2024-2025学年高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学案含解析新人教版必修3

PAGE2．2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征内容标准学科素养1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差.2.理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法.3.会应用相关学问解决实际统计问题.提升数学运算发展数据分析应用数学建模授课提示：对应学生用书第37页[基础相识]学问点一众数、中位数、平均数预习教材P71－73，思索并完成以下问题现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取8件产品，对其运用寿命进行跟踪调查，其结果如下(单位：年)甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.三家广告中都称其产品的运用寿命为8年，利用初中所学的学问，你能说明为什么吗？提示：三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣扬自己的产品．其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年．学问梳理1.众数：在一组数据中，出现次数最多的数叫做众数．假如有两个或两个以上数据出现的最多且出现的次数相等，那么这些数据都是这组数据的众数；假如一组数据中，全部数据出现的次数都相等，那么认为这组数据没有众数．2．中位数：将一组数据按从小到大的依次依次排列，当数据有奇数个时，处在最中间的那个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间的两个数的平均数是这组数据的中位数．3．平均数：一组数据的总和除以这组数据的个数取得的商叫做这组数据的平均数，一般记为x＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．4．在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标，中位数左边和右边的直方图的面积应当相等，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．学问点二方差和标准差预习教材P74－78，思索并完成以下问题甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.(1)甲、乙两战士命中环数平均数eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙各是多少？提示：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝7环，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝7环．(2)由eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙能否推断两人的射击水平？提示：由于eq\o(x,\s\up6(－))甲＝7环，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝7环，所以不能推断．(3)视察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳定？提示：从数字分布来看，甲命中的环数较分散，乙命中的环数较集中．故乙的射击水平更稳定．学问梳理1.标准差的计算公式标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2]).2．方差的计算公式标准差的平方s2叫做方差．s2＝eq\f(1,n)[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．其中，xi(i＝1，2，…，n)是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数．3．变形探究(1)若x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a；(2)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等；(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.[自我检测]1．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是()A．平均数＞中位数＞众数B．平均数＜中位数＜众数C．中位数＜众数＜平均数D．众数＝中位数＝平均数解析：众数为50，平均数x＝eq\f(1,8)(20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋80)＝50，中位数为eq\f(1,2)(50＋50)＝50，故选D.答案：D2．一组视察值4，3，5，6出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均值为()A．4.55 B．4.5C．12.5 D．1.64解析：x＝eq\f(4×3＋3×2＋5×4＋6×2,3＋2＋4＋2)≈4.55.答案：A3．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.则：(1)平均命中环数为__________；(2)命中环数的标准差为__________．解析：利用平均值和标准差公式求解．(1)x＝eq\f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4,10)＝7.(2)s2＝eq\f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.答案：(1)7(2)2授课提示：对应学生用书第38页探究一众数、中位数、平均数[例1]在一次中学生田径运动会上，参与男子跳高的17名运动员的成果如表所示：成果（单位：m）1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成果的众数、中位数与平均数．[解析]在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的依次排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,17)(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝eq\f(28.75,17)≈1.69(m)．答：17名运动员成果的众数、中位数、平均数依次为1.75m，1.70m，1.69m.方法技巧依据样本频率分布直方图，可以分别估计总体的众数、中位数和平均数．(1)众数：最高矩形下端中点的横坐标；(2)中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标．(3)平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和．跟踪探究1.从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙，中位数分别为m甲，m乙，则()A.eq\o(x,\s\up6(－))甲＜eq\o(x,\s\up6(－))乙，m甲＞m乙B.eq\o(x,\s\up6(－))甲＜eq\o(x,\s\up6(－))乙，m甲＜m乙C.eq\o(x,\s\up6(－))甲＞eq\o(x,\s\up6(－))乙，m甲＞m乙D.eq\o(x,\s\up6(－))甲＞eq\o(x,\s\up6(－))乙，m甲＜m乙解析：由茎叶图知，甲的平均数为(5＋6＋8＋10＋10＋14＋18＋18＋22＋25＋27＋30＋30＋38＋41＋43)÷16＝21.5625，乙的平均数为(10＋12＋18＋20＋22＋23＋23＋27＋31＋32＋34＋34＋38＋42＋43＋48)÷16＝28.5625，所以eq\o(x,\s\up6(－))甲＜eq\o(x,\s\up6(－))乙．甲的中位数为(18＋22)÷2＝20，乙的中位数为(27＋31)÷2＝29，所以m甲＜m乙．答案：B探究二方差与标准差[阅读教材P77例2)]方法步骤：第一步，求平均值；其次步，求方差；第三步，比较平均值和方差；第四步，结论．[例2]从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640问：(1)哪种玉米苗长得高？(2)哪种玉米苗长得齐？[解析](1)∵eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,10)(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝eq\f(1,10)×300＝30(cm)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝eq\f(1,10)×310＝31(cm)．∴eq\o(x,\s\up6(－))甲＜eq\o(x,\s\up6(－))乙，即乙种玉米苗长得高．(2)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝eq\f(1,10)(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝eq\f(1,10)×1042＝104.2，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,10)[(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－10×312]＝eq\f(1,10)×1288＝128.8，∴seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，即甲种玉米苗长得齐．方法技巧在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要探讨其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)，方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定．跟踪探究2.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成果(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成果较为稳定(方差较小)的那位运动员成果的方差为__________．解析：由表中的数据计算可得eq\o(x,\s\up6(－))甲＝90，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝90，且方差seq\o\al(2,甲)＝eq\f(（87－90）2＋（91－90）2＋（90－90）2＋（89－90）2＋（93－90）2,5)＝4.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(（89－90）2＋（90－90）2＋（91－90）2＋（88－90）2＋（92－90）2,5)＝2.所以乙运动员的成果较稳定，方差为2.答案：2探究三频率分布直方图与数字特征的综合应用[例3]统计局就某地居民的月收入(元)状况调查了10000人，并依据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图)，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[500，1000)内．(1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必需按月收入再从这10000人中用分层抽样的方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2000，2500)内的应抽取多少人？(2)依据频率分布直方图估计样本数据的中位数；(3)依据频率分布直方图估计样本数据的平均数．[解析](1)因为(0.0002＋0.0004＋0.0003＋0.0001)×500＝0.5，所以a＝eq\f(0.5,1000)＝0.0005，月收入在[2000，2500)内的频率为0.25，所以100人中月收入在[2000，2500)内的人数为0.25×100＝25.(2)因为0.0002×500＝0.1，0．0004×500＝0.2.0．0005×500＝0.25.0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，所以样本数据的中位数是1500＋eq\f(0.5－（0.1＋0.2）,0.0005)＝1900(元)．(3)样本平均数为(750×0.0002＋1250×0.0004＋1750×0.0005＋2250×0.0005＋2750×0.0003＋3250×0.0001)×500＝1900(元)．方法技巧1.利用频率分布直方图估计数字特征：(1)众数是最高的矩形的底边的中点．(2)中位数左右两侧直方图的面积相等．(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一样．延长探究1.(变条件)某校从参与高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成果(均为整数)的频率分布直方图如图所示．(1)求这次测试数学成果的中位数．(2)求这次测试数学成果的平均分．解析：(1)由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.(2)由图知这次数学成果的平均分为：eq\f(40＋50,2)×0.005×10＋eq\f(50＋60,2)×0.015×10＋eq\f(60＋70,2)×0.02×10＋eq\f(70＋80,2)×0.03×10＋eq\f(80＋90,2)×0.025×10＋eq\f(90＋100,2)×0.005×10＝72.2．(变结论)本例条件不变．(1)若再从这10000人中用分层抽样的方法抽出若干人，分析居民收入与华蜜指数的关系，已知月收入在[2000，2500)内的抽取了40人．则月收入在[3000，3500]内的该抽多少人？(2)依据频率分布直方图估计样本数据的众数．解析：(1)因为(0.0002＋0.0004＋0.0003＋0.0001)×500＝0.5.所以a＝eq\f(0.5,1000)＝0.0005.故月收入在[2000，2500)内的频率为0.0005×500＝0.25.∴新抽样本容量为eq\f(40,0.25)＝160(人)．∴月收入在[3000，3500]内的该抽：160×(0.0001×500)＝8(人)．(2)由图知众数为2000元